Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие

46.  Вычислить потенциал , до которого зарядится серебряный

шарик, если его облучать ультрафиолетовым светом с длиной волны

= 0,208 мкм.

47.  Вакуумный фотоэлемент заряжается до потенциала φ1 2 В при освещении светом с длиной волны λ1 400 нм. Найти потенциал φ2 , до которого зарядится фотоэлемент при освещении его светом с длиной волны λ2 200 нм.

48.  Плоский цинковый электрод освещается монохроматическим светом с длиной волны = 400 нм. Найти, на какое максимальное расстояние х от катода может удалиться фотоэлектрон, если напряженность задерживающего электрического поля вблизи электрода

Eз 10 В/cм.

49.  Фотоны с длиной волны = 200 нм вырывают фотоэлектроны из поверхности серебра. Найти максимальный импульс фотоэлектрона.

50.  При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны λ1 310 нм фототок прекращается при

некотором задерживающем напряжении. При освещении того же вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны

λ2 388 нм фототокпрекращаетсяприменьшемна Uз 0,8 В задер-

живающем напряжении. Определить по этим экспериментальным данным постоянную Планка.

51.  Поверхность некоторого металла сначала освещают светом с длиной волны λ1 350 нм, а затем светом с длиной волны λ2 540 нм. Отношение соответствующих максимальных скоростей электронов равно 2. Найти работу выхода Aвых электронов из металла.

52.  Определить максимальную скорость фотоэлектронов Vmax , вырываемых с поверхности платины, если на пластинку падает 1) поток ультрафиолетового излучения с длиной волны λ1 100 нм, 2) поток

-излучения с λ2 4,5 пм.

53.  Определить максимальную скорость электронов Vmax , вырываемых из серебра при облучении его фотонами с энергией 1) εγ 10 эВ,

2) εγ 1,53 МэВ.

54.  Определить максимальную скорость электронов Vmax , вырываемых из платины при облучении ее фотонами с энергией εγ 2 МэВ.

21

55.  Максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих из ме-

талла при облучении его фотонами, равна V 2,9 108 м/с. Определить энергию падающих фотонов.

4. ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Эффектом Комптона называется изменение длины волны рассеянного рентгеновского излучения при рассеянии на свободных или слабо связанных электронах вещества. В эффекте Комптона выполняются законы сохранения импульса и энергии.

22

Закон сохранения энергии с учетом того, что первоначально электрон покоился, имеет вид

волны.

Энергия электрона

Ee hc hc m0c2 ,

а кинетическая энергия электрона Т – разность энергий падающего и рассеянного фотонов:

TEe m0c2 hc hc .

Задача 11. Рентгеновское излучение с длиной волны = 55 пм рассеивается плиткой графита под углом 60 . Найти длину волны рас-

сеянного излучения .

23

Длина волны рассеянного излучения

C (1 cos ) 55 2,43(1 cos60 ) 56,22 пм.

Таким образом, длина волны рассеянного излучения увеличилась на 1,22 пм по сравнению с длиной волны падающего излучения.

Ответ: 56,22 пм.

Задача 12. Фотон с энергией 0,5 МэВ рассеялся на свободном

электроне под углом 45 . Найти: 1) энергию рассеянного фотона ε , выраженную в МэВ; 2) кинетическую энергию электрона от-

дачи Т; 3) угол между направлением движения падающего фотона и направлением отлета электрона отдачи .

Длина волны рассеянного излучения

C (1 cos ) 2,49 2,43(1 cos 45 ) 3,2 пм.

Энергия рассеянного фотона

24

2.  Кинетическая энергия электрона отдачи – это разность энергий падающего и рассеянного фотонов:

Thc hc 0,5 0,39 0,11 МэВ.

λλ

3.  Угол отлета электрона отдачи φ определим по рисунку

Импульс электрона можно найти из закона сохранения импульса

Pe Pγ 2 Pγ 2 2 Pγ Pγ cos .

импульс рассеянного фотона

Импульс электрона отдачи

Pe Pγ 2 2 Pγ Pγ cos Pγ 2

(2,66 10 22 )2 2 2,66 10 22 2,07 10 22 cos 45 (2,07 10 22 )2

1,89 10 22 кг м/с.

25

Для нахождения угла отлета электрона отдачи еще раз применим теорему косинусов

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

56.  Найти длину волны рассеянного на свободных электронах рентгеновского излучения , если длина волны падающего рентгеновского излучения = 55 пм, а угол рассеяния = 60°.

57.  Найти длину волны падающего рентгеновского излучения в эффекте Комптона, если длина волны рассеянного рентгеновского из-

лучения 60 пм, а угол рассеяния = 30°.

58.  Определить угол рассеяния фотона в эффекте Комптона, если изменение длины волны фотона при рассеянии = 1,62 пм.

59.  Определитьмаксимальноеизменениедлиныволны max вэффекте Комптона при рассеянии на свободных электронах.

60.  Определитьмаксимальноеизменениедлиныволны max вэффекте Комптона при рассеянии на свободных протонах.

61.  Фотон с энергией 0,4 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом = 30°. Найти энергию рассеянного фотона .

26

62.  Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся на свободном элек-

троне под углом = 45°. Найти кинетическую энергию электрона отдачи Т.

63.  При падении рентгеновского излучения на рассеивающее вещество под углами 1 30 и 2 60 оказалось, что длины волн рассеянногоизлученияотличаютсяв1,5 раза. Найтидлинуволныпадающего рентгеновского излучения , предполагая, что рассеяние происходит на свободных электронах.

64.  Фотон с длиной волны = 4 пм рассеялся на свободном электроне под прямым углом. Найти импульс электрона отдачи Pe и угол

между направлением его отлета и направлением движения рассеянного фотона .

65.  Найти импульс электрона отдачи Pe при эффекте Комптона,

если угол рассеяния фотона = 180°, а энергия падающего фотона равна энергии покоя электрона.

66.  При комптоновском рассеянии энергия рассеянного фотона вдвое больше энергии электрона отдачи. Фотон рассеивается под углом= 90°. Найти энергию и импульс падающего фотона P .

67.  При комптоновском рассеянии фотон рассеивается под углом= 90°. Угол отдачи электрона φ 45 . Определить энергию падаю-

щего и рассеянного фотонов.

68.  Фотон с энергией = 0,01 МэВ рассеялся на покоящемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на = 4 пм. Найти скорость электрона отдачи V.

69.  Фотон с энергией = 0,8 МэВ рассеялся на покоящемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на = 5 пм. Найти скорость электрона отдачи V.

70. Фотонсэнергией, равнойэнергиипокояэлектрона, рассеивается на свободном электроне. Найти долю энергии, которую получит электрон отдачи, если угол рассеяния 1) = 90°; 2) = 60°; 3) = 180°.

27

5. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ

Изолированные атомы излучают спектр, состоящий из отдельных спектральных линий (линейчатый спектр). Линии в спектрах атомов объединяются в группы – серии. У каждого элемента характерный для него спектр. Наиболее простой спектр имеет атом водорода. Частоты его спектральных линий вычисляются по формуле Бальмера

R 12 12 ,

m n

где – частотаизлучения атома; R 3,29 10 15 c 1 – постоянная Рид-

берга; n и m – целые числа. Значение m определяет серию:

m = 1 (ультрафиолетовая область) – серия Лаймана, m = 2 (область видимого света) – серия Бальмера, m = 3 (инфракрасная область) – серия Пашена.

При переходе электрона с уровня энергии с номером m на уровень энергии с номером n (n < m) испускается квант света с частотой

Em En . h

Энергия электрона, находящегося на уровне энергии с номером n

(главное квантовое число),

Ze – заряд ядра, m – масса электрона.

Кинетическая энергия электрона, находящегося на орбите с номером n,

T 1 1 Ze2 ,

2 4πε0 rn

28

потенциальная энергия

Энергия основного состояния (n = 1) электрона в атоме водорода

E1 13,6 эВ,

радиус первой орбиты r1 0,528 10 10 м.

Электрон в атоме находится на стационарных орбитах, радиусы которых имеют дискретные значения, подчиняющиеся правилу квантова-

ния: момент импульса электрона L может принимать дискретные

значения, кратные постоянной Планка h : 2

L n , n 1,2,3,...

Радиус n-й орбиты электрона

rn n2 4πε0 2 . meZe2

Задача 13. Определить энергию фотона Eγ, испускаемого при пе-

реходе электрона в атоме водорода с четвертого уровня на второй. Насколько при этом уменьшилась энергия электрона?

Вэтойзадачеэлектронпереходитсчетвертогоуровня(n = 4) навторой уровень (m = 2), тогда частота фотона

29

Энергия фотона

E h 6,63 10 34 6,17 1014 4,09 10 19 Дж 2,56 эВ.

Энергия электрона уменьшится на величину энергии излученного фотона

Ee Eγ 2,56 эВ.

Ответ: E 4,09 10 19 Дж 2,56 эВ, энергия электрона уменьшится на 2,56 эВ.

Задача 14. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с главным квантовым числом n = 4. Определить возможные спектральные линии, появляющиеся при переходе атома в состояния с меньшим главным квантовым числом.

При переходе электрона энергии с одного уровня энергии на другой испускается фотон с длиной волны и соответствующей частотой :

30