Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие
.pdf26. Максимальная спектральная плотность энергетической свети-
|
|
* |
11 |
Вт |
|
мости абсолютно черного тела |
r |
|
8,32 10 |
|
. Определить |
|
|
||||
|
max λ,T |
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
длину волны max , на которую она приходится.
27. Максимальной спектральной плотности энергетической светимости Солнца соответствует длина волны λ 500 нм. Считая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определить: 1) его температуру T; 2) энергию W, излучаемую Солнцем за t = 10 мин; 3) массу m, теряемую Солнцем за это время излучения; 4) время t, за которое вся
масса Солнца излучится (масса Солнца MС 1,98 1030 кг, радиус
Солнца RС 6,96 108 м).
28. Площадьподграфикомспектральнойплотностиэнергетической светимостиабсолютночерноготелаприизменениитемпературыувеличилась в 5 раз. Найти, как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, и максимум спектральной плотности энергетической светимости.
2. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ФОТОНА
Фотон – квант электромагнитного излучения. Его энергия
|
|
|
hc |
h , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где h 6,63 10 34 |
Дж с; |
|
|
|
h |
|
1,05 10 34 |
Дж/с |
– постоянная |
|||
|
|
|
||||||||||
Планка; c 3 108 м/с – |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
скорость света в вакууме; |
, , – длина |
|||||||||||
волны, частота и циклическая частота соответственно. |
|
|||||||||||
Импульс фотона |
p |
|
|
mc |
|
h |
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||||||
c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11
Задача 5. Определить для фотона с длиной волны λ 0,5 мкм энер-
гию εγ и импульс pγ . |
1. Энергия фотона |
|
|
|
|
||||||||||
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 0,5 мкм. |
|
|
|
hc |
|
6,63 10 34 3 108 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
εγ |
|
|
|
|||||
|
1) εγ ? , |
|
|
|
|
|
λ |
|
0,5 10 6 |
|
|||||
|
2) pγ ? |
|
|
|
|
|
3,98 10 19 |
Дж 2,49 эВ. |
|
||||||
|
2. Импульс фотона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p |
γ |
|
h |
|
6,63 10 34 |
1,33 10 27 |
кг м/с. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
λ |
0,5 10 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: 1) εγ 3,98 10 19 Дж 2,49 эВ; 2) |
pγ 1,33 10 27 |
кг м/с. |
||||||||||||
Задача 6. Определитьдлину волны фотона, импульс которогоравен импульсу электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов
U = 100 В.
Дано: |
Импульс электрона |
pe |
можно найти из |
||||||
U = 100 В, |
закона сохранения энергии |
|
|||||||
pe pγ. |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
λγ ? |
eU |
e |
|
, |
p |
|
2meU . |
||
|
|
||||||||
|
|
|
2m |
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Импульс фотона pγ |
связан с его длиной волны |
|
|||||||
|
pγ |
h |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
λγ |
|
|
|
|
|
||
Приравнивая импульс фотона импульсу электрона, получим искомую длину волны фотона
2meU h ,
λγ
12
|
|
h |
|
6,63 10 34 |
|
λγ |
|
|
|
|
1,23 10 9 м. |
2meU |
|
||||
|
|
2 9,1 10 31 1,6 10 19 1 |
|||
Ответ: |
= 1,23 нм. |
||||
Задача 7. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны
λγ 1,5 пм.
Дано:
λγ 1,5 пм 1,5 10 12 м, pe pγ.
Ve ?
Прежде всего оценим энергию фотонаисравнимеесэнергиейпокоя электрона. Еслиэнергияфотонасравнима с энергией покоя электрона, то скорость электрона нужно вычислять из релятивистского импульса
pe |
mV |
|
. |
|
1 |
V 2 |
|
||
|
|
|
||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Еслиэнергияфотонамногоменьшеэнергиипокояэлектрона, тоскорость электрона нужно вычислять из классической формулы
pe mV.
Энергия покоя электрона
E0 mc2 9,1 10 31 (3 108 )2 8, 2 10 14 Дж 0,51 МэВ.
Энергия фотона
|
γ |
|
hc |
|
6,63 10 34 3 108 |
1,99 10 13 |
Дж 1,24 МэВ |
|
λγ |
1,50 10 12 |
|||||||
|
|
|
|
|
сравнима с энергией покоя электрона, поэтому для расчета скорости электрона необходимо пользоваться релятивистской формулой.
13
Импульс фотона вычисляется по формуле де Бройля
pγ h .
λγ
Приравняемимпульсыфотонаиэлектронаивыразимскоростьэлектрона
|
|
|
|
|
p p |
, |
|
mV |
|
|
h |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e |
γ |
|
|
|
V 2 |
|
|
λγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
6,63 10 34 3 108 |
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m2λγ2c2 h2 |
(9,1 10 31 1,5 10 12 3 108 )2 |
(6,63 10 34 )2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2,55 108 |
м/с 0,85с. |
|
|
||||||||
Ответ: V = 0,85с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ |
|||||||||||||||
29. Найти |
энергию |
γ |
и |
импульс фотона pγ |
с длиной волны |
|||||||||||
= 0,4 мкм.
30. Найти, с какой скоростью V должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны = 0,5 мкм.
31. С какой скоростью V должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны = 2 пм?
32. Найтидлину волныфотона , импульскоторогоравенимпульсу электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 50 В.
33. Найтидлину волныфотона , импульскоторогоравенимпульсу электрона с энергией Е = 5 МэВ.
34. Найтидлину волныфотона , импульскоторогоравенимпульсу электрона, движущегося со скоростью V 2 107 м/с.
14
35. Найти длину волны фотона , масса которого равна массе покоя электрона.
36. Найти длину волны фотона , масса которого равна массе покоя протона.
3. ФОТОЭФФЕКТ
Фотоэффект – это появление электронов вблизи поверхности вещества (внешний фотоэффект) или появление свободных электронов внутри вещества (внутренний фотоэффект) под воздействием электромагнитного излучения
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта выражает закон сохра-
нения энергии: энергия падающего фотона h расходуется на вырывание электрона из вещества Авых и на приобретение электроном макси-
мальной кинетической энергии Tmax :
hν Авых Tmax .
Максимальная кинетическая энергия может быть вычислена из за-
держивающей разности потенциалов eUз Tmax , где e 1,6 10 19 Кл – заряд электрона. Кинетическая энергия вычисляется в зависимости от скорости электрона:
– в классическом случае |
T |
|
m0Vmax 2 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
max |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m c2 |
|
|
|
|||
|
(m m )c2 |
|
|
|
m c2 |
|
||||
– в релятивистском T |
|
|
0 |
|
, |
|||||
|
|
|
||||||||
max |
|
0 |
|
|
|
Vmax 2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m0 9,1 10 31 кг – масса покоя электрона.
Частота, соответствующаякраснойграницефотоэффекта, определяется уравнением
ν0 Авых . h
15
Работу выхода принято выражать в электрон-вольтах (эВ)
1 эВ 1,6 10 19 Дж.
Значения работы выхода для некоторых металлов приведены в таблице.
Металл |
Калий |
Литий |
Платина |
Рубидий |
Серебро |
Цезий |
Цинк |
|
|
|
|
|
|
|
|
Авых, эВ |
2,2 |
2,3 |
6,3 |
2,1 |
4,7 |
2,0 |
4,0 |
Задача 8. Цезиевый катод освещается монохроматическим светом с длиной волны = 400 нм. Определить наименьшее задерживающее напряжение Uз, при котором прекратится фототок.
Дано: |
Фототок прекращается, если вылетевшие |
||||||||
= 400 нм |
с катода электроны тормозятся электриче- |
||||||||
ским полем и не долетают до анода: |
|||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
mVmax 2 |
|
|
U |
з |
? |
eU |
з |
. |
||||
|
|||||||||
|
|
|
max |
2 |
|
||||
Из уравнения Эйнштейна |
|
|
|
|
|
||||
hν Авых mVmax 2
2
можно найти максимальную кинетическую энергию электронов
eUз mVmax 2 h Авых . 2
Работа выхода для цезия
Авых 2 эВ = 2 1,6 10 19 Дж = 3,2 10 19 Дж.
Найдем частоту падающего излучения по заданной длине волны
ν |
с |
|
3 108 |
7,5 1014 Гц. |
λ |
400 10 9 |
16
Задерживающее напряжение |
|
|
||||
|
h А |
|
6,63 |
10 34 |
7,5 1014 3,2 10 19 |
|
Uз |
вых |
|
|
|
|
1,1 В. |
e |
|
|
1,6 10 19 |
|||
|
|
|
|
|
||
Ответ: Uз 1,1 В.
Задача 9. Определить максимальную скорость фотоэлектронов Vmax , вырываемых с поверхности платины, если на пластинку платины
падает |
1) поток |
ультрафиолетового излучения с |
длиной волны |
|
λ1 150 нм и 2) поток -излучения с длиной волны λ2 |
2,5 пм. |
|||
Дано: |
|
Чтобы решить, какуюформулу для кинети- |
||
λ1 150 нм, |
|
ческой энергии следует применять в том или |
||
|
ином случае, нужно сравнить энергию падаю- |
|||
λ2 2,5 пм. |
|
щего фотона с энергией покоя электрона |
||
|
|
|
E0 0,51 МэВ. |
|
1) |
Vmax ? , |
|
|
|
|
Из уравнения Эйнштейна |
|
||
2) |
Vmax ? |
|
hν Авых Tmax |
|
можно найти максимальную кинетическую энергию электронов
Tmax Авых hν.
Для первого случая энергия падающего фотона
ε |
γ |
|
hc |
|
6,63 10 34 3 108 |
1,33 10 18 |
Дж 8,2 эВ |
|
λ |
150 10 9 |
|||||||
|
|
|
|
|
много меньше энергии покоя электрона, поэтому можно применять
классическую формулу для кинетической энергии Tmax m0Vmax 2 . 2
Отсюда
V |
2( Авых) |
|
max |
m |
|
|
||
17
|
2(1,33 10 18 |
6,3 1,6 10 19 ) |
8,41 105 |
м/с. |
|
9,1 |
10 31 |
||||
|
|
|
При расчете учтено, что работа выхода для платины Авых 6,3 эВ. Для второго случая энергия падающего фотона
ε |
γ |
|
hc |
|
6,63 10 34 3 108 |
7,96 10 14 |
Дж 0,5 МэВ |
|
λ |
2,5 10 12 |
|||||||
|
|
|
|
|
сравнима с энергией покоя электрона, поэтому для максимальной кинетической энергии нужно применять релятивистскую формулу
|
m c2 |
|
|
m c2. |
|
T |
0 |
|
|
||
|
|
|
|||
max |
|
Vmax |
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона
T |
ε |
γ |
А |
7,96 10 14 6,3 1,6 10 19 7,96 10 14 Дж. |
||||||||||||||||
max |
|
|
вых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальная скорость фотоэлектронов |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
m0c |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Vmax |
|
1 |
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
m c2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0c |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
V |
|
|
с |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
T |
|
m c2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
9,1 10 |
31 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||
3 108 1 |
|
|
|
|
9 10 |
|
|
|
|
0,7с 2,1 108 м/с. |
||||||||||
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
16 |
|||||||
|
|
|
|
7,96 |
10 |
9,1 10 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 10 |
|
|
|||||||||||
Ответ: 1) Vmax 8, 41 105 м/с; |
2) Vmax 0,7с 2,1 108 м/с. |
|||||||||||||||||||
18
Задача 10. Определить красную границу фотоэффекта для цезия, если при освещении его светом с длиной волны = 400 нм максималь-
ная скорость фотоэлектронов V |
6,5 105 |
м/с . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
||
Дано: |
|
|
|
|
При освещении фотокатода светом |
||||||||
= 400 нм, |
|
|
|
с длиной волны, соответствующей |
|||||||||
V |
|
6,5 105 м/с. |
|
|
красной границе фотоэффекта, вся |
||||||||
|
max |
|
|
|
|
энергия фотонов расходуется только на |
|||||||
λ0 ? |
|
|
|
совершение работы выхода Авых : |
|||||||||
|
|
|
hν А |
|
mVmax 2 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
вых |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А |
|
|
h с mVmax 2 |
|
|
|||||
|
|
|
вых |
|
λ |
|
|
2 |
|
|
|||
6,63 10 34 |
3 108 |
|
9,1 10 31 (6,5 105 )2 |
3,05 10 19 Дж. |
|||||||||
400 10 9 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Длина волны λ0 , соответствующая красной границе фотоэффекта
hс Авых ,
λ0
λ |
0 |
|
hс |
|
6,63 10 34 3 108 |
6,52 10 7 |
м 652 нм. |
А |
3,05 10 19 |
||||||
|
|
|
вых |
|
|
|
|
Ответ: 0 652 нм.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
37. Найти максимальную скорость Vmax фотоэлектронов, вырываемыхсповерхностикатода, еслифототокпрекращаетсяприприложении задерживающего напряжения Uз 3 В.
19
38. Найтиминимальноезначениеэнергиифотона , вызывающего
фотоэффект, если материал катода сделан из 1) цезия, 2) платины, 3) рубидия.
39. Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для некоторого материала λ0 400 нм. Определить минимальную
энергию фотона , способного вызвать фотоэффект.
40. Частота, соответствующая красной границе фотоэффекта для некоторого материала 0 6 1014 Гц. Определить минимальную энергию фотона , способного вызвать фотоэффект.
41. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью задерживаются при приложении обратного напряжения Uз 3 В. Частота, соответствующая красной границе фотоэффекта для некото-
рого |
материала 0 6 1014 Гц. Найти: 1) |
работу выхода элект- |
рона |
Aвых ; 2) энергию падающего фотона |
; 3) частоту падающего |
фотона .
42. Цинковый катод освещается монохроматическим светом с длиной волны λ 220 нм. Определить наименьшее задерживающее напря-
жение Uз, при котором прекратится фототок.
43. Красная граница фотоэффекта для некоторого материала λ0 600 нм. Найти: 1) работу выхода электрона Aвых ; 2) максималь-
ную скорость электронов Vmax , вырываемых с поверхности этого материала электромагнитным излучением с длиной волны λγ 500 нм.
44. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла светом с длиной волны = 400 нм, полностью задерживаются при приложении обратного напряжения Uз 1,2 В. Определить длину волны λ0 , соот-
ветствующую красной границе фотоэффекта.
45. Поток электромагнитного излучения падает на две пластинки: одна из платины, а другая из неизвестного материала. Измеренное за-
держивающее напряжение для платиновой пластинки UзPt 3,7 В, задерживающее напряжение для второй пластинки Uз 5,3 В. Найти работу выхода электронов Aвых из неизвестной пластинки и определить, из какого материала она изготовлена.
20