Квантовая физика. Сборник задач с примерами решения. Учебное пособие
.pdf
Чем больше номер уровня, тем ближе друг к другу располагаются уровни энергии.
Графики волновой функции и квадрата ее модуля (плотности вероятности) для первых трех уровней энергии показаны на рисунке, откуда видно, что для каждого уровня энергии в потенциальной яме существуют области, где вероятность обнаружить частицу максимальна, а также области, где частица не может находиться.
Задача 24. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в левой трети потенциальной ямы.
Дано: |
|
|
|
|
|
Вероятностьобнаружениячастицывнекото- |
||||||||||||||
, |
|
|
|
|
ром объеме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
∫ |
|
|
|
2 |
dV |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|||
|
/3 |
|
2 |
|
|
πnx 2 |
|
/3 |
2 |
|
|
|
2 |
πnx |
|
|||||
|
∫ |
|
|
|
sin |
|
|
|
dx |
∫ |
|
sin |
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
51
|
|
|
|
2 |
/3 |
|
|
|
3πx |
|
|
2 |
/3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
6πx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∫ sin2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
∫ |
|
|
|
|
1 |
cos |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
/3 |
|
/3 |
|
|
|
|
6πx |
|
|
|
1 |
|
/3 |
|
|
|
|
6πx |
/3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
∫ |
dx |
∫ |
cos |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
| |
|
|
|
sin |
|
|
|
| |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6π |
sin 0 |
|
|
1 |
|
1 |
sin 2 sin 0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3π |
|
3 |
|
|||
|
|
|
3π |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: W 1 . 3
Задача 25. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками. Найти от-
ношение разности соседних энергетических уровней En 1,n к энергии
частицы в следующих случаях: 1) частица находится в яме на третьем энергетическом уровне n = 3; 2) частица находится в яме на седьмом энергетическом уровне n = 7; 3) частица находится в яме на бесконечно высоком энергетическом уровне n .
Дано: |
|
|
|
Разность энергий между соседними уровнями |
|||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π2 |
|||
1) n = 3, |
|
|
|
|
|
En 1,n En 1 En |
|
||||||||||
2) n = 7, |
|
|
|
|
|
2m |
2 (2n 1). |
||||||||||
3) n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
En 1,n |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергия частицы на уровне с номером n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
En n |
2 π2 2 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. При n = 3 |
|
|
|
|
E 2π2 (2 |
|
|
7 2π2 , |
|||||||||
|
|
|
E |
n 1,n |
E |
4 |
3 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2m 2 |
|
|
|
2m 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
52
|
|
|
|
E |
n |
E 32 |
π2 2 |
9 |
|
π2 2 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
En 1,n |
|
|
7 |
|
|
2 |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,78. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
|
9 |
|
|
π2 2 |
|
|
|
9 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. При n = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
n 1,n |
E E |
7 |
2π2 |
(2 |
7 1) 15 2π2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
En E7 |
7 |
2 π2 2 |
|
|
|
|
49 |
|
|
π2 2 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
En 1,n |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
2 |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
15 |
|
|
0,33. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
En |
|
49 |
|
π2 2 |
|
|
|
|
49 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. При n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En 1,n |
2 |
π2 |
|
|
2n, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
E |
n |
E n2 |
π2 2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
En 1,n |
|
|
|
|
2n |
2π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
En |
|
n2 |
π2 2 |
|
|
|
n2 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
53
Таким образом, когда частица находится на нижних уровнях энергии, энергетический спектр является дискретным, по мере увеличения номера уровня расстояние между соседними уровнями уменьшается и при больших значениях n спектр становится квазинепрерывным.
Ответ: 1) |
E4,3 |
0,78; 2) |
E8,7 |
0,33; 3) |
En 1,n |
0. |
|
E3 |
|
E7 |
|
En |
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
123. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом уровне. Найти вероятностьобнаружениячастицы W влевой половине потенциальной ямы.
124. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом уровне. В каких точках вероятность W обнаружить частицу 1) максимальна, 2) минимальна?
125. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в правой трети потенциальной ямы.
126. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на четвертом энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W
в интервале 1 x 3 . 4 4
127. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками на четвертом энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W
в интервале 1 x 1 . 2 3
128. Найти отношение вероятностей W1 нахождения частицы в од-
W2
номерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечно
54
высокимистенкаминапервомивторомэнергетическихуровняхвлевой четверти ямы.
129. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальнойямешириной сбесконечновысокимистенками. Найтиотношение
разности соседних энергетических уровней к энергии частицы En 1,n
En
в следующих случаях: 1) частица находится в яме на втором энергетическом уровне n = 2; 2) частица находится в яме на пятом энергетическом уровне n = 5; 3) частица находится в яме на бесконечно высоком энергетическом уровне n .
130. Электроннаходитсяводномернойпрямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне. Найтиширинуямы , прикоторойразностьэнергиймеждучет-
вертым и третьим уровнем равна средней кинетической энергии электрона при температуре T = 300 К.
131. Протон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками на первом энергетическом уровне. Найтиширинуямы , прикоторойразностьэнергиймеждувто-
рым и третьим уровнем равна средней кинетической энергии протона при температуре T = 300 К.
10. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
Потенциальный барьер прямоугольной формы шириной и вид волновых функций в различных областях показан на рисунке. Волновая функцияне равнанулю подбарьеромизабарьером. Забарьеромволновая функцияпредставляетсобойволну деБройля стойжечастотой, что и до барьера, но с меньшей амплитудой. Таким образом, существует ненулевая вероятность обнаружения частицы за барьером, то есть частица может проникнуть через потенциальный барьер. Это явление по-
лучило название туннельного эффекта.
55
|
|
U |
|
I |
|
|
III |
|
|
||
|
E |
II |
|
|
|
|
|
U 0 |
|
U 0 |
x |
0 |
|
|
|
ψI |
ψII |
ψIII |
|
0 |
|
|
x |
|
|
Для описания туннельного эффекта вводят понятие коэффициента прозрачности потенциального барьера (D) – отношения плотности потока частиц, прошедших через потенциальный барьер, к плотности потока частиц, падающих на потенциальный барьер (вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер (W)):
2 2m(U E)
D W e |
. |
Вероятностьпрохождениябарьерасильнозависитотмассычастицы ишириныпотенциальногобарьера, сувеличениеммассычастицыиширины потенциального барьера вероятность прохождения частицы через него уменьшается.
Задача 26. Протон с энергией E = 10 эВ движется вдоль оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер шириной 0,1 нм высотой U = 15 эВ. 1) Найти вероятность W прохож-
дения протона через потенциальный барьер. 2) Как надо изменить ширину барьера, чтобы вероятность его прохождения протоном была бы такой же, как и у электрона при тех же условиях?
56
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
1. Вероятность прохождения части- |
|||
Е = 10 эВ, |
|
|
|
|
|
|
цы через потенциальный барьер равна |
||||
0,1 нм, |
|
|
|
|
|
|
коэффициенту прозрачности. |
||||
U = 15 эВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) W ? , 2) |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
W D e |
2 |
2mp U E |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 0,110 |
9 |
21,67 10 27 15 10 1,610 19 |
|
|||||||
1,0510 34 |
43 |
||||||||||
e |
|
|
|
1,74 10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
2. Чтобы вероятность прохождения потенциального барьера шириной протоном равнялась вероятности прохождения потенциального барьера шириной электроном, должно выполняться условие
|
|
|
2 2m |
p |
U E |
|
|
|
2 |
2m U E |
|
|||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
e |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2m |
p |
U E |
2 |
2m |
U E |
, |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
me |
|
|
9,1 10 |
31 |
0,023 , |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
mp |
1,67 10 27 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
42,83 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0,023 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Барьер необходимо сузить в 42,83 раза.
Ответ: 1) W 1,74 10 43; 2) барьернеобходимосузитьв42,83 раза.
57
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
132. Электрон с энергией Е = 200 эВ движется вдоль оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер шириной0,1 нм и высотой U = 400 эВ. Найти вероятность W прохождения
электрона через потенциальный барьер.
133. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину
0,1 нм. Вычислитьразностьмеждувысотойпотенциальногобарьера
иэнергией электрона (U – E), при которой вероятность прохождения потенциального барьера будет равна W = 0,5.
134. Вероятность прохождения электроном прямоугольного потенциальногобарьеравысотойU = 10 эВсоставляетW = 0,1. Найтиширину потенциального барьера , если энергия электрона Е = 5 эВ.
135. Электроннасвоем путивстречает прямоугольный потенциальный барьер шириной 0,1 нм и высотой U = 20 эВ. Энергия элек-
трона Е = 12 эВ. Как изменится вероятность прохождения электроном
потенциального барьера W , если 1) расширить потенциальный барьер
W
в два раза (не меняя его высоту); 2) повысить высоту потенциального барьера в два раза (не меняя его ширину); 3) понизить энергию электрона в два раза (не меняя высоту и ширину потенциального барьера).
136. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину0,1 нм. Разность энергий для движущегося электрона U – Е = 2 эВ.
Во сколько раз изменится вероятность прохождения прямоугольного
потенциального барьера W , если разность энергий возрастет в три
W
раза?
137. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов φ 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты
прохождения We прямоугольного потенциального барьера шириной
Wp
0,1 пм и высотой U = 20 кэВ для электрона и протона?
138. Ядро испускает -частицы с энергией Е = 5 МэВ, которые проходят через прямоугольный потенциальный барьер шириной
5 10 15 м и высотой U = 10 МэВ. Вычислить вероятность W прохождения -частицы через барьер.
58
11. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Линейный гармонический осциллятор совершает колебания под действием квазиупругой силы F = –kx, где x – смещение осциллятора от положения равновесия. Потенциальная энергия имеет вид
U kx2 m 02 x2 , 2 2
где 02 k – собственная частота колебаний осциллятора. m
Уравнение движение частицы описывается уравнением Шредингера
2 d 2 |
|
m 2 x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
E |
0 |
|
0 |
, |
|
|
|
2 |
|
||||
2m dx |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
решение которого существует только в том случае, если значения энергии удовлетворяют уравнению
E |
|
|
n |
1 |
|
, |
n 0,1,2,... . |
n |
|
|
|||||
|
0 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии друг от друга – эквидистантно, кроме того, минимально возможная энергия частицы в гармоническом осцилляторе (энергия нулевых колебаний) не равна нулю:
E0 1 0 .
2
Задача 27. Определить энергию нулевых колебаний E0 математического маятника длиной 1 м, находящегося в поле тяжести Земли. Ответ выразить в электрон-вольтах (эВ).
59
Дано: |
Энергия нулевых колебаний кван- |
0,1 нм. |
тового гармонического осциллятора |
E0 |
? |
E0 |
|
1 |
0 |
, |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
где 0 – собственная частота колебаний гармонического осциллятора.
Для математического маятника = |
|
g |
|
, тогда |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
E0 |
|
1 |
|
g |
|
1 1,05 10 34 |
9,8 |
1,03 10 15 эВ. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 1,6 10 19 |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
Ответ: E0 1,03 10 15 эВ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
139. Определить энергию нулевых колебаний E0 математического маятника длиной 0,5 м, находящегося в поле тяжести Земли. Ответ
выразить в электрон-вольтах (эВ).
140. Определить энергию нулевых колебаний физического маятника E0 длиной 1 м, массой m = 3 кг и с моментом инерции
J 2 кг м2 , находящегося в поле тяжести Земли. Ответ выразить в электрон-вольтах (эВ).
141. Определитьэнергиюнулевыхколебаний E0 пружинногомаятника массой m = 100 г, закрепленного на пружине жесткостью
k 0,5 Н . Ответ выразить в электрон-вольтах (эВ).
м
60