Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то уравнение (1) имеет единственное решение y y(x) ,

x0 h0 x x0

достаточно мало), удовлетворяющее условию y(x0 ) y0 , для которого

y (x0 ) y0

где y0 – один из действительных корней уравнения F(x0 , y0 , y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

центром.

2. Корни 1, 2 - равные действительные:

1 2 .

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (4) равен нулю:

D (b c)2 4ad 0 .

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда b c , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

2.1. b c , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0, a 0 . В случае,

когда a=0, d 0 , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (3) имеем

bx,

ax by,

b ,

откуда x C ebt C e t ,

by C e t .

Решая второе уравнение, получим

y (C t C )e t . Таким образом, исключая t,

будем иметь

ln | x | Cx .

(9)

Из (9) следует, что

lim

, где знак (+) или ( ) зависит

x 0

от знака . Это вырожденный узел. В нем, в отличие от узла (1), все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай,

соответствующий >0.

2.2. b=c= , a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

dydx xy ,

а его общее решение y Cx . Таким образом все интегральные кривые проходят через особую точку и представляют из себя прямые, такая особая точка

называется дикритическим узлом.
Второе	условие теоремы существования		и	единственности	– условие
Липшица –	чаще всего нарушается в точках, в			окрестности которых		f
Липшица –	чаще всего нарушается в точках, в			окрестности которых		y
						y
неограниченно возрастает, т.е. в точках, где 1		f	0 .
		y
Уравнение 1 f 0 , вообще говоря,		определяет некоторую			кривую, в
	y

точках которой может быть нарушена единственность решения. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

Пример 3. Найдем особые решения уравнения:

( y x)2

( y x) 13

Здесь

f (x, y) 3

( y x)2

т.е. 1

3 y x 0

при y=x.

Заменим переменные:

y x z , тогда

1, т.е.

1 z 23

1. Откуда

(x C)3

3 dz dx , или 3z 3 x C,

y x

Кривые этого семейства проходят через точки прямой y x , являющейся решением дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке этой прямой единственность нарушена, и функция y x является особым решением.

Таким образом, одной непрерывности правой части в уравнении

dydx f (x, y), y(x0 ) y0

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого

достаточно для существования решения.

5. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные

относительно производной, вида

	(1)
F(x, y, y ) 0.

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку (x0 , y0 ) , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых y y(x) , т.к.,

разрешая уравнение (1) относительно y , мы, как правило, получаем не одно, а

несколько	действительных значений	y fi (x, y) (i 1,2,..) и если	каждое из
уравнений	y fi (x, y) в окрестности	точки (x0 , y0 ) удовлетворяет	условиям

теоремы существования и единственности (см. разд. 3.2), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию y(x0 ) y0 .

Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию y(x0 ) y0 , обычно понимается в том смысле, что через данную точку

(x0 , y0 ) по данному направлению, задаваемому							fi (x0 , y0 ) , проходит не более одной
интегральной кривой уравнения (1).
Теорема. Если
Теорема. Если		в замкнутой окрестности точки (x0 , y0 , y0 ) функция

F(x, y, y ) удовлетворяет условиям:
1.
1.	F(x, y, y ) непрерывна по всем аргументам;

2.	производная		F				0 ;

		Fy непрерывна и	y
			y	x	, y	0	, y
			0			0	0

3. существует ограниченная по модулю производная F y , т.е. F N1 ;

Доказательство. В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1)

и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки

(x0 , y0 ) функции y f (x, y) , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию f (x0 , y0 ) y (x0 ) .

Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная f

существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество F(x, y, y ) 0 по y и учитывая, что y f (x, y) , получим

	F	F f	0 ,
	y	y y
следовательно,	f	F	F ,
	y	y	y
откуда с учетом условий 2)	и 3) теоремы получаем, что			f	N в замкнутой
откуда с учетом условий 2)	и 3) теоремы получаем, что			f	N в замкнутой
				y
окрестности точки (x0 , y0 ) ,	а поэтому в той же окрестности функция f (x, y)

удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в

соответствии с теоремой существования и единственности (см. разд. 3.2)

существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через

точку (x , y ) и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный y .

0 0 0

Ч.т.д.

5.1 Особые решения

Множество точек (x, y) , в которых нарушается единственность решения уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы. Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.

F 0	нарушается. Если условия 1) и	3)	выполнены, то в точках	особого
y
множества должны одновременно быть справедливы равенства
		F	0 .
	F (x, y, y ) 0,	y	0 .	(2)
Исключая из этих равенств y, получим уравнение
	(x, y) 0 ,			(3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Таким образом точки особого множества будут находиться среди корней уравнения (3), но не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак,	только среди точек		кривой	(x, y) 0 , называемой		p-
дискриминантной		кривой (т.к. уравнения (2)		часто	записывают в	виде
F (x, y, p) 0,	F	0 ), могут быть точки особого множества.
	p
Если какая-нибудь ветвь y (x)			кривой (x, y) 0		принадлежит особому

множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется

особой интегральной кривой, а функция y (x) – особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p-дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p-

дискриминантной кривой интегральные кривые и, если есть, то еще проверить,

нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p-дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Если (x, y,C) 0	– семейство интегральных кривых уравнения		(1), то
огибающая Q этого семейства всегда является особой		интегральной	кривой.
Действительно, в точках	Q значения x, y, y совпадают	со значениями	x, y, y

интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x, y) , и, следовательно, в

любой точке кривой Q значения x, y, y удовлетворяют уравнению F(x, y, y ) 0 ,

т.е. огибающая является интегральной кривой. В любой точке кривой Q нарушена единственность, т.к. через точки кривой Q по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: Q и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно, Q является особой интегральной кривой.

Пример 1. Найти особое решение уравнения Лагранжа1

x y 9

(4)

( y )

;

Обозначим y p, тогда

x y

;

(5)

Дифференцируем это уравнение по x:

1 p 98 p 98 p2

(1 p) p; откуда

, или (1

8 p , т.е. x

4 p2

C ,

(6)

кроме того, p=1 (т.е. y=x+C, С=-4/27) – также является решением.

Из (5) и (6) имеем: y C

p3; x C

p2 .

Исключая p, получим:

( y C)2 (x C)3 .

(7)

__________________________

1Уравнениями Лагранжа называются

линейные относительно x и y уравнения вида A( p) y B( p)x C( p), где

p dydx , A, B, C – заданные дифференцируемые функции p

Условия 1) и 3) теоремы существования выполняются. Дискриминантная кривая

		F	0
определяется уравнениями	F (x, y, y ) 0,	y	0	откуда p=0 или p=1.

Подставляя в уравнение (5), получим: y=x или y=x–4/27.

Прямая y=x–4/27 является огибающей семейства (7).

5.2 Огибающая семейства кривых.

Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая Q,

которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в

разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если (x, y,C) 0 – семейство интегральных кривых уравнения (1), то

огибающая Q этого семейства является особой интегральной кривой.

Действительно, как уже говорилось, в точках Q значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке

(x,y), и, следовательно, в каждой точке Q значения x, y и y удовлетворяют уравнению F(x, y, y ) 0, т.е. огибающая является интегральной кривой. В

каждой точке Q нарушена единственность, т.к. через точки Q по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые: Q и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно, Q

является особой интегральной кривой.

Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

(x, y,C) 0

(8)

и пусть функция (x, y,C) дифференцируема в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть Lc и Lc c – две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+ С

соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

(x, y,C)

Или, что то же самое

(x, y,C) 0,

0, (x, y,C C) 0.

(x, y,C C) (x, y,C) 0 .

Из рисунка видно, что при C 0 N M вдоль кривой (x, y,C) 0.

Так как	lim	(x, y, C C) (x, y,C)		x, y,C	,
Так как	lim	(x, y, C C) (x, y,C)			,
	C 0	C	C
	C 0
то координаты точки M удовлетворяют уравнениям
					(9)
		(x, y,C) 0, c (x, y, C) 0 .			(9)

Точка M(x,y) называется характеристической точкой кривой семейства (8),

отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых

называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых

точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка M0 (x0 , y0 ) называется обыкновенной точкой кривой семейства (8),

если в этой точке

y2 0.

(10)

противном случае

точка

называется особой (т.е. при

, y

0, т.к.

x ;

x0 , y0

y dy

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства (x, y,C) 0:

1.0, 0;x y

2.		N		N	.
2.		N		N	.
	x	1,	y	2

В примере 1 прямые y=x, и y=x–4/27 удовлетворяют системе (9), которая для этого примера имеет вид

( y C)2	(x C)3	0
				,
				,
		2	0
2( y C) 3(x C)			0

однако прямая y=x не является огибающей, т.к. на ней нарушается условие (10).

Список литературы

[1]В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953г.

[2]А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.

[3]Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965 г.

[4]Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978г.

[5]Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. МоскваИжевск: РХД, 2001г.

[6]В.Ф.Филиппов Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1990г.

[7]Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 г.

План УМД 2015.2016 уч. г., п.

Александр Гаврилович Кюркчан Надежда Ивановна Смирнова

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. Ч.1.

Учебное пособие

_______________________________________________________

Подписано в печать 2015 г. Формат 60х84/16 Объем Тираж Изд.

Заказ

_______________________________________________________

ООО «Инсвязьиздат». Москва, ул. Авиамоторная, 8.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]