Кинематика и динамика рычажных механизмов. Учебное пособие

нормального ускорения. Переносное касательное ускорение направлено перпендикулярно отрезку О2А и по величине равно aeτ = ε2·О2А. Так как ε2 неизвестно, то aeτ тоже неизвестно по величине. Переносное нормальное ускорение направлено к центру вращения кулисы 2 и равно aen = ω22·O2A = (3.92)2·0,205 = 3.15 м/с2.

Вектор ускорение Кориолиса определяется по формуле:

,,

а его величина в данном случае равна

ak = 2 ω2 Vr sin90° = 2 ·3,92·0,876 = 6.973 м/с2.

Направлено ускорение Кориолиса перпендикулярно кулисе 2, как показано на рис. 5.9. В нашем случае учтено, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка по оси вращения О2 за рисунок. Направления ускорений показано на рис. 5.9.

Будем решать это уравнение графически методом планов. Изобразим

произвольна, например 50 мм. Тогда построение всех остальных векторов необходимо выполнять с учётом масштабного коэффициента µa = 12/50 = 0,24

Выполним графическое построение суммы векторов в правой части равенства (5.8).

81

СaCx

D

Рис. 5.9. Направление векторов ускорений

Через точку P (рис. 5.8) проводим линию параллельную вектору и откладываем отрезок Pn в направлении этого вектора от точки А к точке О2. Длину отрезка рассчитываем по формуле:

an = aen/ µa , an = 3.15/0,24 = 13,125 мм.

Этот отрезок изображает вектор . Теперь построим изображение вектора . Для этого через точку n проведём линию параллельную этому вектору и на ней откладываем отрезок nk, длина которого определяется формулой

nk = ak / µa, nk = 6.973/0,24 = 29,054 мм.

Далее проводим через точку k линию параллельную ускорению , а через точку a линию параллельную ускорению . Точку пересечения этих линий обозначим буквой τ. Расставим стрелки векторов так, чтобы получилось равенство (6.7). Измеряем отрезки kτ и aτ и находим величины неизвестных векторов.

Ar = kτ· µa= 45·0,24 =10,8 м/с2, = aτ· µa = 68·0,24 =16,328 м/с2.

Определяем угловое ускорение кулисы:

ε2 = aeτ/O2A = 16,328/0,205 = 79,65 с-2.

Определяем; ускорение точки С и ускорение тела 5 по

O2C = (3,92)2·0,16 = 2,459 м/с2,

ас = = = 12,979 м/с2. А5 = 12,744·0,956 + 2,459·0,293 = 12,904 м/с2.

Результаты расчётов кинематических параметров см. в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Скорость и ускорение точек и звеньев

5.4.2. Силовой анализ кулисного механизма

Для определения реакций связей применим принцип Даламбера. Значения скоростей и ускорений возьмём из предыдущего параграфа. Рассмотрим положение механизма при φ = 150°.

Вычислим силы инерции:

Направление этих сил учтём, изображая их как векторы, противоположно направленные ускорениям. Определим величину главного момента сил инерции кулисы по формуле:

M2ин = -I2O1ε2.

Учтём знак «-» на чертеже, изобразив дуговой стрелкой в сторону противоположную угловому ускорению кулисы , вычислим его величину = 0,15·78,974 = 11,547 Нм. Изобразим все силы на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Заданные силы и силы

83

Вычислим силы тяжести: G1 = 10,79 H, G2 = 19,62 Н, G3 = G4 = 39,84 Н, G5 = 19,62 Н. Направим и вычислим значения силы инерции ползуна 3.

Ф3 = m3·a3 = 4·12 = 48 Н. Разделим конструкцию на три части и введём реакции опор R01x, R01y, R23, R32, R20x, R20y, R45, R54. Составим для каждой части конструкции уравнения статики, выражающие принцип Даламбера.

I. Кулиса 5 (рис. 5.11). Составим уравнение кинетостатики для кулисы 5.

-,

где Ф5 = m5·a5 = 2·12,9 = 25,8 Н,

отсюда

R54 = G5+Ф5 = 19,62 + 25,8 = 45,48 Н и R45 = R54 = 45,48 Н.

II. Система тел 2 и 4 (рис. 5.13).

Сумма моментов всех сил, действующих на систему кулиса 2 – ползун 4, относительно точки О2 равна 0:

R23·O2A + M2и + (R45+G4)h1 + Ф4τ·l3 + Fпсh2 = 0.

Вычисляем реакцию: R23 = (-M2и-(R45+G4)h1-Ф4τ·l3- Fпсh2)/ O2A

Рис. 5.11. Силы, действующие Рис. 5.12. Внешние силы и силы инерции, на кулису 5 действующие на систему тел 1, 3

84

Рис. 5.13. Внешние силы, и силы инерции, действующие на систему звеньев 2, 4

Измеряем на чертеже все нужные размеры (в мм) и вычисляем их длину в метрах по формуле h(м)=h(мм)·µl(м/мм) и определяем R23.

R23 = (-11,547-(44,664+39,24)·0,154-49,26·0,16-200·0,052)/0,205 = -207,93H.

Направление силы R23 перпендикулярно кулисе 2. При составлении уравнения моментов момент этой силы был взят со знаком «+», а в ответе мы получили знак «-». Это значит, что сила R23 направлена перпендикулярно кулисе в направлении противоположном принятому первоначально.

Направление и величину силы R20 определим из условия, что векторная сумма всех сил равна 0. Построим план сил.

модуль. Для построения плана сил выберем масштабный коэффициент:

µF = 207,93/75 = 2,77 Н/мм.

В этой формуле 75 мм это длина отрезка, изображающего на плане силу R23. Она показана на рис. 5.14. Складываем все известные силы по правилу силового многоугольника, не забывая про масштаб. Сумму трёх вертикальных сил:

G2 + G3 + R45 = 19,62 + 39,84 + 45,48 = 104,94 Н.

изображаем на плане вертикальным отрезком длиной:

85

(G2+G3 +R45 )черт = 104,94/2,77 = 37,85 мм.

Его начало совпадает с концом предыдущего вектора. Последовательно пристраиваем изображения векторов сил:

(Ф4)черт = 10,189/2,0793 = 3,6 мм

и

(Ф4τ)черт = 49,261/2,0793 = 17,77 мм.

Замыкающей будет искомая сила R20. Измеряем длину изображающего отрезка и вычисляем значение силы R20.

R20 = 150·2.77 = 440,09 Н.

III. Система тел 3 и 1 (рис. 5.12).

Построение плана сил для группы звеньев 1 и 3 начинаем с изображения силы R32 длиной 100 мм в направлении противоположном силе R23 (рис. 5.15). Масштаб построения

µF = 207,93 H/100 мм = 2,0793 Н/мм.

Рис. 5.14. План сил группы: кулиса 2 Рис. 5.15. План сил группы: кривошип 1

Ф3черт = 48/2,0183 = 23,78 мм. Соединив конец построения с началом

86

и измерив длину получившегося отрезка, получим изображение искомого вектора R01черт = 95 мм, поэтому:

R10 = 95 мм ·2,0183 Н/мм = 199,2 Н.

С помощью рис. 5.15 можно определить проекции этой силы на координатные оси.

Для определения уравновешивающего момента Мвр составим уравнение моментов относительно точки О1:

Mвр+G3l1cos(π-150°)-R 32l1sin (π/2 – φ1-φ2) = 0, Mвр = -39,84·0,12cos(30°)+ 207,93·0,12sin(π/2-φ1-φ2)

Mвр = 16,27 Нм.

IV. Ползуны 3 и 4.

Теперь применим метод кинетостатики для каждого из ползунов 3 и 4. Силы, действующие на ползун 4, показаны на рис. 5.16.

Для определения направления и величины силы реакции кулисы 2 на ползун 4 построим план сил. Выполним условие, что векторная сумма всех сил, действующих на ползун 4 равна 0.

G4+R45+Ф4n+Ф4τ+Fпс+R42 = 0

Построение плана сил производим в масштабе µF = 2,0793 Н/мм. Последовательно складываем все известные силы. Рассчитываем чертёжные значения всех известных сил. Последняя сила будет замыкать силовой многоугольник и таким образом определяется её величина и направление. Результат построения показан на рис. 5.19. Определим неизвестную силу R42. R42 = 120·2,0793 = 249,5 Н.

Для ползуна 3 (рис. 5.17) строится план сил (рис. 5.19), на котором складываются силы

Fnc + R32 + G3 + Ф3 + R31 = 0

Определяем силу R31 = 110·2,0793 = 228,7 Н.

Определены реакции всех внешних и внутренних связей

87

Итак, определены силы реакций всех внешних и внутренних связей.

5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МВР С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА

Составим уравнение мощностей:

-Fпс·Vcsinφ2 – (G 5+Ф5)·V5-Ф4τ·VC-G4·V5- M2ин·ω2+G3·VA·cos30°+M вр·ω1=0.

88

Уравновешивающий момент

Mвр= (Fпс·Vcsinφ2 + (G5+Ф5)·V5+Ф4τ·VC + G4·V5+M2ин·ω2-G2·VA·cos30°)/

ω1

Подставляя значения величин, получим Mур = 16,1 Нм. Сравним значения Mур, полученные разными методами

∆ Mвр = (16,28-16, 1)·100%/16,28 = 1%.

Расхождение значений Mвр, полученные разными методами составляет 1 %, что подтверждает правильность расчётов.

Вопросы к задачам К1, К2 и К3

1.Что такое касательное и нормальное ускорение точки?

2.Как с помощью касательного и нормального ускорений точки получить полное ускорение?

3.Какое движение твердого тела называется поступательным?

4.Как можно задать поступательное движение тела?

5.Какое движение называется вращательным?

6.Как задаётся вращение тела вокруг неподвижной оси?

7.Что такое угловая скорость и угловое ускорение тела? Какую размерность имеют эти величины?

8.По какой траектории движется любая точка вращающегося тела?

9.Как по закону вращательного движения найти закон движения точки по траектории?

10.Как определяется величина и направление вектора скорости точки вращающегося тела?

11.Как определяется величина и направление вектора касательного и нормального ускорений точки вращающегося тела?

12.Как определяется величина и направление вектора ускорения точки вращающегося тела?

13.Какое движение твёрдого тела называется плоскопараллельным?

14.В чём заключается закон плоскопараллельного движения тела?

15.Из каких движений складывается плоскопараллельное дви-

жение?

89

16.Сформулируйте теорему о распределении скоростей при плоскопараллельном движении.

17.Сформулируйте теорему о распределении ускорений при плоскопараллельном движении.

18.В формуле, определяющей скорость точки по теореме о распределении скоростей при плоском движении, какая из двух скоростей является относительной и какая переносной?

19.Рассматривая плоскопараллельное движение звена АВ, какую точку Вы приняли за полюс?

20.Как Вы определили скорость и ускорение полюса при рассмотрении плоскопараллельного движения звена АВ?

21.Как обозначается и как определяется скорость точки В в относительном вращательном движении звена АВ вокруг полюса?

22.Как обозначается и как определяется ускорение точки В в относительном вращательном движении звена АВ вокруг полюса?

23.Проверьте правильность расчёта скоростей точек В и С при помощи мгновенного центра скоростей.

24.Чему равна угловая скорость плоского сечения, если две его точки имеют равные по величине и одинаково направленные скорости?

25.Как Вы определили скорость точки С?

26.Как Вы определили ускорение точки С?

27.Как вычисляется ускорение Кориолиса?

28.Сформулируйте теорему Кориолиса для сложного движения

точки.

Вопросы к задачам Д1 , Д2 и Д3

1.Как вычисляется момент силы относительно точки на плоскости?

2.Сформулируйте закон равенства действия и противодействия.

3.Как определяется сила инерции Даламбера?

4.Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки.

5.Сформулируйте принцип Даламбера для механической системы.

6.Запишите уравнения статики, выражающие принцип Даламбера для плоской системы сил.

90