Качественные и количественные методы психологических и педагогических исследований. Учебно-методическое пособие

встречающегося чаще всего. При изготовлении детской мебели, например, за основу берется мода (рост и масса ребенка, встречающиеся в данной возрастной группе чаще всего), а не средние арифметические данные детей.

В некоторых случаях у распределения могут быть две моды. Например, в совокупности (2; 3; 3; 4; 5; 5) модами являются «3» и «5». В этом случае говорят, что совокупность отметки является бимодальной. Большие совокупности отметок рассматриваются как бимодальные, если они образуют полигон частот с двумя вершинами даже тогда, когда частоты не строго равны.

Принято считать, что когда все значения отметок встречаются одинаково часто, совокупность данных моды не имеет. Например, в совокупности (2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5) моды нет.

Мода как мера центральной тенденции является такой характеристикой, имеет такое значение, которое наилучшим образом «заменяет все значения». Когда модой заменяют любое значение ряда чисел, мы имеем наибольшую частоту совпадений с числами ряда.

При использовании номинальных шкал можно определить, какой номинальный класс имеет самый большой состав. Этот класс называют модой распределения. В данном случае мода является статистической мерой «центральной тенденции», т. е. если продолжить наблюдения, изменяя условия, в которых они проводились ранее, то мода будет представлять наблюдения, которые можно ожидать с максимальной вероятностью.

Например, если в какой-то группе 13 детей являются единственным ребенком в семье (эта категория условно будет обозначена цифрой «0»), 8 детей имеют брата или сестру (обозначим эту категорию цифрой «1»), 3 ребенка — двух братьев или сестер (присвоим данной категории детей цифру «2») и один ребенок — четырех братьев и сестер (присвоим этой категории цифру «4»), то «0» («единственный ребенок в семье») является здесь модальной величиной. В данном примере упорядочить номинальные величины по возрастающей условно можно следующим образом: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 4.

Педагогический смысл этой величины в данном случае состоит в том, что характерной для данного класса будет специфика работы

сребенком, для которого не является естественным взаимодействие

сдругими детьми и проявление заботы о младших членах семьи

31

ит. д. Средняя величина равна примерно 0,7 (брата или сестры?)

ией трудно придать какой-либо смысл.

Следует заметить, что для малых групп часто о замене моды средним арифметическим не может быть и речи. Например, группа из 5 учащихся имеет следующую успеваемость 2, 2, 2, 5, 5. Модальный актив группы составляет величину «2». Эта цифра точно характеризует успеваемость трех учащихся, но является чрезвычайно некорректной в отношении двух других.

Мода для больших групп данных — достаточно стабильная мера центра распределения. Во многих распределениях значительного числа измерений, используемых в педагогике и психологии, мода близка медиане и среднему арифметическому.

3.6. Выбор меры центральной тенденции

При симметричном распределении значений мода, медиана и среднее арифметическое примерно одинаковые. В нормальном распределении данные значения одинаковы. Иная картина наблюдается в случаях распределений с негативным и позитивным смещениях, как указано на рис. 4 и 5. Как видно, мода, медиана и среднее арифметическое в этих случаях совершенно разные.

Рис. 4. Кривая распределения с позитивным смещением

(Mo — мода, Me — медиана, Xap — среднее арифметическое)

32

Рис. 5. Кривая распределения с негативным смещением

Нетрудно заметить, что среднее арифметическое в кривых распределения с негативным и позитивным смещением находится ближе к хвостовой части кривой, а мода — дальше всего. Приведем пример. Предположим, что учителю надо сделать отчет о среднем балле по чтению в классе. Он выставил баллы по чтению каждому из 20 учеников в диапазоне от 5 до 90. В представленной табл. 3 можно увидеть частотное распределение баллов по чтению.

Таблица 3

Частотное распределение баллов по чтению

Общее количество — 20

Если преподаватель будет считать в качестве меры центральной тенденции среднее арифметическое, то она будет равняться 22,7. Медиана равна 10, а мода — 5. Какая из этих величин отражает меру центральной тенденции? Так как несколько студентов показали 80

33

баллов (высокое значение), то распределение покажет кривую с позитивным смещением. Поэтому медиана является, по всей вероятности, самым точным показателем. Однако в таких случаях, возможно, лучше сделать отчет о среднем арифметическом для учеников, показавших баллы от 5 до 15, и сообщить о четырех случаях высокого показателя или показать в отчете и медиану, и моду. Так как многие распределения в педагогике отражаются кривыми с позитивным или негативным смещением, чаще всего лучше сообщать и о медиане,

ио моде.

Вмалых совокупностях чисел мода, как правило, нестабильна. Например, для совокупности отметок (2; 2; 2; 3; 4; 4) мода равна 2, но если одну из отметок «2» заменить отметкой «4», то мода станет равной 4. При малой накопляемости отметок, следовательно, целесообразно пользоваться не средней арифметической, а модой. Поправкой может служить «весомость» оценки: поставлена ли она за комплексное задание (например, за контрольную работу) или за частное дополнение к ответу другого учащегося.

Медиана более стабильна, на нее не влияют «большие» и «малые» оценки. Например, для больших совокупностей оценок медиана не изменится, если число минимальных или максимальных оценок резко поменяется.

Так, совокупности отметок (2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5) и (3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5) имеют одинаковые медианы. Особенно видны преимущества медианы при обработке экспертных оценок, когда в роли экспертов выступают учителя или одноклассники: межличностные отношения в этом случае нередко имеют для эксперта гораздо большее значение, чем предлагаемые критерии оценки. «Отсечь» проявления крайней неприязни или восторженного отношения помогает использование медианы.

На величину среднего влияет изменение каждого значения оценки. Особенно оказывают влияние результаты, которые можно назвать «выбросами», т. е. данные, находящиеся далеко от центра группы оценок. Преимущество это или нет — зависит от конкретных вопросов, которые решаются при анализе результатов диагностики. Для многих числовых совокупностей педагогических измерений мода и медиана являются более стабильными показателями.

Например, дано множество значений (1; 3; 3; 5; 6; 7; 8). Найдем среднее, медиану и моду: среднее арифметическое = 4,7; медиана = 5;

34

мода = 3. Теперь удвоим максимальное значение во множестве значений (1; 3; 3; 5; 6; 7; 16). В результате получим: среднее арифметическое = 5,9; медиана = 5; мода = 3.

Некоторые совокупности результатов педагогических измерений просто не имеют центральной тенденции. Это характерно для многомодальных совокупностей оценок (имеющих две и более моды). Например, для совокупностей отметок (2; 2; 2; 2; 2; 4; 4; 4; 4; 4) среднее арифметическое равно 3, несмотря на то что даже не существует учащегося с такой отметкой. Ни среднее арифметическое, ни медиана не в состоянии дать правильного представления об успеваемости данной группы. В этом помогает словесное описание: 50 % в группе имеют оценки «2», а остальные — «4». Последнее на языке статистики может быть выражено так: гистограмма бимодальна, т. е. имеет две моды, одна равна 2, другая — 4.

Центральная тенденция групп данных, содержащих крайние значения, наилучшим образом измеряется медианой. Так, у 99 учащихся показатель социальной адаптации изменяется от 44 до 85 (среднее значение — 64,5), а показатель одного учащегося равен 156. Средний показатель для 100 учащихся в этом случае будет равен 95. Эта цифра не позволяет судить обо всей группе. В этом примере в качестве меры центральной тенденции следовало бы избрать медиану.

Медиану применяют в том случае, когда хотят определить точную середину ряда. Некоторые интервалы особенно большой частоты могут в значительной мере повлиять на среднее арифметическое. Преимуществом медианы является то обстоятельство, что на нее такие чрезвычайные интервалы не влияют. Центральная тенденция совокупности данных с большими крайними выбросами наилучшим образом характеризуется медианой, когда распределение результатов унимодально.

Средние показатели не всегда подводят к верным выводам, источником достоверной научной информации они становятся лишь тогда, когда при их вычислении учитывается закон больших чисел, суть которого заключается в следующем:

•• закономерности совокупностей равномерного состава можно вычислить только при наличии достаточно большого количества данных;

•• точность измерения закономерностей возрастает с увеличением количества элементов объекта диагностики;

35

•• отклонения отдельных явлений от среднего в ту или другую сторону, обусловленные несущественными, случайными обстоятельствами, при большом количестве элементов взаимно компенсируются;

•• эти закономерности можно количественно выразить только в виде средних показателей.

Необходимо иметь в виду, что результаты вычисления средних значений можно использовать лишь при нормальном распределении данных, полученных с помощью шкалы отношений или равномерной интервальной шкалы.

Все вышесказанное позволяет увидеть те ограничения, которые накладываются на использование статистических приемов обработки результатов, полученных на уровне шкалы наименований (номинальной шкалы). Поскольку операции арифметического характера не допускаются, то в качестве меры центральной тенденции можно использовать только моду. Модальный класс объектов определяется после подсчета абсолютных или относительных частот, т. е. встречаемости того или иного результата в каждом классе.

В порядковых (ранговых) измерениях значения чисел, присваиваемых предметам, отражают количество свойства, принадлежащего предметам. При обработке приписанных баллов используется медиана.

Совокупность данных характеризуется посредством среднего арифметического в том случае, если распределение параметров расположено симметрично по отношению к середине. При асимметричном или многовершинном распределении среднее арифметическое не подходит для описания совокупности значений. В таких случаях лучше пользоваться модой.

3.7. Меры связи

Часто требуется выявить, как связаны между собой две переменные в различных массивах диагностических данных (успеваемость, учебные умения, учебная деятельность, самообразование и т. д.). Например, имеют ли школьники, научившиеся читать раньше других, тенденцию к более высокой успеваемости в последующие годы обучения? Наблюдаются ли в больших классах меньшие успехи в приобретении знаний, чем в небольших классах? Связана ли средняя про-

36

должительность работы педагога в школе непосредственно со средней заработной платой? Для ответа на такие вопросы мы должны провести наблюдения по каждой переменной для группы объектов.

Связь двух величин можно выразить с помощью коэффициента корреляции Пирсона, или коэффициента регрессии. Он представляет собой безразмерный индекс в интервале от −1,0 до +1,0 включительно, который отражает степень линейной зависимости между двумя множествами данных. В математической статистике выводятся соответствующие формулы для его вычисления. С помощью компьютера коэффициент корреляции Пирсона можно вычислить в табличном процессоре Excel, программном пакете Statistica и других программах, не зная формул. Для оценки полученных числовых данных можно использовать табл. 4.

При коэффициенте от ±1,00 до ±0,50 говорят о значимой связи, величина коэффициента от 0,00 до ±0,50 показывает незначительную связь величин.

В табл. 5 мы приводим данные, собранные для ответа на вопрос «Связаны ли показатель успеваемости по учебным предметам и социальная адаптация?»

37

(№  уч. — номер учащегося, СА — социальная адаптация, У — успеваемость)

Анализ данных показал значимую положительную корреляцию 0,81, или значимую прямую связь.

Однако применение корреляции к анализу причинности как одного единственного метода рискованно и может ввести в заблуждение.

Во-первых, даже в тех случаях, когда можно предположить существование причинной связи между двумя переменными, которые коррелированны, и коэффициент корреляции больше 0,50, нет оснований утверждать, что, например, высокий уровень успеваемости по учебным предметам вызывает активную социальную адаптацию.

Во-вторых, часто наблюдаемая связь существует также благодаря другим переменным, а не только двум рассматриваемым.

В-третьих, взаимосвязи массивов переменных в педагогике весьма сложны, поэтому объяснить их с помощью всего лишь одного числового показателя часто не представляется возможным. Успеваемость в школе — результат многочисленных влияний, да и сама по себе она является сложным понятием, которое нельзя описать адекватно при помощи одного измерения.

Хотя корреляция не указывает прямо на причинную связь (она лишь говорит об одновременности наступления двух событий), она может служить ключом к разгадке причин того или иного явления. При благоприятных условиях на ее основе можно формулировать

38

гипотезы, проверяемые экспериментально, когда возможен контроль других влияний помимо тех, которые подлежат изучению.

Иногда отсутствие корреляции может иметь более глубокое воздействие на исследуемую гипотезу причинной связи, чем наличие сильной корреляции. Нулевая или близкая к нулю корреляция двух переменных зачастую свидетельствует о том, что никакого влияния одной переменной на другую не существует.

Задания

1.Найдите среднее арифметическое, медиану и моду следующего множества: (1,2; 1,5; 1,6; 2,1; 2.4; 2,4; 2,7; 2,8; 3,0; 3,0; 3,0; 3,1; 3,1; 3,1; 3,4).

2.В рассматриваемых множествах (1; 2; 3; 4; 5; 6) и (10,2; 16,9; 20; 21; 34; 8) четное количество чисел. Рассчитайте медиану.

3.Значения в группе встречаются одинаково часто (4,1; 4,1; 3; 3; 6,5; 6,5). Чему равна мода?

4.В группе А содержится 10 значений, среднее и медиана которых равны соответственно 14,5 и 13. В группе б — 20 значений, среднее

имедиана которых равны 12,7 и 10 соответственно. Чему равны среднее и медиана 30 значений, полученных в результате объединения групп А и б?

5.В тестировании приняли участие 90 учеников Из них у 88 учащихся показатель потребности в самовыражении колебался от 21 до 36, а показатель двух учащихся соответственно был равен 77 и 80. Какую меру центральной тенденции следует выбрать для интерпретации результатов тестирования?

6.Лена имела по математике следующие отметки: 2; 3; 5; 3; 4; 3; 5. C учетом того, что все отметки были равнозначны, учитель посчитал среднее арифметическое — 3,57 и поставил в четверти 4. Правомочны ли действия учителя?

7.Предположим, что девочки проявляют большую тревожность, чем мальчики. Как правило, девочки имеют более высокие отметки, чем мальчики, особенно в средних классах. В результате исследования была выявлена высокая положительная корреляция между тревогой и успехами в учебе при обследовании всего класса. Может ли это свидетельствовать о том, что тревожность заставляет учащихся учиться усерднее и тем самым стимулирует большие достижения в учебе?

39

Глава 4.

Индуктивная статистика. Проблема репрезентативности выборки

4.1. Индуктивная статистика

Индуктивная статистика применяется тогда, когда требуется проверить, можно ли распространить результаты, полученные на данной выборке, на всю популяцию, из которой выборка взята. Это означает, что нам должно быть известно, до какой степени можно путем индукции распространить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении ограниченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Следовательно, индуктивная статистика необходима для получения эмпирических данных на этапе обобщения и конструирования выводов.

4.2. Репрезентативность выборки

Репрезентативность в статистике — соответствие характеристик, полученных в результате выборочного наблюдения, показателям, характеризующим всю генеральную совокупность. Расхождение между указанными показателями представляет собой ошибку репрезентативности, которая может быть случайной или систематической.

Основная проблема репрезентативности выборки заключается в определении величины и верности выборки испытуемых. Величина представленности выборки зависит от степени однородности целого (чем однороднее целое, тем меньше требуется испытуемых); от численности категорий и классов, на которые подразделяются результаты диагностики (чем их больше, тем больше должно быть испытуемых); от количества работников, привлеченных к диагностике.

Выборки называются статистически однородными, если их распределения сходны, а различия между ними пренебрежимо малы.

40