Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина

С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие

Рязань 2023

УДК 517.2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной:

учебное пособие / С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова; Рязан. гос.

радиотехн. ун-т.	– Рязань, 2023. – 64 с.
Приведены	основные теоретические сведения по теме

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Содержит задачи для практических занятий и самостоятельной работы по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», изучаемой в дисциплине «Математика».

Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,

38.03.02	«Менеджмент»,	38.03.03	«Управление	персоналом»,
38.03.04	«Государственное	и	муниципальное	управление»,

38.03.05 «Бизнес-информатика». Табл. 1. Библиогр.: 12 назв.

Производная, дифференциал, касательная, монотонность, экстремумы

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)

ВВЕДЕНИЕ

Зачатки методов математического анализа были у древнегреческих математиков (Архимед). Систематическое развитие эти методы получили в 17 веке. На рубеже 17 и 18 в.

Началом дифференциального исчисления были два вопроса: о нахождении касательной к произвольной линии и о нахождении скорости при произвольном законе движения.

Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифференциального исчисления. Эта задача

состоит в том, чтобы по данной функции f (t ) найти другую функцию f (t ) , названную позже производной и представляющую скорость изменения функции f (t ) относительно изменения аргумента. В таком

общем виде задача была поставлена И. Ньютоном и в сходной форме Г.В. Лейбницем в 70-х и 80-х годах 17 века. Но еще в предыдущие полвека Я. Ферма, Б. Паскаль и другие ученые фактически дали правила для нахождения производных многих функций.

Ньютон и Лейбниц вели общие понятия производной и дифференциала, а также обозначения, которые упростили вычисления; они развили аппарат дифференциального исчисления до максимальных пределов и применили дифференциальное исчисление к решению многих задач геометрии и механики.

ГЛАВА 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Определение производной. Механический и физический смысл производной

Рассмотрим	функцию y = f (x) ,	определенную	на некотором
интервале (a, b) . Придадим значению		аргумента x	произвольное
приращение x	такое, чтобы точка	x + x также	принадлежала

интервалу (a, b) . Значению аргумента x + x соответствует значение функции f (x + x)

Тогда приращение функции y = f (x + x)− f (x)
Определение. 1. Производной функции	y = f (x)	в	точке
x (a, b) называется предел отношения приращения функции			y в
этой точке к соответствующему приращению	аргумента	x		при
x → 0 , если предел существует, и обозначается	y (или f (x) ,			или

dydx ).

y = lim	y	или f	(	x	)	= lim	f (x + x)− f (x)	.

x→0	x					x→0	x
Производная является функцией от							x , если в каждой точке x
некоторого промежутка		функция				y = f (x) имеет производную.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием функции, а функцию называют дифференцируемой в точке.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала (отрезка), то она дифференцируема на этом интервале (отрезке).

Понятие производной и соответствующий математический аппарат широко используются в различных прикладных задачах.

Пример 1. Известно, что средняя скорость движения тела определяется выражением v = st ( s = s (t ) – путь, пройденный телом, t – время движения).

		3
◄Очевидно, что		мгновенную скорость	можно	найти, как
v = lim	s = s (t ) – предел определяет скорость в момент времени t . В
t →0	t
этом состоит механический смысл производной.►
Геометрический		смысл производной:	значение	производной
f (x)	при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла

наклона касательной к графику функции								y = f (x)		в
соответствующей точке.
Уравнение касательной к кривой y = f (x)							в точке (x0, y0 )		в виде
	y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) .
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
называется нормалью к кривой.
Уравнение нормали имеет вид
y − y0 = −	1			(x − x0 ) , если			f (x0 ) 0 .

	f (x0 )
	f (x0 )
Замечание 1. Если y = lim					f (x)	= ,	то	функция	имеет
Замечание 1. Если y = lim						= ,	то	функция	имеет
			x→0		x
бесконечную производную знака "+" или "−" .
Пример 2. Исходя из определения производной, найти
производную функции y =
производную функции y =		x .

◄ Зададим приращение x , такое, что x + x 0 . Тогда y = x + x − x .

Поэтому

y = lim

= lim

x + x −

= lim

x (

)

x→0

x + x +

2 x

►

Определение2. fпр (x) = lim y – правосторонняя производная

x→+0 x

или f	(	x	+ 0	)	, f	x	)	= lim	y	– левосторонняя производная или
	(	0		)	лев (		)	x→−0	x

f (x0 − 0) .

Замечание	2. Функция y = f (x)	имеет производную в точке
x = x0 тогда и	только тогда, когда	существуют левые и правые
производные и они равны между собой.

§ 2. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Теорема 1. Если функция y = f (x) дифференцируема в

некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Очевидно, в точках разрыва функция не может иметь производной. Это не значит, однако, что если функция непрерывна в точке x0 , то она дифференцируема в ней.

Теорема 2. Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы в точке x , то сумма, произведение и частное этих функций (если v (x) 0 )

также дифференцируемы в этой точке и справедливы следующие формулы:

1)(u v) = u v ;

2)(u v) = u v + v u ;


3)	u	=	u	v − v u		. v (x) 0 .
3)		=		v	2	. v (x) 0 .
	v			v

Следствие. Пусть функция u = u (x)		имеет производную в точке
x . Тогда функция c u (x) ,	где c = const ,	также имеет в этой точке
производную и (c u (x))	= c u (x) , то	есть постоянная величина

выносится за знак производной.

§ 3. Производная сложной и обратной функции

Теорема 1. Если функция u = (x) имеет производную в точке x ,

а функция	y = f (u ) имеет производную в соответствующей точке
u = (x) ,	то сложная функция	y = f ( (x))	имеет производную в
точке x , и имеет место формула: y (x) = y (u ) u (x)
Замечание. Если y = F ( f ( (x))), то yx = yu uv vx , где v = (x)
u = f (u ),	y = F (u ) – дифференцируемые функции своих аргументов.
Пример 3. Вычислить		производную	сложной функции

y= sin (3 x − 5)

◄Введем обозначения y = sin (u ) , u = 3 x −5 . Воспользуемся формулой yx = yu ux :

yu = cos (u ) = cos (3 x − 5) , ux = 3 , тогда (sin (3 x − 5)) = 3 cos (3 x − 5) .►

Теорема 2. Пусть функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x = x0 , и пусть в этой

точке существует и не равна нулю		производная этой функции
f (x0 ) 0 . Тогда обратная к y = f (x)		функция		x = f −1 (y ) имеет
производную в точке y0 = f (x0 ) , причем:
( f −1 (y0 )) =		1	.

	f (x0 )
	f (x0 )
Геометрический смысл производной обратной функции
Рассмотрим в окрестности точки x0 график функции y = f (x) .
Известно, что f (x0 ) = tg .		y
		y
Тогда, если x = f −1 ( y ) или
Тогда, если x = f −1 ( y ) или		y0
x = ( y), то ( y0 ) = tg – угол			β
x = ( y), то ( y0 ) = tg – угол				y=f(x)
наклона касательной к оси OY		α			x

		O		x0
		O		x0

							6
(поскольку + =			, то
		2
( y0 ) = tg =	1	=			1		=	1	=	1	).
( y0 ) = tg =	ctg	=		ctg			=	tg	=	f (x0 )	).
	ctg							tg		f (x0 )
						−
					2

Пример 4. Найти производную для функции y = arctgx.

◄ Функция y = arctg x является обратной к функции

x = tg y на

интервале −

y .

Поэтому по

правилу

дифференцирования

обратной функции, получаем, что

(arctg x) =

= cos2 y =

. ►

(tg y)

1+ tg y 1+ x

cos2 y

§ 4. Производная степенно-показательной функции

Найдем

производную

степенно-показательной

функции

y = u(x)v( x) ,

основание

показатель

степени

которой

являются

функциями от

x ,

где

u(x)

v(x) –

дифференцируемые функции.

Прологарифмируем эту функцию и возьмем производную от обеих частей, учитывая, что y является функцией от x :

(ln y ) = (v (x) ln u (x)) y 1y = = v (x) ln u (x)+ v (x) u (x) u (1x)

y =

u (x)v( x)

			1
y v (x) ln u (x)+ v (x) u (x)
y v (x) ln u (x)+ v (x) u (x)

			u (x)
	v( x)		u (x)
u (x)		v (x) ln u (x)+ v (x)		=
u (x)		v (x) ln u (x)+ v (x)		=

			u (x)

ln u (x) v (x)+ v (x) u (x)v( x)−1 u (x)

Данный прием нахождения производной называется

логарифмическим дифференцированием.

Пример 5. Найти производную функции y = xx .

◄ ln y = x ln x (ln y) = (x ln x) y 1y = ln x + x 1x

y = y (ln x +1).

Окончательно y = xx (ln x +1). ►

§ 5. Производные основных элементарных функций

Формулы дифференцирования основных элементарных функций, приведенных в табл. 1, необходимо знать наизусть!

Таблица 1. Формулы дифференцирования основных элементарных функций

−1

)

= u

u ,

2. (tg u ) =

u = sec2 u u

cos2

3. C = 0, C = const

(ctg u ) = −

1 u

= −cos ec2u u

sin2 u

(

u ) =

6. (arcsin u ) =

1− u

8. (arccos u ) = −

= −

1− u

(au )

= au u ln

10. (arctg u ) =

1+ u2

11.

(

= eu u

12. (arcctg u ) = −

)

1+ u2

− e

14. (sh u ) =

−u

= ch u u

13. (ln u ) =

+ e

15. (log u )

16. (ch u ) =

−u

= sh u u

u ln

sh u

17.

(

sin u

= cos u u

18.

)

(th u) =

ch u

19.

(

cos u

= −sin

u u

20.

)

(cth u) =

sh u

Замечание. Здесь u = u(x) , то есть рассматривается производная

сложной функции. Если положить	u = x , то первая формула примет
вид (x ) = x −1 . В частности	x = 1 . Аналогично преобразуются
остальные формулы.

§6. Дифференциал функции

6.1.Определение дифференциала

Если функция	y = f (x) дифференцируема на некотором отрезке,
то производная	этой функции y = lim	y	=	f (x) принимает
	x→0	x

определенные значения. Тогда, по теореме о связи функции, ее

предела и бесконечно малой функции, отношение			y при x → 0
			x
можно представить в виде	y	= f (x) + , где → 0	при x → 0 или

	x
	y = f (x) x + x.		(1)
В общем случае, полагая f (x) 0, получим,			что произведение
f (x) x есть величина бесконечно малая одного			порядка с x , а

x – бесконечно малая высшего порядка.

Вформуле (2) f (x) x – главная часть приращения, линейная

относительно x , называется дифференциалом функции	f (x) в точке
x и обозначается df (x) или dy , то есть
dy = f (x) x .	(2)
Найдем dy для функции y = x :
dy = dx = x x = 1 x = x, ,

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]