Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие

Эти уравнения называются соотношениями неопределенности.

Задача 19. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения. Найти неопределенность координаты электрона.

рость электрона

V 2T m

и его импульс

p mV 2mT .

По условию задачи неопределенность скорости составляет 1 % от ее числовогозначения. Посколькумыимеемделосклассическимслучаем, в котором массу считают не зависящей от скорости, то тогда неопределенность импульса также составляет 1 % от его числового значения:

p 0,01p 0,01 2mT .

Тогдаизсоотношениянеопределенностиможнонайтинеопределенность координаты:

x px ,

Ответ: x 1,94 10 8 м.

41

Задача 20. Электрон находится в атоме водорода на первой боровской орбите. Неопределенность скорости составляет 10 % от ее числового значения. Найти неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае понятие траектории для электрона?

Отсюда можно найти скорость электрона на первой орбите

V , mr1

и по условию задачи неопределенность скорости

V 0,1V 0,1 . mr1

Тогдаизсоотношениянеопределенностиможнонайтинеопределенность координаты

x px ,

mr1

Понятие траектории в данном случае неприменимо, поскольку неопределенность координаты в 10 раз превышает значение первого боровского радиуса.

Ответ: x 5,28 10 10 м. Понятие траектории применять нельзя.

Задача 21. С помощью соотношения неопределенностей оценить размытость энергетических уровней в атоме водорода, если 1) электрон находится в основном состоянии, 2) в возбужденном состоянии с вре-

менем жизни t 10 8 c.

42

1)E ? , E t .

2)E ?

Восновном состоянии электрон может находиться бесконечно долго, поэтому для него t , а неопределенность энергии

E 0.t

Соответственно для возбужденного состояния

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

104.  Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 2 кВ. Неопределенность скорости составляет 2 % от ее числового значения. Найти неопределенность координаты электрона x.

105.  Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 200 В. Можно ли одновременно измерить траекторию электрона с точностью 100 пм и его скорость с точностью

10 %?

106.  Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке радиусом r = 1 мкм. Найти относительную не-

определенность скорости электрона V .

V

107.  Неопределенность импульса частицы составляет 1 % от его числового значения. Найти отношение неопределенности координаты

к длине волны де Бройля x для этой частицы.

43

108.  Неопределенность координаты движущейся частицы равна ее

длине волны де Бройля. Найти относительную неопределенность V

V

скорости этой частицы.

109.  Оценить наименьшие ошибки V, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массой m = 50 г, если их

координаты определены с точностью x = 1 мкм.

110.  С помощью соотношения неопределенностей оценить размытость энергетического уровня E в атоме водорода для основного состояния.

111.  С помощью соотношения неопределенностей оценить размытостьчастоты ватомеводородадлявозбужденногосостояниисвре-

менем жизни 10 8 с.

112.  Атомизлучаетфотонсдлинойволны = 60 нм. Найтиотношение естественной ширины уровня энергии к энергии излученного фо-

тона E , если времяжизни возбужденногосостоянияатома 10 8 с.

113.  Импульсный рубиновый лазер с мощностью W = 2 ГВт создает

импульс длительностью = 10 нс. Найти наибольшую точность E ,

E

с которой может быть определена энергия излучения.

8. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

Основное уравнение квантовой механики – это уравнение Шредингера

44

U(x, y, z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле,

i 1 – мнимая единица,

(x, y, z,t) – волновая функция.

Основная задача квантовой механики – нахождение волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера для конкретной задачи. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат

еемодуля ( * – функция, комплексно сопряженная с )

2 * dW ,

dV

который называется плотностью вероятности и может экспериментально регистрироваться. Плотность вероятности показывает вероятность обнаружения микрочастицы в момент времени t в окрестностях точки с координатами (x, y, z) .

Выполняется условие нормировки: вероятность обнаружения микрочастицы во всем пространстве равна единице (частица где-то находится):

∫ 2 dV 1.

С помощью волновой функции можно вычислять различные величины. Например, чтобынайтисреднеерасстояниеотядраатомадоэлектрона, нужно вычислить интеграл:

r ∫ r 2 dV .

Особую роль в квантовой механике играют стационарные состояния, когда наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

2 ψ (E U )ψ 0, 2m

где волновая функция зависит только от координат ψ(x, y, z).

45

Задача 22. Длячастицы, находящейсяводномернойпрямоугольной потенциальной яме шириной , волновая функция имеет вид

Итак, условие нормировки имеет вид

A2 =1, 2

откуда множитель

A= 2 .

Ответ: A= 2 .

46

Задача 23. Длячастицы, находящейсяводномернойпрямоугольной

С учетом условия задачи среднее значение координаты

47

С помощью условия нормировки найти коэффициент A. 115.  Основное состояние электрона в атоме водорода описывается

r

волновой функцией ψ Ae a , где r – расстояние электрона от ядра,

a – первый боровский радиус. С помощью условия нормировки найти коэффициент A.

r – расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. С помощью условия нормировки найти коэффициент A.

117.  Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной

циент A.

48

r – расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти среднее расстояние частицы до силового центра r .

где r – расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти среднее расстояние частицы до силового центра r .

120.  Основное состояние электрона в атоме водорода описывается

отядра, a – первыйборовскийрадиус. Найти среднеезначениеквадрата расстояния частицы до ядра r2 .

121.  Основное состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ Ae (r/a) , где r – расстояние электрона от ядра, a – первый боровский радиус. Найти наиболее вероятное расстояние rвер от электрона до ядра.

расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти наиболее вероятное расстояние частицы до силового центра.

49

9. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ

Вид потенциальной энергии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками показан на рисунке.

Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид

, x 0,

U (x) 0, 0 x ,

, x .

Уравнение Шредингера для рассматриваемой потенциальной ямы

n 1,2,3,...– номер уровня энергии, – ширина потенциальной ямы.

Отношение разности энергий между соседними уровнями к энергии одного из них обратно пропорционально номеру уровня:

En 1 .

En n

50