Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Учебное пособие

Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через

определенное время популяция возвращается к первоначальному уровню.

1.2.1 Уравнения 1-ого порядка, интегрируемые в квадратурах

Рассмотрим теперь некоторые уравнения 1-ого порядка, которые

интегрируются в квадратурах.

1) Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

g( y) 0 , т.к. если, например, в какой-то точке y1 , функция g( y1 ) 0 , то из (13)

следует, что y y1 есть решение. Запишем уравнение (13) в виде:

dy f (x)dx g( y)

и проинтегрируем

Это и есть общее решение уравнения (13).

Пример 7. Найдем решение следующего д.у. с разделяющимися переменными:

где С - произвольная постоянная. Кроме того, имеется еще решение y 0.

12

Найдем теперь решение следующей задачи (такую задачу называют задачей

2)Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Втаких уравнениях переменные можно разделить, выполнив некоторую

подходящую замену.

а) Рассмотрим уравнение вида:

dydx f (ax by) ,

где a,b const .

Перейдем к новым переменным z ax by , в результате будем иметь

т.е. переменные разделились. Интегрируя, получим:

dz

x a bf (x) C .

б) Рассмотрим теперь следующее уравнение

где (x, y) однородная функция нулевого порядка. Такое уравнение называют

однородным д.у. 1-ого порядка.

Функция (x, y) называется однородной функцией нулевого порядка, если

(tx,ty) t 0 (x, y) (x, y)

13

Выполним замену y x z , т.е. y xz , тогда

Таким образом, мы снова получили д.у. с разделенными переменными. После интегрирования получим:

MM1(x)M2 ( y), N N1(x)N2 ( y) .

2.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции и еѐ

производной.

14

линейном однородном уравнении переменные разделяются, и его решение не составляет труда:

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть равно нулю.

Для интегрирования же неоднородных уравнений применяются метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки, которые и будут рассмотрены ниже.

2.1 Метод вариации произвольной постоянной

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) можно применять метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом вначале находится решение соответствующего однородного уравнения, которое задается формулой (2). Затем в полученном решении «варьируют постоянную», т.е. полагают C C(x) , и

подставляют это решение в исходное неоднородное уравнение (1). Тогда,

учитывая что:

dydx dCdx e p( x)dx C(x) p(x)e p(c)dx ,

будем иметь:

dCdx e p( x)dx C(x) p(x)e p( x)dx p(x)C(x)e p( x)dx f (x) ,

или

15

dCdx f (x)e p( x)dx .

Таким образом, мы получили линейное однородное д.у. относительно C(x),

интегрируя которое, находим

C(x) f (x)e p( x)dxdx C1 ,

и, следовательно,

Итак из формулы (3) видно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

С1e p( x)dx

и частного решения неоднородного уравнения

e p( x)dx f (x)e p( x)dxdx ,

получающегося из (3) при С1 0 .

Пример 1. Методом вариации произвольной постоянной найдем решение неоднородного уравнения

и после интегрирования будем иметь:

16

C(x) x2 C1. . 2

Таким образом, общее решение имеет вид:

y C1x x3 . 2

Пример 2. Методом вариации произвольной постоянной найдем решение неоднородного уравнения:

dydx yctgx 2x sin x .

Интегрируя однородное уравнение, находим

dyy cossin xx dx , т.е. dydx yctgx 0, ln y ln sin x ln C, y C sin x .

Варьируем постоянную:

y C(x)sin x, y C (x)sin x C(x)cos x .

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

C (x) sin x C(x) cos x C(x) cos x 2x sin x ,

2.2 Метод подстановки (Даламбера)

Для решения линейного неоднородного уравнения 1-ого порядка (1) можно применять также метод подстановки (Даламбера). В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку y(x) U (x)V (x) , тогда это уравнение примет вид:

V ( dUdx pU ) (U dVdx f ) 0.

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

dUdx p(x)U 0, или dUU p(x)dx .

17

Обозначим через U0 (x) одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

U0 (x) dVdx f (x) 0 .

Находим общее решение этого уравнения V V (x,C) . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

y(x) U0 (x)V (x, C) .

Пример 3. Методом подстановки найдем решение следующего

неоднородного уравнения:

откуда окончательно имеем

x Cy 2 1y .

2.3 Уравнения, сводящиеся к линейным

18

Многие нелинейные дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1) Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется нелинейное относительно неизвестной

функции уравнение вида:

Подставив эти выражения в (4), получим линейное дифференциальное уравнение:

которое может быть решено как методом вариации произвольной постоянной, так и методом подстановки.

19

Отметим, что уравнение Бернулли можно решать и непосредственно методом подстановки.

2) Уравнение Риккати

Уравнением Риккати называется нелинейное относительно неизвестной

функции уравнение вида:

dydx p(x) y q(x) y2 f (x) .

В общем виде это уравнение не интегрируется в квадратурах, однако,

заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение y1 (x) этого уравнения.

z p(x) 2y1(x)q(x) z q(x)z2 0 .

Пример 5. Найдем решение следующего уравнения Риккати:

dydx y2 x22 .

Здесь легко подобрать частное решение: y1 1 x . Полагая y1 1 x z , получим:

Последнее уравнение является уравнением Бернулли. Перепишем его в виде

z 2 1, z2 xz

Выполним замену:U 1z , тогда dUdx zz2 , а уравнение примет вид:

dUdx 2Ux 1; .

20