Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Учебное пособие

Вычтя из обеих частей этого равенства

31

Т.к. величина справа может быть сделана сколь угодно малой, а величина слева неотрицательна, то равенства (11) тождественно выполняются. Таким образом мы показали, что решение системы интегральных уравнений (4), а, следовательно, и

решение задачи (1)-(2), при выполнении условий теоремы всегда существует и имеет вид (11).

Осталось доказать, что система функций (7) является единственным решением системы (4). Предположим, что функции

32

то, воспользовавшись полученным неравенством и неравенством Липшица,

получим

Часто вместо условия Липшица

F(x1) F(x2 ) A x1 x2

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F (x) на отрезке [a,b].

33

Действительно, если при x [a, b] выполняется неравенство F (x) N, то,

пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

F(x1) F(x2 ) F ( ) x1 x2 ,

том, что условие F (x) N, является более грубым, чем условие Липшица.

Пример. Пусть имеется д.у. 2-го порядка: y y 0 .

Ранее мы убедились, что решениями этого уравнения являются функции: y1 sin x ,

Пусть y1(0) 0 y10 ; y2 (0) y20 1;

Эквивалентная система интегральных уравнений имеет вид:

Решим эту систему методом последовательных приближений:

34

При x= /2 получим:

y1(3) ( 2 ) 0.9248; y2(3) ( 2 ) 0.2337.

При x= /4 – соответственно y1(3) ( 4 ) 0.7047; y2(3) ( 4 ) 0.6916; y2(4) 0.7074.

Сравним результаты с точным решением:

4. Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной.

Теорема. Если в окрестности точки (x0 , y0 ) функция f (x, y) имеет

удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) y0 , в некоторой окрестности точки

(x0 , y0 ) имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

35

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка,

можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

4.1 Особые точки дифференциальных уравнений.

Рассмотрим теперь точки (x0 , y0 ) , в окрестности которых решение уравнения (1), удовлетворяющего условию y(x0 ) y0 , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками уравнения.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой кривой. Очевидно,

что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы

существования и единственности решения уравнения (1) (см. разд. 3.2 при n=1).

разрывные.

Пусть уравнение (1) имеет вид:

36

Особые точки уравнения (2) можно классифицировать по характеру поведения интегральных кривых в окрестности этих точек. Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

По характеру такого поведения можно классифицировать особые точки уравнения

(2).

Уравнение (3) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

dx cx dy,dt

dy ax by

dt

Найдем особые точки этой системы, для чего рассмотрим различные возможные случаи.

37

1. Корни характеристического уравнения

с невырожденной матрицей B , такое, что:

Таким образом, система (5), а следовательно, и уравнение (3), сводится к уравнению

Очевидно, первое условие теоремы существования и единственности для этого

Из (7) видно, что существование и единственность этого решения зависят от характера корней 1, 2 . Рассмотрим возможные варианты.

1.1. Корни 1, 2 действительные и одного знака.

38

Без ограничения общности можно считать, что 2 1 0 . В этом случае решение существует , , но может быть не единственным. Действительно, все интегральные кривые (7) проходят через особую точку 0 , 0 .

Кроме семейства (7), куда входит и решение =0, существует также, как видно из

(6), интегральная кривая =0.

Через особую точку 0 , 0 (или в первоначальных координатах x0 0 , y0 0 ) C

проходит бесконечно много интегральных кривых уравнения (3), такая особая точка называется узлом.

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение:

d 2 . d

Его решение C 2 представляет из себя семейство парабол в прямоугольной системе координат и с вершиной в особой точке – узле.

1.2. Корни 1, 2 - действительные разных знаков.

Общий интеграл этого уравнения C . Для этого уравнения особая точка 0 , 0

является седлом.

1.3. Корни 1, 2 – комплексно сопряженные:

39

В этом случае, как видно из (5), мы можем считать, что . Таким образом,

система уравнений (5) сводится к одному уравнению: ddt ( p iq) . Его решение имеет вид:

Cept ei(qt ) , Cept e i(qt ) ,

где C 0 - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

UCe pt cos(qt ), 2

VCe pt sin(qt ). 2i

Врезультате будем иметь: