Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
12. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
Потенциальная энергия U электрона водородоподобного атома (с одним электроном и ядром с зарядом Z e ) на расстоянии r от ядра
|
|
|
U |
|
Ze2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4πε0r |
|
|
|||
Уравнение Шредингера для водородоподобной системы запишется |
|||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Ze2 |
|
|
|||
|
|
E |
|
|
|
|
0. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2m |
|
4 0r |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
Решению уравнения Шредингера соответствует дискретный набор отрицательных собственных значений энергии
En |
1 |
|
Z |
2me4 |
, n 1,2,3... |
n2 |
|
8h2ε02 |
|||
|
|
|
|||
Энергия ионизации атома водорода (энергия, необходимая для удаления электрона из атома)
E |
1 |
|
Z 2me4 |
= |
me4 |
13,6 эВ. |
|
|
|
|
|||||
1 |
12 8h2 02 |
|
8h2 02 |
|
|||
|
|
|
|||||
Собственные функции nlm , являющиеся решением уравнения
Шредингера, содержат три целочисленных параметра – n, l, m:
– главное квантовое число n 1, 2,3,... указывает на номер уровня энергии, на котором расположен электрон;
– орбитальное квантовое число 0,1, 2,3...,(n 1) указывает на форму электронного облака;
– магнитное квантовое число m 0, 1, 2, 3..., указывает
на ориентацию электронного облака относительно внешнего магнитного поля.
61
Кратность вырождения N n2 – количество различных состояний, соответствующих одному значению n.
Различныесостоянияэлектронаватомеприразныхзначенияхорбитального квантового числа l принято обозначать малыми буквами латинского алфавита:
l = 0 – s-состояние, l = 1 – p-состояние, l = 2 – d-состояние,
l = 3 – f-состояние.
Момент импульса электрона зависит от орбитального квантового числа l и может принимать только дискретные значения
L ( 1) .
Проекция момента импульса электрона на направление внешнего магнитногополязависитотмагнитногоквантовогочисла m иможет принимать только дискретные значения
L Z m .
Кроме того, электрон обладает собственным механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, –
спином Ls :
Ls s(s 1) ,
где s – спиновое квантовое число. Для электрона спиновое квантовое
число имеет значение s 1 . 2
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также квантуется:
Lsz ms ,
где ms – магнитное спиновое квантовое число. Для электрона
магнитное спиновое квантовое число имеет два значения ms 1 . 2
62
Задача 28. Записать возможные значения орбитального квантового числа и магнитного квантового числа m для главного квантового
числаn = 3. Сколькоразличныхволновыхфункцийсоответствуетэтому состоянию (без учета спина)?
Дано: n = 3.
? , m ? , N ?
Главному квантовому числу n соответствуют орбитальное квантовое число0,1, 2,3...,(n 1) и магнитное кванто-
вое число m 0, 1, 2, 3..., .
Для n = 3 0,1, m 0, 1, 2.
Возможные волновые функции представлены в таблице.
n |
l |
m |
ψnlm |
|
0 |
0 |
ψ300 |
|
|
0 |
ψ310 |
|
1 |
1 |
ψ311 |
|
|
–1 |
ψ31 1 |
3 |
|
0 |
ψ320 |
|
|
1 |
ψ321 |
|
2 |
–1 |
ψ32 1 |
|
|
2 |
ψ322 |
|
|
–2 |
ψ32 2 |
Количествовозможныхволновыхфункцийдляатома, находящегося в состоянии с главным квантовым числом n,
N n2 32 9,
что соответствует количеству волновых функций в таблице.
Ответ: 0,1, 2 , m 0, 1, 2 , N = 9.
63
Задача 29. Электрон в атоме водорода находится в f-состоянии. Определить: 1) орбитальный момент импульса электрона L ; 2) максимальное значение проекции момента импульса на направление внеш-
него магнитного поля L Z max .
Дано: f-состояние.
1) L ? , 2) L Z max ?
1. f-состоянию электрона в атоме водорода соответствует орбитальное квантовое число l = 3.
Орбитальный момент импульса электрона
|
|
L ( 1) . |
|
В f-состоянии |
|
|
|
L |
3(3 1) |
12 12 1,05 10 34 3,63 10 34 |
Дж с. |
|
|
|
|
2. Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля может принимать значения
L Z m .
Максимальное значение магнитного квантового числа m равно орбитальному квантовому числу :
m max 3.
Следовательно, максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля
L |
m |
max |
3 3 1,05 10 34 |
3,15 10 34 |
Дж с. |
|||
Z max |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) L 3,63 10 34 |
Дж с; 2) L |
|
3,15 10 34 |
Дж с. |
||||
|
|
|
|
Z max |
|
|
|
|
Задача 30. Электрон, находящийся 1s-состоянии в атоме водорода, поглотил фотон с энергией E = 12,1 эВ и перешел в возбужденное состояние с максимально возможным орбитальным квантовым числом.
Найти изменение орбитального момента импульса электрона L .
64
Дано: 1s-состояние,
E = 12,1 эВ.
L ?
Когда электрон в атоме водорода находится в состоянии 1s, орбитальное квантовое число l = 0 и орбитальный
момент импульса электрона L 0.
Чтобы найти номер уровня энергии, на который перешел электрон после поглощения фотона, необходимо воспользоваться обобщенной формулой Бальмера
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
E hν hR |
|
|
|
|
|
|
hR |
|
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
n |
2 |
2 |
n |
2 |
||||||||
m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
n |
hR |
|
|
|
6,63 10 34 3, 29 1015 |
|
|
3. |
||
hR |
|
6,63 10 |
34 |
15 |
12,1 1,6 |
10 |
19 |
|||
|
E |
|
3, 29 10 |
|
|
|||||
Максимально возможное значение орбитального квантового числа lmax n 1 3 1 2.
Максимальное значение орбитального момента импульса электрона
L max |
|
max ( max 1) 2(2 1) |
|
|
6 |
6 |
1,05 10 34 2,57 10 34 Дж с. |
Изменение орбитального момента импульса электрона после поглощения фотона
L L max 0 L max 2,57 10 34 Дж с.
Ответ: L 2,57 10 34 Дж с.
Задача 31. Вычислить 1) собственный механический момент электрона (спин) Ls ; 2) проекцию спина на направление внешнего магнит-
ного поля Lsz .
65
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Спин электрона Ls s(s 1) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где s |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
1) Ls ? , 2) Lsz ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
1 1 |
1 |
|
3 |
|
|
3 |
1,05 10 34 0,91 10 34 |
Дж с. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
m , |
m |
s |
1 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sz |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда L |
m |
s |
|
1 |
|
|
1 |
1,05 10 34 |
0,525 10 34 |
Дж с. |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sz |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,525 10 34 Дж с. |
|||||||
Ответ: 1) |
L |
s |
0,91 10 34 Дж с; |
|
2) L |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sz |
|
|
|||
Задача 32. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3. Найти количество электронов, которые
имеют следующиеодинаковыеквантовыечисла: 1) ms 1 ; 2) m 1;
2
3) |
m 2 |
иm |
s |
|
1 |
. |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
||
n = 3, |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1) |
ms |
, |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
||||
2) |
m 1, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
3) |
m 2 |
и |
m |
s |
|
. |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
N ? , 2) |
N ? , |
|||||||
3) |
N ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможные значения квантовых чисел, соответствующих главному квантовому числу n = 3, определяются формулами:
0,1, 2,3...,(n 1) ,
m 0, 1, 2, 3..., ,
ms 1 . 2
66
Дляn = 3 возможныезначенияквантовыхчиселпредставленывтаблице.
0 |
m 0 |
m |
s |
|
1 |
, m |
s |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m 0 |
m |
s |
|
1 |
, m |
s |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
m 1 |
m |
s |
|
1 |
, m |
s |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m 0 |
m |
s |
1 , m |
s |
1 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
m 1 |
ms |
1 , ms |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
m 2 |
m |
s |
|
1 |
, m |
s |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Количествоэлектроновсоспиновымквантовым числом ms 1 2
N = 6.
2. Количество электронов с магнитным квантовым числом m 1
N = 4.
3. Количество электронов с магнитным квантовым числом m 2
и спиновым квантовым числом ms 1 2
N = 1.
Ответ: 1) N = 6; 2) N = 4; 3) N = 1.
67
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
142. Записать возможные значения орбитального квантового числа и магнитного квантового числа m для главного квантового
числаn = 2. Сколькоразличныхволновыхфункцийсоответствуетэтому состоянию (без учета спина)?
143. Записать возможные значения орбитального квантового числа и магнитного квантового числа m для главного квантового
числаn = 4. Сколькоразличныхволновыхфункцийсоответствуетэтому состоянию (без учета спина)?
144. Найти орбитальный момент импульса L для электрона, находящегося в 1) s-состоянии, 2) p-состоянии, 3) d-состоянии, 4) f-состоянии.
145. Найти максимальное значение проекции орбитального моментаимпульса нанаправление внешнего магнитного L Z max поля для
электрона, находящегося в 1) s-состоянии, 2) p-состоянии, 3) d-со- стоянии, 4) f-состоянии.
146. Определить, во сколько раз орбитальный момент импульса электрона, находящегося в f-состоянии, больше орбитального момента
импульса электрона, находящегося в d-состоянии Lf .
Ld
147. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, поглотил квантсветасэнергиейЕ= 12,1 эВиперешелвсостояниесмаксимально возможным орбитальным квантовым числом. Определить изменение орбитального момента импульса L.
148. Орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода L 2,57 10 34 Дж с. Найтимаксимальноезначениепроекциимомента импульса на направление внешнего магнитного поля L Z max .
149. Найти энергию Е, орбитальный момент импульса электрона L и максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля L Z max электрона, находящегося в 2p-со-
стоянии в атоме водорода.
150. Найти возможные значения орбитального момента импульса электронаL, еслиэлектроннаходитсяватомеводородаввозбужденном состоянии с энергией Е = –0,85 эВ.
68
151. Найти спиновый момент электрона Ls и его проекцию на направление внешнего магнитного поля Lsz .
152. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовоечислоn = 3. Найтиколичествоэлектронов N, которыеимеют
следующие |
одинаковые квантовые числа: 1) m |
s |
1 |
; 2) |
m 0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3) |
m 2 |
и |
m |
s |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
153. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 4. Найти количество электронов, которые имеют
следующие |
одинаковые квантовые числа: 1) m |
s |
1 |
; 2) |
m 3; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3) |
m 1 |
иm |
s |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
69
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тепловое излучение и его характеристики
1.R* 20, 24 кВт. 2. T 969 К. 3. W 272,16 кДж. 4. t 60,07 с.
м2
5. В 1,32 раза. 6. В 1,19 раза. 7. P 7,68 Вт. 8. P 1,79 Вт.
9.R 18,6 кВт. W 133,77 кДж. 10. T 1830,52 К.
м2
11. T 0,061. 12. 0,88. 13. P 0,12 Вт. 14. T0 299 К.
15. r 0,029 м. 16. S 0,42 м2. 17. Уменьшилась в 1,08 раза.
18. I 1, 44 кА. 19. max 9,898 мкм. 20. max 4,475 мкм. 21. max 0,547 мкм. 22. Tкр 3867 К, Tф 7632 К.
23.1) Увеличилась в 256 раз, 2) увеличилась в 1024 раза.
24.T 731 К. 25. T1 4833 К, T2 9666 К. 26. max 1, 26 мкм.
27. 1) T 5800 К, 2) W 2,34 1029 Дж, |
3) m 2,5 1012 кг, |
4) t 4,575 1020 с. 28. 1,495. |
|
Энергия и импульс фотона
29. |
4,97 10 |
19 |
Дж 3,1 эВ, p 1,66 |
10 |
27 |
кг м |
. |
|
|
|
|
с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
V 1457 м/с. |
31. V 2,31 108 м/с. 32. |
1,74 10 10 м. |
|||||
33. |
2,5 10 13 |
м. 34. 3,63 10 11 м. |
35. 2,43 10 12 м. |
|||||
36. |
4,46 10 9 м. |
|
|
|
|
|||
Фотоэффект
37. V |
|
1,03 106 м/с. 38. 1) |
|
2 эВ, 2) |
|
6,3 эВ, |
||
max |
|
|
|
|
|
|||
3) |
2,1 эВ. 39. |
3,11 эВ. 40. |
2,49 эВ. |
|||||
41. 1) |
Aвых 2,49 |
эВ, 2) 5,49 эВ, |
3) |
1,32 1015 Гц. |
||||
70