Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Учебное пособие

Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной:

21

т.е.

неявную функцию x в окрестности точки (x0 , y0 ) .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

M (x, y)dx N(x, y)dy

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно (в односвязной области), чтобы функции M (x, y) и N (x, y) были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

В самом деле, необходимость условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат;

тогда

Таким образом, если выполняются эти условия, уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах и легко интегрируется. Действительно,

dU Mdx Ndy .

22

С другой стороны,

откуда

U (x, y) M (x, y)dx C( y) .

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

M (x, y)dx C( y) N (x, y),

y

т.е.

C ( y) N (x, y) M (x, y)dx.

y

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции

U(x,y) по еѐ полному дифференциалу dU Mdx Ndy состоит в вычислении

Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

23

Пример 1. Рассмотрим следующее д.у.:

(x y 1)dx (x y2 3)dy 0.

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.к. функции

M (x, y) (x y 1) , N(x, y) (x y2 3) непрерывно дифференцируемы и

y (x y 1) x (x y2 3) .

Определим функцию U(x,y) по описанной выше схеме, поскольку:

Следовательно, общий интеграл уравнения имеет вид:

3x2 6xy 6x 2y3 18y C2.

2.5Интегрирующий множитель

Внекоторых случаях левая часть уравнения

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y),

после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

dU Mdx Ndy ,

т.е. M U ; N U .x y

24

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально. (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если

f (x, y) M (x, y) удовлетворяет условиям теоремы).

N (x, y)

Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, может оказаться сложной

задачей.

Пример 2. Найдем решение следующего уравнения, предварительно приведя его к уравнению в полных дифференциалах:

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

25

Можно проверить, что это решение удовлетворяет уравнению (9).

3. Нормальные системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка вида: y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ) .

Положим

y y1, y y2 , y y3 ,...,y(n 1) yn ,

тогда это уравнение сведется к системе n дифференциальных уравнений I

порядка, разрешенных относительно производной:

Эта система является частным случаем следующей:

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

26

Для выделения единственного решения система (1) дополняется

начальными условиями:

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются

начальными данными Коши.

Ниже будет доказана теорема существования и единственности решения

задачи (1)-(2), которая, очевидно, будет справедлива и при n=1, т.е. для д.у.

первого порядка, разрешенных относительно производной, рассматриваемых в разделе 1.2.

3.1 Условие Липшица

Говорят, что функция F (x) удовлетворяет условию Липшица в некотором

интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для x1, x2 [a,b]

F(x1 ) F(x2 ) A x1 x2 .

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной

дифференцируемости. Так, функция

F(x) | x |,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но еѐ производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция n переменных F(x1, x2 ,...,xn ) удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных x1, x2 ,..,xn , т.е. постоянная А, для которой

Действительно, из неравенства (*), учитывая тождество

27

следует неравенство

Обозначив через A , наибольшую из Am , получим требуемое неравенство.

3.2 Теорема существования и единственности для нормальных систем

дифференциальных уравнений

Напомним, что нормальной системой дифференциальных уравнений была названа система вида:

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области

D , определенной неравенствами

удовлетворяющим начальным условиям (2).

28

Доказательство. Предварительно покажем, что система (1), (2)

эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений

Вольтерра:

начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом

(2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений. Для

.......................................................

29

удовлетворяют при всех m условиям теоремы и, в частности условию Липшица,

Таким образом, вообще

30