Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
М. П. САРИНА
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2025
УДК 530.145(075.8) С201
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИНГГ СО РАН Н. В. Штабель канд. физ.-мат. наук, доцент И. Б. Формусатик
Сарина М. П.
С201 Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения: учебное пособие / М. П. Сарина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 76 с.
ISBN 978-5-7782-5386-5
В учебном пособии представлены задачи по квантовой природе излучения и основам квантовой физики, изучаемым в курсе общей физики. Каждый раздел начинается с основных формул, которые необходимы при решении задач, затем представлены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие может быть использовано преподавателями и студентами при изучении разделов «Квантовая природа излучения» и «Квантовая физика».
УДК 530.145(075.8)
Сарина Марина Павловна
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор Л.Н. Киншт Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 25.03.2025. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз. Уч.-изд. л. 4,41. Печ. л. 4,75. Изд. № 234/24. Заказ № 103. Цена договорная
Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
ISBN 978-5-7782-5386-5 |
© Сарина М. П., 2025 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2025 |
1.ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
ИЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым излучением.
Энергия R, излученная с единицы поверхности тела в единицу времени во всем диапазоне частот, называется энергетической свети-
мостью.
Спектральнаяпоглощательнаяспособность– безразмернаявели-
чина, котораяпоказывает, какаядоляэнергии, падающаянаединицуповерхностителавединицувремени, поглощаетсяввыбранномдиапазоне частот:
dW погл aω,T ω,ω+dω .
dWω,ω+dω
Абсолютно черное тело поглощает всю падающую энергию при любых частотах и температурах, для него aω,T 1.
Закон Стефана – Больцмана
|
|
|
R* T 4, |
|
|
где R* – |
энергетическая светимость абсолютно черного тела; |
||||
5,67 10 8 |
|
Вт |
– постоянная Стефана – Больцмана; Т – термоди- |
||
|
м2К4 |
||||
намическая температура (в кельвинах). |
|
|
|||
Энергетическая светимость серого тела |
|
||||
|
|
|
R A R* A T 4 |
, |
|
|
|
|
T |
T |
|
где AT 1 – степень черноты (зависит только от температуры и постоянна во всем диапазоне частот).
3
Энергия, излученная с поверхности тела площадью S за время t,
W R*St T 4St;
мощность излучения
P R*S T 4S.
Если абсолютно черное тело площадью S с температурой T1 находится в окружающей среде с температурой T2 (T2 T1), то энергия, излученная с поверхности тела за время t,
W St T14 T24 .
Длина волны, соответствующая максимуму излучения, определя-
ется законом смещения Вина
max b ,
T
где b 2,9 10 3 м К – постоянная Вина.
Максимальная спектральная плотность энергетической светимости
|
|
r* |
CT 5, |
|
|
max λ,T |
|
где C 1,3 10 5 |
Вт |
. |
|
м3 К5 |
|
||
|
|
|
Задача 1. Определить энергию W, излучаемую за t = 2 мин из смот-
рового окошка плавильной печи площадью S 10 cм2 , если температурапечиТ= 1200 °С. Считать, чтопечьизлучаеткакабсолютночерное
тело. |
|
|
|
Дано: |
Энергия, излученная с поверхности |
||
t = 2 мин = 120 с, |
тела площадью S за время t, |
||
S 10 cм2 10 3 м2, |
W T |
4 |
St. |
T = 1000 °С. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
W = ? |
|
|
|
|
|
|
|
4
Чтобы применять закон Стефана – Больцмана, необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в градусы Кельвина:
Т = 1000 °С = 1273 К.
Энергия абсолютно черного тела, излученная с площади S за время t
W R*St T 4St 5,67 10 8 12734 10 3 120 17,87 |
103 Дж. |
Ответ: W 17,87 103 Дж. |
|
Задача 2. Шар радиусом R = 4 см находится при некоторой постоянной температуре Т и излучает мощность Р = 2 кВт. Найти температуруТ, прикоторойнаходитсяшар, считаяегосерымтеломсостепенью
черноты T 0,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
По условию задачи шар серое тело, |
||||
R 4 cм 4 10 2 м, |
|
поэтомуприиспользованиизаконаСте- |
|||||||
P 1 кВт 1 103 Вт, |
|
фана-Больцмана необходимо учесть |
|||||||
|
степень черноты T . |
||||||||
T 0,25. |
|
|
|
|
P |
|
T 4. |
||
Т = ? |
|
|
|
|
T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Площадь шара S 4πR2 , тогда |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
P T T 4 4πR2 , |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
1 103 |
|
)2 1368,63 К. |
|
T 4 4 T R2 |
4 |
4 0,25 5,67 10 8 (4 10 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Т = 1368,63 К.
Задача 3. Какую мощность Р необходимо подводить к медному шарику радиусом R = 2 см, чтобы при температуре окружающей среды
t0 15 °C поддерживатьеготемпературуt = +20 °С? Считать, чтотепловые потери обусловлены только излучением, а шарик – серое тело со степенью черноты T 0,6.
5
Дано: |
Переведем температуру из градусов |
|
R 2 cм 2 10 2 м, |
Цельсия в кельвины: |
|
t0 15 °C, |
T0 t0 273 15 273 258 К, |
|
t = +20 °С, |
Т = t + 273 = 20 + 273 = 293 К. |
|
T 0,6. |
||
|
||
Р = ? |
|
|
|
|
Подводимаякшарику мощностьР– это разницамежду мощностью, рассеиваемой за счет теплового излучения Pизл, и мощностью, погло-
щаемой из окружающей среды Pпогл :
P Pизл Pпогл ;
Pизл и Pпогл определяются из закона Стефана – Больцмана:
Pизл T R*S T T 4 4 R2 ,
Pпогл T T04 4πR2.
Подводимая к шарику мощность
PPизл Pпогл 4πR2 T T 4 T04
4π(2 10 2 )2 0,6 5,67 10 8 (2934 2584 ) 0,5 Вт.
Ответ: Р = 0,5 Вт.
Задача 4. Абсолютно черное тело нагрели от температуры T1 500 К до температуры T2 1500 К. Вычислить: 1) как изменилась длина волны, соответствующая максимумуэнергетической светимости;
2)как измениласьмаксимальная плотность энергетической светимости;
3)как изменилась энергетическая светимость черного тела; 4) длину волны, соответствующую максимуму плотности энергетической светимости; 5) максимальную плотность энергетической светимости при
T2 1500 К.
6
Дано:
T1 500 К, T2 1500 К.
1)λmax 2 ? ,
λmax1
2)rmax λ2 ,T2 ? ,
rmax λ1,T1
3)R*(T2 ) ? ,
R*(T1)
4)λ2 ? ,
5)rmax (λ2, T2 ) ?
1. Длина волны, соответствующая максимальной плотности энергетической светимости, определяется законом смещения Вина
max b .
T
Тогда
λmax 2 b b T1 500 1 .
λmax1 T2 T1 T2 1500 3
2. Максимальноезначениеспектральной плотности энергетической светимости
rmax* λ,T CT 5, |
rmax λ |
2 |
,T |
CT 5 |
|
T 5 |
|
1500 |
5 |
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
35 |
243. |
||
r |
|
|
CT 5 |
T 5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|||||
|
max λ ,T |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Отношение энергетических светимостей можно выразить из закона Стефана – Больцмана
R*(T |
) |
|
T 4 |
|
T 4 |
|
1500 |
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
34 81. |
R*(T ) |
T 4 |
|
|
|||||||
|
T 4 |
|
500 |
|
|
|||||
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4. Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности,
2 max |
b |
|
2,9 10 3 |
1,93 10 6 м. |
T2 |
|
|||
|
1500 |
|
||
5. Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости
r |
* |
|
|
CT |
5 |
1,3 10 |
5 |
1500 |
5 |
10 |
Вт |
. |
|
|
,T |
|
|
|
9,87 10 |
|
|||||
max λ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7
|
|
|
λ |
max 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rmax λ |
2 |
,T |
|||
Ответ: 1) |
|
|
|
, |
|
уменьшилась в 3 |
раза; 2) |
|
2 |
243, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
λmax1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rmax λ ,T |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R*(T ) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
увеличилось в |
|
243 |
раза; |
|
3) |
|
|
2 |
81, |
увеличилось |
в |
81 раз; |
||||||||||
|
|
|
R*(T ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Вт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||
4) |
2 max |
1,9 10 |
|
м; 5) r |
|
|
,T |
9,87 10 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max λ |
2 |
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Вычислить энергетическую светимость абсолютно черного
тела R* при температуре t = 500 °С.
2. Найти температуру абсолютно черного тела Т, если его энергети-
ческая светимость R* 50 кВт/м2 .
3. Определить энергию W, излучаемую за время t = 5 мин из смот-
рового окошка плавильной печи площадью S 10 cм2 , если темпера-
тура печи T = 2000 К. Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.
4. Найти время t, за котороеиз смотрового окошкаплавильной печи
площадью S 8 cм2 излучается энергия W = 5,65 кДж, если температура печи T = 1200 К. Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.
5. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимостьвозросла в 3 раза?
6. Как надо изменить термодинамическую температуру абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость уменьшилась в 2 раза?
7. Найти мощность излучения P металлического шара радиусом r = 1 см, нагретого до температуры t = 300 °C, считая его абсолютно черным телом.
8. Найти мощность излучения P тонкой монетки в форме диска радиусом r = 1 см, нагретой до температуры t = 200 °C, считая ее абсолютно черным телом.
8
9. Найти энергетическую светимость угля R при температуре T = 800 К, считая его серым телом со степенью черноты T 0,8. ВычислитьэнергиюW, излучаемуюуглемзавремяt = 1 ч, еслиплощадь
поверхности угля S 20 см2 .
10. Шар радиусом R = 5 см находится при некоторой постоянной температуре T и излучает мощность Р = 10 кВт. Найти температуру T, при которой находится шар, считая его серым телом со степенью черноты T 0,5.
11. С поверхности сажи при температуре T = 700 К за время t = 10 мин излучается энергия W = 100 Дж. Определитьстепень черноты
сажи T , считая ее абсолютно черным телом. Площадь поверхности
сажи S 2 см2 .
12. Муфельная печь потребляет мощность Р = 2 кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии T = 1200 К.
Площадь отверстия S 20 см2 . Считая, что отверстие излучает как абсолютночерноетело, найти, какаячастьмощностирассеиваетсястенками.
13. Какую мощность P необходимо подводить к медному шарику радиусом R = 1 см, чтобыпритемпературеокружающей среды t0 5 °С поддерживать его температуру t = +25 °С? Считать, что тепловые потери обусловлены только излучением. Степень черноты меди T 0,6.
14. КзачерненномуметаллическомушарикурадиусомR = 2 смподводится мощность Р = 200 Вт. Температура шарика T = 350 К. Найти
температуру окружающей среды T0 .
15. К зачерненному металлическому шарику подводится мощность Р = 2 Вт. Температура шарика T = 320 К и на T = 30 К превышает температуру окружающей среды. Найти радиус шарика r, считая, что вся подводимая мощность идет на излучение.
16. Начальная температура абсолютно черного тела T1 500 К и за время t = 10 с линейно уменьшилась до температуры T2 400 К. За это
время тело излучило энергию W = 100 Дж. Найти площадь поверхности тела S.
17. Поверхность черного тела нагрета до температуры T = 1000 К. Затем треть поверхности нагревается на T = 100 К, а оставшаяся часть поверхности охлаждается на столько же градусов. Как изменится энергетическая светимость этого тела?
9
18. Найти ток I, протекающий по вольфрамовой проволоке радиусомr = 4 мм, находящейся ввакуумепри постоянной температуре t = 2800 °C. Удельное сопротивление вольфрама при этой температуре
0,92 10 4 |
Ом см. Температура окружающей среды t = 20 °С. |
Считать поверхность проволоки как серое тело со степенью черноты
T 0,3.
19. На какую длину max приходится максимум спектральной
плотностиэнергетическойсветимостиабсолютночерноготелапритемпературе t = 20 °С?
20. Найти длину волны max , соответствующую максимуму спек-
тральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, если энергетическая светимость абсолютно черного тела
R* 10 кВт/м2 .
21. Найти длину волны max , соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости Солнца, если темпера-
тураеговерхнихслоев T 5,3 103 К. Считать, чтоСолнцеизлучаеткак абсолютно черное тело.
22. Найти температуры Tкр и Tф абсолютно черного тела, при ко-
торых максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела приходится на красную (λкр 750 нм)
и фиолетовую (λф 380 нм) границы видимого спектра.
23. Как изменятся энергетическая светимость и максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму спектральной
плотности энергетической светимости, сместилась с λ1 3,2 мкм на
λ2 0,8 мкм?
24. Черное тело находится при температуре T 3 103 К. При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на λ 3 мкм. Определить температуру T, до которой остыло тело.
25. Приувеличениитемпературыабсолютночерноготелавдвараза длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на λ 300 нм. Найти
начальную T1 и конечную T2 температуры черного тела.
10