Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие
.pdfОбозначим
R |
R |
|
3,29 1015 |
1,10 107 |
м 1. |
|
3 108 |
||||
|
c |
|
|
||
Длина волны при переходе с четвертого уровня энергии на третий
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1,87 мкм. |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
42 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично для других переходов электрона:
– с четвертого уровня на второй
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
16 |
1 |
0,48 мкм; |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
42 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– с четвертого уровня на первый
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
16 |
1 |
0,097 мкм; |
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
R |
||||||
|
|
|
15 |
|
|
||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– с третьего уровня на второй
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
36 |
1 |
0,65 мкм; |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
– с третьего уровня на первый
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
9 |
1 |
0,10 мкм; |
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
R |
||||||
|
|
|
8 |
|
|
||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
31
– со второго уровня на первый |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
0,12 мкм. |
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 R |
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 1 1,87 мкм, |
|
|
|
2 |
0,48 мкм, |
3 0,097 мкм, |
|||||||||
4 0,65 мкм, |
|
5 |
|
0,10 мкм, |
6 0,12 мкм. |
||||||||||
Задача 15. Определить длину волны, соответствующей третьей спектральной линии в серии Пашена.
Дано: k = 3.
?
Серия Пашена – это инфракрасная область спектра атома водорода, в которой наблюдаются переходы на третий энергетический уровень с более высоких уровней.
Часто´ты, соответствующие серии Пашена, описываются уравнением
R 312 n12 .
Первой спектральной линии соответствует переход с четвертого уровняэнергиинатретий(n = 4), второй– переходспятогоуровняэнергии на третий (n = 5), третьей – переход с шестого уровня энергии на третий (n = 6). Тогда частота, соответствующая третьей спектральной линии в серии Пашена, определяется выражением
R |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
R, |
32 |
|
|
|||||
|
62 |
|
12 |
|
|||
а соответствующая ей длина волны
|
c |
12 |
c |
|
12 |
|
12 |
1,09 мкм. |
|
|
R |
R |
1,10 107 |
||||||
|
|
|
|
|
Ответ: = 1,09 мкм.
Задача 16. Электрон находится на третьей орбите в атоме водорода. Найти: 1) скорость электрона V; 2) радиус орбиты r; 3) момент
32
импульса электрона L; 4) угловую скорость вращения электрона ; 5) эквивалентный ток I; 6) работу A, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон за пределы атома.
Дано: |
1. Электрон движется в атоме по круго- |
||||
n = 3. |
вой орбите под действием силы Кулона, по- |
||||
|
|
этому второй закон Ньютона имеет вид |
|||
1) |
V ? , 2) r ? , |
||||
3) |
L ? , 4) ω ? , |
|
1 Ze2 |
mV 2 |
|
5) |
I ? , 6) A ? |
|
4πε0 |
rn2 |
rn . |
Из второго закона Ньютона можно выразить радиус третьей орбиты
|
1 Ze2 |
1 e2 |
||||||
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
4πε0 |
mV 2 |
4πε0 |
mV 2 |
|||||
где учтено, что в ядре атома водорода один протон (Z = 1). Кроме того, выполняется правило квантования орбит
|
|
|
|
|
L mVr |
n , |
mVr |
3 , |
r |
3 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
mV |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приравняем выражения для радиуса и выразим скорость |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e2 |
|
3 |
|
1 |
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
3 , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4πε0 mV 2 |
|
4πε0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
mV |
|
V |
|
|
|
|
|||||||||||
V |
1 e2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1, 6 10 19 )2 |
|
|
|
|
7, 28 105 |
м/с, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 4πε0 |
3 4 3,14 8,85 10 12 |
1,054 10 34 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где учтено, что |
|
h |
1,054 10 34 Дж/с. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Радиус третьей орбиты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
r |
3 |
|
|
3 1,054 10 34 |
4,77 10 10 м. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
mV |
9,1 |
10 31 7,28 105 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
33
3. Момент импульса электрона можно найти из правила квантования электронных орбит
L 3 3 1,054 10 34 3,162 10 34 |
кг м2 |
. |
|
||
|
с |
|
4. Угловая скорость вращения электрона по орбите
ω |
V |
|
7, 28 105 |
1,53 1015 рад/с. |
r |
4,77 10 10 |
|||
|
3 |
|
|
|
5. Эквивалентный ток – отношение заряда электрона к периоду его обращения T:
I |
e |
|
e |
|
|
e |
|
1,53 1015 1, 6 10 19 |
3,9 10 5 А. |
|
2π |
|
2π |
|
|||||
|
T |
|
|
6, 28 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Работа по удалению электрона за пределы атома равна полной энергии электрона, находящегося на третьей орбите,
|
|
|
|
1 |
|
Z 2me4 |
|
|
1 |
|
me4 |
|
||||||
A E |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
n |
|
8h |
|
|
n |
|
8h |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
Энергию электрона En , находящегося на уровне с номером n, можно выразить через потенциал ионизации (энергию основного состо-
яния E |
me4 |
13,6 эВ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
8h2 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
n |
|
1 |
E . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для третьего уровня
E3 1 E1 1,51 эВ. 9
34
Работа по удалению электрона с третьего уровня
|
A E3 |
1,51 эВ. |
Ответ: 1) |
V 7,28 105 м/с; 2) |
r 47,7 нм; |
|
|
3 |
3) |
L 3,162 10 34 кг м2 /с; 4) ω 1,53 1015 рад/с; |
|
5) |
I = 0,039 мА; 6) А = 1,51 эВ. |
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
71. Определить энергию фотона , испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с четвертого уровня на третий. 72. Определить максимальную max и минимальную min энер-
гию фотонов в видимой области спектра атома водорода. 73. Определить максимальную max и минимальную min энер-
гию фотонов в инфракрасной области спектра атома водорода. 74. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с главным
квантовым числом n = 3. Определить возможные спектральные линии, появляющиеся при переходе атома в состояния с меньшим главным квантовым числом.
75. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с главным квантовымчислом n1 5 ипереходитвсостояниесглавнымквантовым
числом n2 2. Найти частоту испущенного фотона .
76. Определить длину волны , соответствующую третьей спектральной линии в серии Лаймана.
77. Определить длину волны , соответствующую второй спектральной линии в серии Бальмера.
78. Какизменитсяэнергияэлектрона ватомепри излученииатомом
фотона с длиной волны 4,86 10 7 м?
79. Найти длину волны спектральной линии, соответствующей переходуэлектронаватомесболеевысокогоуровняэнергиинаболеениз-
кий, если энергия электрона уменьшилась на E = 10 эВ. 80. Электрон находится на второй орбите в атоме водорода. Найти:
1) радиус орбиты r2 ; 2) скорость электрона V; 3) момент импульса
электрона L; 4) угловую скорость вращения электрона ; 5) эквивалентный ток I; 6) работу A, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон за пределы атома.
35
81. Найтипотенциальную U икинетическую T энергииэлектрона, находящегося на второй боровской орбите в атоме водорода.
82. Определить частоту вращения электрона , находящегося на второй боровской орбите в атоме водорода.
83. Найти частоту излучения атома водорода при переходе электронанавторойэнергетическийуровень, еслирадиусорбитыизменился в 9 раз.
84. Вычислить момент импульса электрона L, находящегося на пятой боровской орбите.
85. Как изменится момент импульса электрона при переходе его с четвертой боровской орбиты на десятую.
86. Найти работу A, которую надо совершить, чтобы удалить электрон, находящийся на первой боровской орбите в атоме водорода, за пределы атома.
87. Найти работу A, которую надо совершить, чтобы удалить электрон, находящийся на третьей боровской орбите в атоме водорода, за пределы атома.
88. Фотон с энергией = 12,12 эВ падает на атом водорода, находящийся в основном состоянии. Атом водорода при этом переходит в возбужденное состояние. Найти главное квантовое число n возбужденного состояния.
89. Найти длины волн всех спектральных линий в видимой части спектра излучения атома водорода под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны = 95 нм.
90. Найти энергию E, которая потребуется для отрыва электрона однократноионизированногоатомагелия, находящегосявосновномсостоянии.
6. ФОРМУЛА ДЕ БРОЙЛЯ
Формула де Бройля устанавливает соответствие между корпускулярными и волновыми свойствами частиц, а именно связь длины волны движущейся частицы с ее импульсом
P h .
36
Задача 17. Определить длину волны де Бройля для электрона, если 1) кинетическая энергия электрона T1 1,5 кэВ; 2) кинетическая энер-
гия электрона T2 0,7 МэВ.
Дано:
T1 1,5 кэВ, T2 0,7 МэВ.
1) 1 ? , 2) 2 ?
Чтобы найти длину волны де Бройля, необходимо знать импульс частицы. Импульс выражается через кинетическую энергию в зависимости от скорости движения частицы.
Если частица движется с небольшой скоростью, то есть ее кинетическаяэнергиямногоменьшеееэнергиипокоя, токинетическаяэнергия и импульс связаны между собой классической формулой
T |
p2 |
, |
p 2mT . |
|
2m |
||||
|
|
|
Если частица движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, то есть ее кинетическая энергия сравнима с энергией покоя, то кинетическая энергия и импульс связаны между собой релятивистской формулой
p |
1 |
T T 2m0c2 |
, |
|
|||
|
c |
|
|
где m0 – масса покоя частицы. Для электрона энергия покоя
E0 m0c2 9,1 10 31(3 108 )2 8,19 10 14 Дж 0,51 МэВ.
В первом случае кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя (1,5 кэВ 0,51 МэВ), поэтому для расчета импульса
надо применять классическую формулу
p1 2mT1 ,
|
|
h |
|
h |
|
|
|
||||
1 |
|
p1 |
|
2mT1 |
|
|
|
|
|
37
|
6,63 10 34 |
|
31,7 пм. |
2 9,1 10 31 1,5 103 |
1,6 10 19 |
Во втором случае кинетическая энергия электрона сравнима с энергией покоя, поэтому для расчета импульса надо применять релятивистскую формулу
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
1 |
T2 T2 2m0c2 |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
hc |
|
|
|||
p2 |
1 |
T2 |
T2 2m0c2 |
T2 |
T2 2m0c2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6,63 10 34 3 108 |
|
1,13 пм. |
|
||||||||
1,6 10 19 106 0,7 0,7 2 0,511 |
|
|||||||||||||||
Ответ: 1) 1 31,7 пм; 2) 2 1,13 пм.
Задача 18. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в основном состоянии в атоме водорода.
Дано: n = 1.
?
В основном состоянии электрон находится напервойорбитесглавнымквантовымчислом n = 1.
Кинетическая энергия T |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Ze2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
2 |
|
4πε0 |
||||||||
|
|
rn |
||||||||
потенциальная энергия U |
|
1 |
|
Ze2 |
||||||
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4πε0 rn |
|||||
полная энергия E T U |
1 |
1 |
|
Ze2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
4πε0 rn |
|||||
Для основного состояния Е = –13,6 эВ, Т = 13,6 эВ.
38
Эта энергия |
много меньше энергии покоя электрона |
||||||
(E0 0,51 МэВ), |
поэтому импульс электрона связан с его энергией |
||||||
классической формулой |
|
|
|
||||
|
|
p |
2mT . |
|
|||
Длина волны де Бройля |
|
|
|
||||
|
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
2mT |
|
||
|
|
6,63 10 34 |
0,33 нм. |
||||
|
2 9,1 10 31 13,6 1,6 10 19 |
||||||
Ответ: = 0,33 нм.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
91. Определить длину волны де Бройля для электрона, движуще-
гося со скоростью V 2 106 м/с.
92. Определить длину волны де Бройля для электрона, движуще-
гося со скоростью V 2 108 м/с.
93. Определить длину волны де Бройля для электрона, если кинетическая энергия электрона Т = 5 кэВ.
94. Определить длину волны де Бройля для электрона, если кинетическая энергия электрона Т = 0,8 МэВ.
95. Найти ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была бы равна
= 5 нм.
96. Найти, при какой скорости движения электрона V его длина волны равна комптоновской длине волны.
97. Найти длину волны электрона , находящегося в атоме водорода в основном состоянии.
98. Найти длину волны электрона , находящегося в атоме водорода на четвертом уровне энергии.
39
99. Определить, во сколько раз изменится длина волны электрона в атоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на третью.
100. Электрон движется по окружности радиусом r = 1 см в магнитном поле с индукцией В = 5 мТл. Найти длину волны электрона .
101. Пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью
V 2 106 м/с, падает нормально на узкую щель шириной a = 2 мкм.
На экране, расположенном на расстоянии L = 60 см от щели, наблюдается дифракционная картина. Найти расстояние x между первыми дифракционными минимумами.
102. Моноэнергетический пучок электронов попадает на кристалл с периодом кристаллической решетки d = 0,2 нм. Определить скорость электронов V, если максимум первого порядка наблюдается при угле скольжения = 30°.
103. Параллельныйпучокэлектронов, ускоренныйразностьюпотенциалов U = 200 В, падает нормально на две узкие параллельные щели, расстояние между которыми d = 10 мкм. На экране, расположенном на расстоянии L = 50 см от щелей, наблюдается дифракционная картина. Найти расстояние между первыми и вторым дифракционными максимумами x.
7.СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Вквантовой механике существует принципиальное ограничение по точности измерения
– координаты x и соответствующей проекции импульса px :
x px
и энергии E за промежуток времени t
E t ,
где |
h |
1,05 10 34 |
Дж с. |
|
|||
|
2π |
|
|
40