Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

dy = f (x) dx .

(3)

Если разделить (4) на dx , то производная

f (x) =

dy

есть

dx

y

M1

Возьмем

на

кривой

y = f (x)

произвольную точку M (x, y) и проведем

T

касательную.

Приращению

x

dy

∆y

аргумента соответствуют

приращение

y

функции и точка M1 (x + x, y + y) .

M(x,y)

Из

треугольника

MNT

находим

∆x

N

NT = MN tg =f (x) x = dy

(по определению дифференциала), то

есть

геометрически

дифференциал

α

x

представляет

собой

приращение

O

x

x+∆x

ординаты касательной

к

графику

функции в точке M (x, y) .

6.3. Дифференциал сложной функции.

Инвариантность формы первого дифференциала

По определению дифференциала

dy = f (x) dx . Если

y =

f (x) ,

x = (t) – дифференцируемые функции, то есть y = f ( (t)) , то

dy = d ( f ( (t))) = ( f ( (t))) dt = f

= f dx.

dt =

dt = dx

(4)

x

t

t

x

Т. е., формула (4) справедлива для сложной функции, когда x –

зависимая переменная. Следует заметить, что

dx = (t )dt

– функция

в (5), а в формуле (4)

dx

– число.

Данное свойство называется инвариантностью (неизменностью)

формы первого дифференциала.

u

v du − u dv

3. d

=

, v 0 .

v

2

v

То, что в выражении

y = dy + x

второе слагаемое является

бесконечно малой более высокого порядка чем

x , позволяет в

приближенных вычислениях использовать следующий алгоритм:

y f (x) x f (x + x) − f (x) f (x)

x

f (x + x) f (x) + f (x) x,

(5)

причем вычисления тем точнее, чем меньше величина x .

Пример 6. Вычислим приближенное значение sin 46 .

◄ 46 = 45 +1 =

+

.

4

180

Из (6) очевидно, что

sin(x + x) sin x + x cos x и

sin 46 = sin

+

sin

+

cos

0, 7194. ►

4 180

4

180

4

(

)

Пример 7. Вычислить

2,1 3 .

◄Пусть

y = x3 , где x = 2,1 , x = x

+ x = 2 + 0,1.

0

dy = 3x0

2 dx = 3 22

0,1 = 1, 2. Итак, (2,1)3 23 +1, 2 = 9, 2. ►

порядка) функции

y = f (x)

называется

производная

от ее первой

производной, если она существует.

Обозначения:

y = ( f (x)) , f (x),

d 2 y

.

dx2

Производная второго порядка равна ускорению движущейся

точки в момент времени t.

Действительно, v = S (t),

где S = f (t)

–

закон

прямолинейного

движения материальной точки M .

Отношение

v

выражает среднее ускорение движения точки за

t

время t, a lim

v

= называется ускорением точки

M в данный

t →0

t

момент времени t , то есть v

= a. Поэтому,

) =

f (t ). В этом

a = (St

а) y = eax ; б)

y = sin x ; в) y = ln x .

◄ а) y = eax ,

y =a eax , y = a2 eax

,..., yn = an eax .

в) y = ln x, y =

1

, y = −

1

, y =

1 2

, yIV

= −

1 2 3

,...,

x

x2

x3

x4

И, вообще, дифференциал n-го порядка функции

y = f (x) , n -раз

дифференцируемой в области X , находится по формуле:

d n y = f (n) (x)dxn ,

n

из которой следует, что f (n) (x) =

d y

.

dxn

Если

x

– зависимая переменная:

x = (t) – дифференцируемая

функция,

то

есть y = f ( (t)), тогда,

поскольку

dy = f (x)dx , то

функция от x , получим:

(1+ y ) cos(x + y) − (1− y )e(x− y)

= 0 = y =

e(x− y)

− cos(x + y)

►

e(x− y)

+ cos(x + y)

Нахождение производной второго порядка от функции, заданной

неявно, поясним на следующем примере.

Пример 10. Найти y , если

x2

y2

+

= 1.

2

3

x2

y2

◄ Дифференцируем уравнение

+

−1 = 0 по переменной x :

2

3

x +

2

y y = 0 .

3

Отсюда y = −

3

x

. Затем находим

2

y

3

x

1 y − x y

y − x −

y = −

3

= −

3

2 y

=

2

y2

2

y2

y +

3

x2

3

2

y

3 (2 y2 + 3x2 )

=

=

►

2

y2

4 y3

x = (t),

t .

y = (t),

Если функция (t)

монотонна и непрерывна, то

14

Пусть функции (t),

(t) дифференцируемы и (t) 0. Тогда

по теореме о производной обратной функции:

yx = (t) ( −1 (x)) =

(t) yx

=

y (t)

.

(t)

x (t)

Данная

формула позволяет

находить

производную yx

от

функции, заданной параметрически, не находя явной зависимости

y

от x .

Пример 11. Вычислить производную функции, заданной

параметрически:

x = a cos t,

0 t 2 . (параметрические уравнения эллипса ).

y = b sin t,

◄ y =

y (t)

=

b cos t

= −

b

ctgt,

0 t . ►

x

x (t)

−a sin t

a

y =

y

=

y

t

=

(yx

)

, то есть

t

xx

( x ) x

(

x ) t

x

xt

y

=

(yx

)

t .

xx

xt

= (

y

yIV = (

y

Аналогично получаем y

xx

) t ,

xxx

) t ,... ,

xxx

xt

xxxx

xt

Теорема

5

(первое

правило

Лопиталя

раскрытия

неопределенностей

вида

).

Пусть

функции

f (x)

и

g(x)

0

0

определены

и

дифференцируемы

в

некоторой окрестности

точки

x = a ,

)

за

исключением,

может

быть,

самой

точки

a .

Пусть

x→a

(

x→a

(

)

(

)

в окрестности

точки

a

.

Тогда,

lim f

x

= lim g

x

= 0 и g'

x

0

если

существует

lim

f '(x)

(конечный

или бесконечный),

то и

g '(x)

x→a

существует

lim

f (x)

, причем справедлива формула:

x

→a

g (x)

lim

f (x)

= lim

f '(x)

.

g (x)

x→a

x→a

g '(x)

Данная

теорема

показывает,

что

предел

отношения

двух

несколько раз.

Замечание 2. Теорема остается

верной

при x → + ,

x → − , x → .

Пример 12. С помощью правила Лопиталя вычислить предел

функции: lim

3sin2x − 6x

.

x→0

x

3

◄ Непосредственная

подстановка

x = 0

приводит к

lim

3sin 2x − 6x

=

0

= lim

6 cos 2x − 6

=

0

=

x

3

0

3x

2

0

x→0

x→0

17

Пример 15. При

вычислении предела lim

x + sin x

правило

x

x→

Лопиталя применить

нельзя, поскольку предел lim

1+ cos x

не

x→

1

Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b)

функция

f (x) была возрастающей

на

этом интервале, необходимо и

достаточно, чтобы выполнялось условие

f (x) 0 при всех

x (a, b).

Аналогично, условие

f (x) 0 при всех

x (a, b)

является

необходимым

и

достаточным

для

убывания

дифференцируемой на интервале (a, b)

функции f (x) .

Пример 1. Доказать, что если

0 x , то sin x

2

x .

2

◄Пусть

f (x) =

sin x

,

тогда

f (0) = 1 .

Эта

функция

x

0,

дифференцируема на интервале

, причем

2

f (x) =

cos x

(x − tg x) 0 ,

2

x

то для всех

0,

функция

f (x)

строго убывает на интервале

x

2

f (x)

2

0,

. Поэтому

f

=

для всех x 0,

.

2

2

2

sin x

2

sin x

2

x .►

x

либо равна нулю, либо не существует, ее критическими точками.

Достаточные условие экстремума.

1) Если

f (x)

меняет знак с минуса на плюс при переходе через

точку

x0 , то

x0 -

точка строгого минимума функции f (x) .

Если

f (x)

меняет знак с плюса на минус при переходе через точку

x0 , то

x0 - точка строгого максимума функции f (x) .