Кинематика и динамика рычажных механизмов. Учебное пособие

Рис. 4.12. Решение матрицы в программе Mathсad

Неизвестные могут быть определены с помощью программы Mathсad. Для этого после обращения к программе, на рабочем поле щелчком мыши выбирается место для ввода матрицы. Записывается А:=, где знак присвоения «:=» вызывается нажатием клавиши с русской буквой «ж». После этого в строке команд выбирается окно матриц, устанавливается нужное число строк и столбцов в матрице, и записывается матрица коэффициентов. Аналогично вводится столбец правых частей Вi. Для определения неизвестных используется встроенная программа Х:=lsolve(A,B), с помощью которой и определяются неизвестные X=.

4.5.2. Определение величины Мвр методом Даламбера – Лагранжа

Общее уравнение динамики называется ещё принципом Даламбера – Лагранжа. Согласно этому принципу для механической системы с идеальными, голономными и стационарными связями, на которую действуют активные силы, и для которой введены силы инерции

71

Даламбера в данный момент времени, сумма элементарных работ (или мощностей) этих сил на любом возможном перемещении равна нулю. Запишем это уравнение через мощности:

Рис. 4.13. Силовая схема для общего уравнения динамики

Для голономных и стационарных связей действительное перемещение является одним из возможных, поэтому при вычислении возможных мощностей воспользуемся определёнными в задании по кинематике скоростями.

Мощность силы определяем по формуле NF = F·V·cosβ, где V – скорость точки приложения силы, β – угол между вектором силы и скорости. Мощность момента вычисляется по формуле NМ = ± М·ω, где ω – угловая скорость тела, к которому приложен момент. Необходимые для расчёта силы, скорости и углы показаны на рис. 11.

Вычислим сумму мощностей всех сил и приравняем её нулю:

m1g·0 + m2g·vC2·cos10º +m3g·vC3·cos172º +F·vD·cos172º +R2ин·

vC2·cos126º +M2ин· ω2 - R3инτ· vC3- M3ин· ω3+ Mвр· ω1 = 0.

Отметим, что сумма мощностей реакций опор равна нулю, потому что связи считаются идеальными. Работа внутренних сил тоже равна нулю, потому что ещё и звенья механизма рассматриваются как

72

абсолютно твёрдые. Подставляя числовые значения в полученное уравнение, определим величину Mвр:

1

Мвр= 0,628 (-589,9+3255,506+26885,78+12,25-

0,0038+19,89+0,071) = 47107 Нм.

Сравним результаты, полученные разными методами. Оценим расхождение значений в процентах:

∆Мвр= 47107 − 46448100 % = 1,4 %. 47107

Итак, проверка вычисления Мвр с помощью принципа Даламбера

– Лагранжа показала очень хорошую сходимость с расчётами, выполненными методом кинетостатики. Это свидетельствует о правильности расчётов.

5. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА КУЛИСНОГО МЕХАНИЗМА

5.1. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Движение точки (или тела) называется сложным или составным, если точка (или тело) одновременно участвуют в нескольких движениях. Например, точка движется по отношению к подвижной системе координат и вместе с этой системой движется по отношению к другой системе координат, условно принятой за неподвижную.

Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением. Скорость этого движения

указанных величин можно движение подвижных осей не учитывать (считать их неподвижными).

Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной является для рассматриваемой точки переносным

движением. Переносной скоростью точки (обозначается ) и

переносным ускорением () является скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижными осями точки, с которой в данный момент времени совпадает рассматриваемая точка.

73

Абсолютным движением точки называется её движение по отношению к неподвижной системе координат. Скорость и ускорение этого движения обозначаются без индексов: абсолютная скорость ,

абсолютное ускорение .

1. Теорема о сложении скоростей. При сложном движении

точки её абсолютная скорость равна векторной сумме

относительной и переносной скоростей, =+.

2. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): в

сложном движении точки абсолютное ускорение равно векторной сумме трёх ускорений : относительного, переносного и ускорения

векторному произведению вектора переносной угловой скорости и

вектора относительной скорости точки .

По правилу векторного произведения модуль ускорения Кориолиса равен произведению модулей перемножаемых векторов и синуса угла между ними: . Направление ускорения Кориолиса определяется так: совмещаем перемножаемые векторы так, чтобы они начинались из одной точки, проводим через эти векторы плоскость. Ускорение Кориолиса направляем перпендикулярно этой плоскости в ту сторону, откуда совмещение (поворот) вектора к вектору на ближайший угол выглядит происходящим против хода часовой стрелки (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Пример направления ускорения Кориолиса

74

5.2. ЗАДАНИЯ К3 И Д3

К3. КИНЕМАТИКА КУЛИСНОГО МЕХАНИЗМА

Кривошип 1 вращается равномерно с угловой скорость ω1 вокруг неподвижной оси О1. Кулиса 2 качается вокруг оси О2. Движение от кривошипа к кулисе передаётся с помощью ползуна 3, так как ползун связан с кривошипом шарниром А и скользит вдоль кулисы 2 . Движение от кулисы 2 к кулисе 5 передаётся с помощью ползуна 4, который в точке С соединён с кулисой 2 шарниром и может скользить по горизонтальной части кулисы 5. Сама кулиса 5 перемешается поступательно вдоль направляющих D.

Дана угловая скорость ω1 и размеры его звеньев. Для положения, определяемого углом φ1, начертить в масштабе схему механизма и определить угловые скорости и ускорения звеньев, а также скорости и ускорения ползунов 3 и 4, пренебрегая их размерами, и кулисы 5. Для решения применить теорию сложного движения точки. Решение выполнить графически, можно использовать компьютерную программу КОМПАС 3D.

Д3. СИЛОВОЙ АНАЛИЗ КУЛИСНОГО МЕХАНИЗМА

Даны массы всех звеньев m1, m2, m3, m4, m5, и моменты инерции вращающихся звеньев относительно осей вращения I1 и I2. В таблице заданы: угол φ1 и значения силы полезного сопротивления Fпс. Центры тяжести кривошипа и кулисы 2 находятся на их осях вращения. Используя исходные данные и результаты решения задания К3, выполнить следующие расчёты:

1.С помощью принципа Даламбера для механической системы и уравнений кинетостатики, составленных для каждого звена, определить внешние и внутренние реакции связей и величину момента Mвр, приложенного к кривошипу 1.

2.Проверить правильность определения Mвр с помощью общего уравнения динамики.

75

5.3. СХЕМЫ МЕХАНИЗМОВ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Варианты заданий

Рис. 5.2. Схема механизма № 1

Рис. 5.3. Схема механизма № 2

76

2

φ2

О2

Рис. 5.4. Схема механизма № 3

Исходные данные к схеме № 3:

ОА = 0.1 м, О1О2 = 0.3 м, О2С = 0.12 м, m1 = 8 кг, m2 = 15 кг, m3 = 4 кг, m4 = 40 кг, ω1 = 3 с-1

5.4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ К3 И Д3

На рис. 5.5 изображён механизм, состоящий из кривошипа 1, кулисы 2, ползуна 3, ползуна 4 и кулисы 5. Кривошип вращается равномерно с угловой скоростью ω1 вокруг неподвижной оси О1. Кулиса качается вокруг оси О2.

77

Движение от кривошипа к кулисе 2 передаётся с помощью ползуна 3, так как ползун связан с кривошипом шарниром А и скользит вдоль кулисы 2 .

Движение от кулисы 2 к кулисе 5 передаётся с помощью ползуна 4, который в точке С соединён с кулисой 2 шарниром и может скользить по горизонтальной части кулисы 5. Сама кулиса 5 перемешается поступательно вдоль вертикальных направляющих D.

Угол φ1 = 150°.

С

4

Рис. 5.5. Схема кулисного механизма

Зная угловую скорость ω1 = 10 c-1 и размеры механизма, определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы (ω2 и ε2); скорость и ускорение точки С; скорость и ускорение кулисы D. Даны

размеры: О1А = l1 = 0,12 м, О1О2 = l2 = 0,3 м, О2C = l3 = 0,16 м. Массы звеньев m1 = 1,1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 4 кг, m4 = 4 кг, m5 = 2 кг, момен-

ты инерции вращающихся тел относительно осей вращения Iz1 = 0,09 кгм2, Iz2 = 0,15 кгм2. Учесть силу полезного сопротивления, действующую на ползун 4 Fпс = 200 Н.

5.4.1. Определение кинематических параметров

Графоаналитический метод. Изобразим схему механизма в масштабе рис. 5.6. Отрезок длиной l2 = 0,3 м изобразим на чертеже О1О2 = 75 мм, тогда масштабный коэффициент будет µl = 0,3/75 = 0,004 м/мм. Чертёжные длины О1А и О1С определяем по формулам

О1А = l1/ µl = 30 мм, О1С = l3/ µl = 40 мм.

78

Определение скоростей. Точка А принадлежит звену 1, поэтому её абсолютная скорость направлена перпендикулярно отрезку О1А в сторону вращения кривошипа и равна

VА = ω1·l1, VА = 10·0,12 = 1,2 м/с.

Точка А также принадлежит ползуну 3, который находится в сложном движении. Эта точка участвует в относительном движении

С

Рис. 5.6. Схема механизма в масштабе при φ1 = 150°. Направление векторов скоростей

По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость точки А равна векторной сумме относительной и переносной скоростей

векторов графически (рис. 5.7).

Изобразим вектор скорости точки А. Для этого постоим отрезок Ра произвольной длины (в нашем примере Ра = 50 мм). Теперь проведём через точку а линию параллельно предполагаемой скорости , и через точку Р линию параллельно скорости .

Получился треугольник Рае. Поставим стрелки так, чтобы выполнилось равенство (6.1). На рис. 5.7 получили изображения искомых скоростей в выбранном масштабе

79

Измеряем соответствующие отрезки и определяем неизвестные

Ve = Pe·µV = 33,5·0,024 = 0,804 м/с,

Vr = Pa·0,024 = 36,5·0,024 = 0,876 м/с.

Переносная скорость точки А это скорость этой точки, принадлежащей вращающейся кулисе. Поэтому Ve= ω2· О2А, и, следовательно,

Вычислим расстояние О2А по теореме косинусов:

(6.3)

.

Тогда угловая скорость кулисы равна ω2 = 0,804/0,205 = 3.92 с-1. Теперь можно вычислить скорость точки С.

VС = ω2·О2С = 3.92·0,16 = 0,627 м/с.

Скорость кулисы 5 можно определить как проекцию скорости точки С но вертикальную ось V5 = VCy = VC·cosφ2. Угол φ2 рассчитаем по теореме синусов:

Определение ускорений. Ускорение точки А определяется как нормальное при равномерном вращении вокруг неподвижной оси звена1

В сложном движении точки А её ускорение равно векторной сумме трёх ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса:

Относительное ускорение направлено вдоль кулисы 2, а величина его неизвестна. Вектор переносного ускорения