Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Если f (x, y, z) 1, то интегральная сумма n равна сумме объемов подобластей, на которые разбита область Q , и поэтому при любом разбиении она равна объему области Q :

n 1 V1 1 V2 ... 1 Vn VQ .

Переходя в последнем равенстве к пределу max di 0 и учитывая, что предел константы равен этой же константе, получаем формулу для вычисления объема области Q :

VQ		dxdydz .	(11)

Решение задачи о массе тела Q записывается так:

m x, y, z) dxdydz .

Рассмотрим некоторые свойства тройного интеграла. Свойство 1. Тройной интеграл от суммы двух функ-

ций по области Q равен сумме тройных интегралов по области Q от каждой из функций в отдельности:

f (x, y, z) g(x, y, z) dxdydz

f (x, y, z) dxdydz g(x, y, z) dxdydz .

Q Q

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, а именно: если c const , то

c f (x, y, z) dxdydz c f (x, y, z) dxdydz .

Q Q

-31-

Свойство 3. Если область	Q разбита на две области
Q1 и Q2 и функция f (x, y, z) непрерывна во всех точках
области Q , то
f (x, y, z) dxdydz
Q
f (x, y, z) dxdydz f (x, y, z) dxdydz .
Q1	Q2
Свойство 4. Если функция	f (x, y, z) 0 , то интеграл
f (x, y, z) dxdydz 0 .
Q

6. Вычисление тройного интеграла

Предположим, что область Q , ограниченная замкнутой поверхностью S , обладает свойствами:

1) всякая прямая, параллельная оси OZ , проведенная через внутреннюю точку области Q , пересекает поверхность S в двух точках;

2) вся область Q проектируется на координатную плоскость OXY в область D .

Такая область Q называется правильной в направлении оси OZ . Аналогично определяются области, правильные в направлении осей OY и OZ .

Пусть требуется вычислить интеграл

IQ f (x, y, z) dxdydz

-32-

по правильной в направлении оси OZ области Q , ограниченной снизу частью поверхности z 1 (x, y) , сверху ча-

стью поверхности	z 2 (x, y) , при этом область				D явля-
ется проекцией области Q на координатную плоскость
OXY (см. рис. 18). Тогда тройной интеграл IQ может быть
вычислен с помощью двукратного:
		2	( x, y)
IQ		dxdy		f (x, y, z) dz ,	(12)

D1 ( x, y )

вкотором внутренний интеграл по переменной z , а внеш-

ний интеграл является двойным по области D . При вычислении первообразной по переменной z переменные x и y считаются константами.

Двойной интеграл может быть вычислен как в декартовых координатах, так и в полярных. В первом

случае вычисление тройного интеграла IQ осуществляется в декартовых координатах (x; y; z) , во втором – в цилиндрических координатах ( ; z) . В цилиндрических координатах положение точки P в пространстве определяется тремя величинами , и z , где и – полярные координаты проекции точки P на координатную плоскость OXY , z – аппликата точки P .

-33-

Аналогично может быть вычислен тройной интеграл IQ по области Q , правильной в

направлении оси OY или OZ .
Пример.	Вычислим объем
шара x2 y2 z2 1.
Решение. В данном случае
область Q является правильной в
направлении оси OZ , ограничена
снизу	поверхностью


z 1 x2 y2 ,			сверху поверхностью z 1 x2 y2 и
проецируется на координатную плоскость OXY в круго-
вую область D :			x2 y2 1 (см. рис. 19). Используя фор-

мулы (11) и (12), получаем выражение для вычисления объема области Q :

1 x2 y2

dxdy

1 x2 y2 dxdy .

(13)

1 x

Полученный

двойной

ин-

теграл (13) вычислим двумя

способами: в декартовых и в

полярных координатах.

Для вычисления двойного

интеграла в декартовых коор-

динатах

используем

формулу

(3). При этом внутренний ин-

теграл по переменной y ,

по-

этому заштрихуем область

-34-

стрелками, направленными вдоль оси OY (см. рис. 20), и выразим в уравнениях кривых, ограничивающих область

D , переменную y через переменную			x . Слева и справа
вся область D ограничена прямыми			x 1 и	x 1 . При
всех	x [ 1;1]	стрелки начинаются на графике функции

y	1 x2 ,	а заканчиваются на	графике	функции

y 1 x2 , поэтому нижний и верхний пределы внутрен-

него интеграла равны

1 x2

и 1 x2 , внешнего – ( 1)

и 1, соответственно:

1 x2

V 2

1 x2 y2 dy .

1 x

Перейдем во внутреннем интеграле к новой переменной


интегрирования												t :						y			1 x2 sin t ,

	1 x2 y2						1 x2			cos t ,		dy		1 x2 cos t dt ,								t				,
																						1			2
																									2
t2			:
	2
			1						2			1						2		1 cos 2t
VQ 2 1 x2							dx			cos2 t dt			1 x2 dx							1 cos 2t				dt
VQ 2 1 x2							dx			cos2 t dt			1 x2 dx											dt
				1					2			1					2				2
				1					2			1					2
				x3 1				1			2		1			1										4
		x			\|	t			sin 2t		\|	1		1					0				0
		x			\|	t			sin 2t		\|	1		1					0				0
				3 1				2			2		3			3		2				2				3
												.
		Для вычисления двойного интеграла (13) в полярных
координатах заштрихуем область															D стрелками, направ-

ленными вдоль лучей const , выходящих из полюса (см.

-35-

рис. 21), и заметим, что окружность x2 y2 1 имеет полярное уравнение 1, а также, что

1 x2 y2 1 2 в

соответствии с формулами (5). При любых[0; 2 ] стрелки начинаются в полюсе0 , а заканчиваются

на кривой 1 . Поэтому нижний и верхний пределы внутреннего интеграла (9) равны 0 и 1, внешнего – 0 и 2 , соответственно, и объем области Q равен:

	2		1
V		d		1	2	d .
Q

При этом внутренний интеграл не зависит от переменной интегрирования внешнего интеграла, поэтому данный двукратный интеграл равен произведению интегралов

2		1
d 2 и			1 2 d . Последний интеграл вычисляет-
		0
ся	с			помощью			замены:	y 1 2 ,
dy 2 d d					dy	,	y 1 02 1,	y 1 12 0 , а
dy 2 d d						,	y 1 02 1,	y 1 12 0 , а
			2				1	2
			2

именно:

-36-

2 y

1 2 d

В результате имеем:

V 2 2

Пример. Вычислить тройной интеграл:

IQ x2

y2 z dxdydz ,

где Q

–

область,

ограниченная

поверхностями

z 2 x2 y2 ,

z x2 y2 .

Решение.

Поверхность

z 2 x2 y2

– параболоид

с вершиной в точке (0, 0, 2)

и бесконечно

расходящи-

мися вниз краями, ограни-

чивает область Q сверху.

Поверхность z x2

–

верхняя половина

конуса

z2 x2 y2

вершиной

начале координат, ограничивает область

Q снизу (см.

рис. 22). Следовательно, область Q –

правильная в

направлении оси OZ и тройной интеграл IQ

можно свести

к двукратному, а затем – к двойному на основании форму-

лы (12):

-37-

										2 x2 y2
	IQ x2					y2 dxdy								z dz
			D								2	y	2
											x	y
1	x	2	y	2	2 x		2	y	2	2	x			2	y	2	dxdy .
		2		2			2		2					2		2
2	D

Линия пересечения этих поверхностей – окружность

x2	y2 1 в горизонтальной плоскости z 1.	Это самое
широкое место области Q , поэтому область		D – круг
x2	y2 1 в плоскости OXY . Граница области D задается
в полярных координатах простым уравнением		, по-

этому вычислим двойной интеграл в полярных координатах с помощью формулы (9). Для этого заштрихуем область D стрелками, направленными вдоль лучей const , выходящих из полюса (см. рис. 21), и запишем подынтегральное выражение в полярных координатах, используя третью формулу (5): x2 y2 2 . При любых [0; 2 ] стрелки начинаются в полюсе 0 , а заканчиваются на кривой 1 . Поэтому нижний и верхний пределы внутреннего интеграла (9) равны 0 и 1, внешнего – 0 и 2 , соответственно:

IQ	1	2	1		2		2		1		3 4		d
IQ		d		2	2	2		2	d	7	3 4	3	d
				2		2		2		7	5	3
	2 0		0						0

8	6	4	1	1		1		5
			\|				1		.
8	2				8	2		8
			0

Пример. Вычислить тройной интеграл:

-38-

				IQ				y cos(z x) dxdydz

							Q

где область				Q ограничена цилиндром y x и плоско-
стями y 0 ,				z 0 и x z .
								2
	Решение. Область Q – цилиндрическое тело, ограни-
ченное			сверху		плоскостью
z	x , снизу				–	коорди-
	2
натной			плоскостью					OXY
( z 0 )			(см.	рис. 23). Цилин-
дрическая					поверхность
			и плоскость					y 0 ,
y		x
перпендикулярные							плоско-
сти OXY , образуют боковую
поверхность тела Q . Следо-
вательно, область Q правильная в направлении оси OZ , и
тройной интеграл IQ						можно свести к двукратному, а затем

– к двойному на основании формулы (12):

	2 x				z 2 x
IQ y dxdy		cos(z x) dz y sin(z x)			\|	dxdy
D	0			D	z 0
D	0			D
			y 1 sin x dxdy .
			D
Плоскости	z		x	и z 0 пересекаются по прямой
			2

x						x
x		, а полупарабола	y		x и прямая	x		в плоскости
	2						2
				-39-



OXY пересекаются в точке	2	,	2	. Свести двойной ин-

теграл к двукратному по формуле (3) нельзя, так при этом получается неберущийся интеграл x sin x dx . Сведем

двойной интеграл к двукратному на основании формулы

(4).

Так как при этом внутренний интеграл по переменной x , то делаем штриховку стрелками, направленными вдоль

оси OX (см.			рис. 24), и выражаем в уравнениях кривых,
ограничивающих				область D ,
переменную x через перемен-
ную		y . Область D в плоскости
OXY		ограничена слева парабо-
лой		x y2 ,	справа –		прямой
x		, снизу и сверху –			прямы-
	2

ми	y 0 и		y	. Следова-
				2

тельно, нижний и верхний пределы во внутреннем инте-

грале y		2 и		, во внешнем – 0 и							, соответственно:
			2							2

					2			2
				IQ			y dy 1 sin x dx
					0			y2
						x 2
	2					x 2		2				3	y cos y	2
		y dy x cos x					\|			y y			y cos y		dy
	0					x y2		0	2
								-40-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]