Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

39

то точек перегиба нет, а промежутками постоянного направления выпуклости будут интервалы (− , −2), (−2, + ).

Составим таблицу знаков второй производной:

2 рода.

Найдём наклонную асимптоту. Угловой коэффициент прямой k и

получаем наклонную асимптоту y = 3x − 4 , горизонтальных асимптот

нет.

7) Построим график функции.

►

40

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Пример 1. Во дворе детского садика надо огородить прямоугольной формы цветник, прилегающий к забору, длина которого больше 40 метров. Есть 200 плит, каждая из которых имеет длину 40 см. Каким должны быть размеры цветника, чтобы его площадь была наибольшей?

◄Пусть y - длина одной стороны цветника, параллельной забору, x - длина смежной стороны цветника. Тогда: s = xy . По условию задачи длина изгороди: 200 0, 4 = 80 м. Следовательно,

y + 2x = 80 ; y = 80 − 2x ;

s = x (80 − 2x) = 80x − 2x2 ;

0 x 40 .

Найдём критические точки функции s (x) = 80 − 4x .

80 −4x = 0 ; x = 20 .

Найдём наибольшее значение функции s = 80x − 2x2 на отрезке

0; 40 .

s (20) = 80 20 − 2 202 = 1600 −800 = 800 ;

s (0) = 0 ;

s (40) = 80 40 − 2 1600 = 0 .

Получили, что наибольшее значение функции при x = 20 .

Таким образом, цветник будет иметь наибольшую площадь, если сторона, прилегающая к забору, вдвое больше другой.

Найдём вторую производную:

s (x) = s (20) = −4 0 .

Так как вторая производная отрицательная, значит, x = 20 - точка максимума. ►

Пример 2. На малом предприятии производят продукцию одного вида. Затраты на производство x единицы (в у.е.) выражаются формулой:

v (x) = x3 − 20x2 +150x +100 .

41

Доход, полученный от её реализации:

D (x) = 115x − x2 .

Определите, какое количество продукции надо произвести, чтобы прибыль от её реализации была максимальной?

◄ Прибыль от реализации товара определяется разностью между

доходом и затратами:

P (x) = D (x)−V (x).

Для нашей задачи:

P (x) = 115x − x2 − x3 + 20x2 −150x −1000 = −x3 +19x2 − 35x −1000 .

1 способ (с помощью первой производной).

Для нахождения точки максимума функции P применим необходимое условие существования экстремума функции:

P = 0 или D −V = 0 .

Последнее условие имеет экономический смысл: для того, чтобы

прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход

Д = V .

P = −3x2 + 38x − 35 = 0 ;

D =1444 −420 =1024 ;

D = 32 ;

x1 = −38 − 32 11, 7 ;

−6

x2 = −38 + 32 = 1 .

−6

Находим:

P (11, 7) = −410, 7 + 2600, 9 −1000 = 1181, 9 - наибольшая прибыль.

Значит, надо произвести 11,7 единиц продукции.

2 способ (с помощью второй производной).

Найдём вторую производную:

P (x)− 6x + 38 ;

Найдём значение второй производной в критических точках.

P (11, 7) = −70, 2 + 38 = −32, 2 0 .

P (1) = −6 + 38 = 32 .

Значит, прибыль в точке x = 11, 7 максимальная. Найдём значение максимальной прибыли:

P (11, 7) = −410, 7 + 2600,9 −1000 = 1181,9 ►

42

Пример 3. Цементный завод производит x тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 тонн в день. Найти, при

критическая точка функции. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.

y (20) = 1760 ; y (49) = 2601 ; y (90) = 320 .

Получили, что при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны. Это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимальны, следовательно, заводу надо работать на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. Чтобы увеличить выпуск продукции, необходима реконструкция предприятия. ►

ПРИМЕРЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Пример 1. На предприятии производят продукцию одного вида. Затраты на производство x единицы (в у. е. ) выражаются формулой:

v (x) = x3 − 20x2 +150x +150 .

Доход, полученный от её реализации:

D (x) = 115x − x2 .

Какое количество продукции надо произвести, чтобы прибыль от её реализации была максимальной?

Пример 2. На предприятии производят продукцию одного вида. Затраты на производство x единицы (в у. е. ) выражаются формулой:

v (x) = x3 −10x2 +100x +150 .

43

Доход, полученный от её реализации:

D (x) = 110x − x2 .

Какое количество продукции надо произвести, чтобы прибыль от её реализации была максимальной?

Пример 3. На предприятии производят продукцию одного вида. Затраты на производство x единицы (в у. е. ) выражаются формулой:

v (x) = x3 −10x2 +100x +150 .

Доход, полученный от её реализации:

D (x) = 110x − x2 .

Какое количество продукции надо произвести, чтобы затраты от её реализации были минимальными?

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Тест 1. «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

1. Производная суммы двух функций равна:

а) (u + v) = u + v ;

б) (u + v) = u v + uv

в) (u + v) = u v + v u uv

Ответ: а.

2. Производная частного двух дифференцируемых функций равна:

Ответ: в.

3. Производная функции f (x) = 15 x2 − x +1 равна:

44

а) y = 30 x −1 , б) y = 15 x −1 ,

x = 0 равно:

Ответ: 1 .

9. Производная функции sin (x)+ 2 x имеет вид:

Ответ: cos (x)+ 2 .

10. Производная функции f (x) = x4 + x в точке 0 равна:

Ответ: 1 .

46

Ответ: а.

6. Написать уравнение касательной к графику функции

f (x) = x2 − x в точке x = 2 . 4

Ответ: y = −1 .

7.Написать уравнение касательной к графику функции

f (x) = x2 − 2 x в точке x = 2 . 4

Ответ: y = −x −1 .

8.Найти точку минимума функции y = x2 − 4 x + 3 .

Ответ:2.

9.Найти промежутки возрастания функции y = x2 − 4 x + 3 .

Ответ: (2; ) .

10. Найти точку перегиба функции: y = x3 − 4 x .

Ответ:0.

47