Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

А.Г. Кюркчан, Н.И. Смирнова

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. Ч.1.

Учебное пособие для студентов 2 курса

направления 01.03.04 – «Прикладная математика»

Москва 2015

1

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.1Общие понятия. Примеры.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (о.д.у.) называются

уравнения вида:

Порядком дифференциального уравнения (д.у.) называется наивысший

порядок производной неизвестной функции y(x) , входящей в уравнение.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) д.у. (1), если она n

раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале [a,b] и при x [a,b]

удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его

интегрированием .

т.е. для отыскания первообразной мы имеем о.д.у. 1-ого порядка. Его решения имеют вид:

x

y(x) f (t)dt C , [x, x0 ] [a,b] ,

x0

где C произвольная постоянная.

Д.у. (2) имеет бесчисленное множество решений и это справедливо для всех о.д.у. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной y(x) в какой-либо точке, например, y(x0 ) y0 . Тогда решение единственно и равно

x

y(x) y0 f (t)dt .

x0

4

Все элементарные функции являются решениями о.д.у.

Пример 2. Уравнение:

К о.д.у. приводят многие задачи естествознания.

Пример 3. Движение материальной точки массы m описывается II законом

Если задача об отыскании всех решений о.д.у. сводится к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Класс этих уравнений узок, поэтому для исследования д.у. как правило применяются приближенные и численные методы.

В нашем курсе мы не будем подробно останавливаться на таких методах.

Ниже лишь коротко рассмотрим на конкретных примерах два метода нахождения приближенного решения о.д.у., разрешенных относительно производной.

1.2Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

Уравнение, относящееся к этому классу имеет вид:

5

В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию f (x, y) , уравнение (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию:

y(x0 ) y0 .

Общее решение уравнения (6), содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение dydx f (x, y) устанавливает зависимость

между координатами точки и угловым коэффициентом касательной dydx к

графику решения в этой точке. Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования д.у.

заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми1,

направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Поле направлений изображают единичными векторами, образующими с

осью Ox угол arctg dydx , а касательные к интегральным кривым в каждой их точке

должны совпадать по направлению с этими единичными векторами.

На этой идее основан первый (графический) метод построения приближенного решения д.у. вида (6), называемый методом изоклин. Он бывает полезен в тех случаях, когда необходимо «прикинуть» вид интегральных кривых д.у., неинтегрируемого в квадратурах.

Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одинаковое направление. Т.е. в каждой точке изоклины векторы поля направлений имеют одинаковый наклон. Таким

1) Пусть y (x) – это решение уравнения (6) на отрезке [a,b] оси х. График этой функции, т.е. кривая y (x) , называется интегральной кривой уравнения (6).

6

аппроксимировать исходное нелинейное д.у. линейным д.у., которое уже можно решить аналитически. Рассмотрим этот метод на примере решения часто встречающейся на практике нелинейной системы о.д.у.

Пример 6. Модель типа хищник-жертва. Рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва. При этом предполагается, что жертва может найти достаточно пищи, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

Пусть x(t) и y(t) - количество жертв и хищников соответственно в момент времени t . Пусть также коэффициент рождаемости жертв b и коэффициент естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищником) d являются константами, причем b d . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью ( b d )x . Кроме того, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву зависит от вероятности их встречи и,

следовательно, пропорционально произведению xy .

Таким образом, популяция жертв удовлетворяет следующему д.у.: dxdt x xy ,

где b d 0 , а 0.

Относительно хищников предположим, что их число при отсутствии жертв по естественным причинам убывает со скоростью y . В результате встреч с жертвами число хищников увеличивается. Таким образом, имеем уравнение:

dydt y xy ,

где 0, а 0.

Итак, модель хищник-жертва сводится к системе 2-х нелинейных о.д.у.

9

где 0, 0, 0, 0. Эти уравнения называют уравнениями Лотки-Вольтерра.

Для однозначной разрешимости систему (а) необходимо дополнить начальными условиями

Кроме того, точкой равновесия будет так называемое тривиальное решение или

точка покоя

xs ys 0 .

Разложим правые части уравнений (а) в ряды Тейлора в окрестности точки ( xs , ys ). С учетом (с) получим

x( y) ( ys )(x xs ) xs ( y ys ) ... xs ( y ys ) ...

y( x) ( xs )(y ys ) ys (x xs ) ... ys (x xs ) ....

Таким образом, в окрестности этой точки исходные уравнения (а) можно

аппроксимировать линейными

10