Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Таким образом точка

- точка перегиба. ►

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

			x				f (x)				f (x)

(	− , −1						+				возрастает
(						)	+				возрастает
		−1					0
					4
−1,							+				возрастает
−1,					5		+				возрастает
					5
			4				0				max

			5
			5
		4		, 2			−				убывает

		5
		5
		2					0				min
(2, + )							+				возрастает

Из		таблицы видно, что					x =	4	,	x = 2	- точки строгого
Из		таблицы видно, что					x =		,	x = 2	- точки строгого
							2	5		3
								5

максимума и минимума, а x1 = −1 не является точкой экстремума. ►

Пример 3. Найти точки экстремума функции

f(x) = x2 − 4 e− x .

◄Прежде всего, отметим, что функция f (x) — четная,

непрерывная на	, дифференцируемая на	, кроме точек −2, 0, 2 .
Эквивалентное представление функции

(x2 − 4)ex	x −2
−(x2 − 4)ex	−2 x 0
f (x) =	.
−(x2 − 4)e−x	0 x 2

(x2 − 4)e−x	x 2

Производная функции f (x) равна

(x2 − 2x + 4)ex

−(x2 − 2x + 4)ex f (x) =

( 2 − + ) −x

x 2x 4 e

(− 2 + + ) −x

x −2

−2 x 0

0 x 2

x 2

критическими точками

которой будут

x1,2 = 2 ,

x3 = 0 ,

x4,5 = (1+

). Составим таблицу:

f (x)

(− , −1−

)

возрастает

−1 −

max

(−1−

5, −2)

−

убывает

−2

не существует

min

(−2, 0)

убывает

не существует

max

(0, 2)

−

убывает

не существует

min

(2,1 +

)

возрастает

1 +

max

(1+

5, + )

−

убывает

Используя полученные результаты, получаем: x = −2 и x = 2 — точки строгого минимума функции f (x) , x = −(1+ 5 ), x = 0 и x = 1 + 5

— точки строгого максимума этой функции. ►

§3. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и имеет максимумы в точках x1 , x2 ,…., xk и минимумы в точках x1 , x2 ,…,

x и не имеет других точек экстремума.

Тогда наибольшее значение

функции

f (x) на отрезке a, b

равно наибольшему из чисел

f (a ) ,

f (x1 ) , f (x2 ) ,…., f (xk ) , f (b) ,

а наименьшее этой функции на

отрезке a, b

равно наименьшему из чисел

f (a ) ,

f (x1 ) , f (x2 ) ,….,

f (xk ) , f (b) .

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

(

)

(

x − 2

)

(

x +1 3

)

на отрезке

0,3 .

◄ Функция

(

)

на отрезке

0, 3

имеет строгий максимум в

точке

x =

строгий

минимум

точке

x = 2 .

Следовательно,

наибольшее значение функции

(

)

на отрезке

0,3

равно

max

(0), f

, f

(3)

= f

(3) = 64 ,

а наименьшее

min f

(0), f (2), f

(3) = f (2) = 0 .►

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

e−

на отрезке 0, 4 .

f (x) =

x2 − 4

◄ Функция

f (x)

на отрезке

0, 4

имеет строгий максимум в

x = 0

x = 1 +

x = 2 .

точках

строгий

минимум

в точке

Следовательно, наибольшее значение функции

f (x)

на отрезке 0, 4

равно

(

)

(

)

(

)

max

, f

= f

= 64 ,

(

)

а наименьшее

min f

(0), f (2), f

(4) = f (2) = 0 .►

Пример 6. Корабль стоит на якоре в 10 км от ближайшей точки берега, матросу необходимо добраться до лагеря расположенного в 15

км вдоль берега. В какой точке берега должен пристать матрос, чтобы попасть в лагерь в ближайшее время? Скорость матроса на веслах 4 км/час, пешком 5 км/час.

◄ Свяжем условие задачи с декартовой системой координат.

Пусть корабль		находится
в точке	A(0,10) , лагерь в
	(	)
точке	B 15, 0		,	точка
C (x, 0)	- место			высадки

матроса. Тогда суммарное время, необходимое матросу, для того, чтобы добраться из A в B будет равно

t = tAC + tCB =	AC	+		CB	.

	4		5

Таким образом задача сводится к нахождению минимума функции

t = t (x) =

x2 +100

15 − x

Находя производную, получаем

t = t (x) =

−

4 x2 +100

Решая уравнение t (x) = 0 ,

находим стационарную точку

xC = 403 . Следовательно,

0,15 равно

min t (0),t

наименьшее значение функции на отрезке

40			40
	,t (15)	= t		= 4, 5 .►
			3
3

Пример 7. Из сектора радиуса R свертывается конус. При каком центральном угле он имеет наибольший объем?

◄ Объем конуса вычисляется по формуле

V =

Sh ,

где S -

площадь круга - основания конуса,

h -

его высота. Пусть

l -

длина

окружности основания

конуса,

очевидно,

она

равна длине

дуги

исходного сектора, т.е.

l = R и

S =

R2 2

. Высота полученного

конуса равна

h = R2 −

= R2

−

R2 2

4 2

а его объем, как функция угла

V ( ) =

−

24 2

Найдем стационарные точки функции V ( ) . Находя

производную

V ( ) =

−

4 2 − 2

и решая уравнение

V ( ) = 0 , получаем

= 2

Нетрудно

убедиться, что при данном значении угла, объем конуса будет максимальным. ►

Пример 8. Найти положительное число, сумма которого и обратного к нему является наименьшей.

◄ Обозначим искомое число через x . Исследуем функцию

	f (x) = x +			1	;	x 0 .
				x

Вычислим производную:	f (x) =		x2 −1			.
				x	2

Производная имеет смысл для всех x , кроме x = 0 . Критические
точки функции: x = 1;	x = 0.	Так как число положительное, имеем
лишь одну точку для решения:		x =1 .				Найдём значение функции для
x =1 . Слева от точки	x =1 производная отрицательная, справа –

положительная. Значит, точка x =1 - точка минимума.

Используем второе достаточное условие экстремума. Для этого найдём вторую производную:

f (x) = x23 .

Найдём значение второй производной в критической точке x =1 . f (1) = 2 0 . Следовательно, это значение наименьшее. Поэтому: x =1 . ►

Пример 9. Из пункта А в направлении к пункту В отправляется грузовой автомобиль со скоростью 50 км/ч. Одновременно из пункта В со скоростью 60км/ч отправляется автобус в направлении, перпендикулярном АВ. В какой момент времени от начала движения расстояние между машинами будет наибольшим?

◄ В момент времени t расстояние между машинами равно ЕС. 50t – расстояние, которое прошла грузовая машина. Тогда:

BC = 200 − 50t;

BE = 60t .

ABC - прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, имеем:

s (t ) = CE =

200 − 50t 2 + 60t 2 =

BC2 + BE2 =

= 40000 − 20000t + 2500t2 + 3600t2 .

Так как машины двигались не меньше 4 часов, то искать

наименьшее значение функции будем на отрезке 0; 4 .

Найдём производную

s (t ) =

(40000 − 20000t + 6100t2 )

−20000 +122000t

2 40000 − 20000t + 6100t2

40000 − 20000t + 6100t 2

−10000 + 6100t

40000 − 20000t + 6100t2

Найдём критические точки функции:

s (t ) = 0 ; 61000t =10000 ; t = 0,16 ч.

0,16 60 = 9, 6

минуты.

Найдём значения функции в критических точках:

s (0) =

40000 + 3600 =

7600 87 .

s (4) =

200 − 50 4 2

60 4 2

15 ;

s (0,16) =

200 − 50 0,16 2

+ 60 4

2 192

в момент времени t = 0,16 часа. ►

Пример 10. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 15 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

◄Пусть H = x , тогда:

R2 = 152 − x2 = 225 − x2 .

Объём:

V (x) = (225 − x2 )x = (225x − x3 ) .

V (x) = 225 − 3 x2 ;

Найдём критические точки функции:

V (x) = 0 ;


225 − 3 x2							= 0 ;
		x2		=		225	;
		x2		=			;
				3

	15			15 3
x =	15		=	15 3			= 5 3 .
x =			=		3		= 5 3 .
3					3

Получили, чтобы объём воронки с образующей 15 см был

наибольшим, высота её должна быть равной 53 см. ►

§4. Выпуклость функции и точки перегиба.

Достаточные условия выпуклости.
Пусть	f (x)	существует		на	отрезке	a, b ,	а	f (x)	— на
интервале (a, b) . Тогда:
1) если
		f (x) 0		при всех x (a, b),
то функция	y = f (x)		выпукла вниз на отрезке a, b .
2) если
		f (x) 0		при всех x (a, b),
то функция	y = f (x)		выпукла вверх на отрезке a, b .
Необходимое условие наличия точки перегиба.
Если	x0 — точка перегиба функции					y = f (x)	и если функция
y = f (x)	имеет	в	некоторой		окрестности точки			x0	вторую

производную, непрерывную в точке x0 , то

f (x) = 0 .

Достаточные условия наличия точки перегиба.

1) Если функция y = f (x) непрерывна в точке x0 , имеет в этой

точке

конечную

или бесконечную

производную

если

функция

f (x)

меняет знак при переходе через точку

x0 , то x0

— точка

перегиба функции y = f (x) .

2) Если f (x0 ) = 0 ,

f (x) 0 , то x0

— точка перегиба функции

y = f (x) .

Пример 11. Показать, что функции

y = ln

(

−1

выпукла вверх

)

на всей области определения.

◄ Вычислим вторую производную

(

2x2

y = ln (x

−1)

)

= −

−

(

−1

)

Область определения функции

y = ln

(

2 −1

)

множество D =

x :

(

−, −1 1, +

)

Очевидно,

y 0 для любых

)

(

x D y .►

Пример 12. Найти точки перегиба линии x = t 2 ,

y = 3t + t3 .

◄ Вычислим вторую производную параметрически заданной

функции оп формуле

ytt xt − yt xtt

(xt )3

Так как x =

2t ,

x = 2 , y = 3 + 3t2 , y = 6t , получаем

y =

ytt xt − yt xtt

3(t −1)(t +1)

(xt )3

4t3

Разобьем ось t

точками t = −1 ,

t = 0 , t

= 1 на три интервала. На

каждом из этих интервалов вторая производная

сохраняет знак.

Составим таблицу значений

x ,

и знака

на соответствующих

интервалах:

		t				x						y								y

(			)	(			)	(								)
	− , −1				− ,1				− , −4											−
	− , −1				− ,1				− , −4

		−1				1						−4								0
	(−1, 0)			От 1 до 0					(−4, 0)											+

		0				0						0
	(	)			(	)				(				)
		0,1				0,1					0, 4									−
		0,1				0,1					0, 4

	(	1	)	(		1	)	(				4			)					0
	1, +			1, +						4, +										+
	1, +			1, +						4, +

												(	−1, 4				)	(	)
Таким образом, точками перегиба будут													−1, 4					и 1, 4		.►

Пример 13. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции y = earctg x

◄ Вычисляя производные

earctg x

y (x) = 1+ x2 ,

	earctg x		(	2x −1
y (x) = −			(				)	.
y (x) = −	(	+ x2			)	2		.
	(				)
	1

Составим таблицу постоянства знаков второй производной:

	x		y		y

−,		1	+	Выпукла вниз


		2

1			0		arctg	1
				e	2
2				Точка перегиба
				Точка перегиба
−,		1	−	Выпукла вверх


		2

Пример 14. Найти точки перегиба линии x = et , y = sin t .

◄ Вычислим вторую производную параметрически заданной функции оп формуле

ytt xt − yt xtt

(xt )3

Так как

= et ,

x = et

y = cos t ,

y = −sin t

, получаем

y =

ytt xt − yt xtt

= −

sin t + cos t

(xt )3

e2t

Точки,

которых

= 0

определяются из уравнения

sin t + cos t = 0 ,

и нетрудно

убедиться, что в

x =

+ k ,

k Z ,

вторая производная меняет знак, следовательно, эти точки – точки перегиба. ►

Пример 15. Показать, что точки перегиба линии y = x sin x лежат на линии y2 (4 + x2 ) = 4x2 .

◄ Точки пересечения линий удовлетворяют уравнению
x2 (sin2 x (x2 + 4)− 4)= 0 .	(6)
Покажем, что точки перегиба линии	y = x sin x удовлетворяют

этому уравнению. Вычисляя вторую производную и приравнивая ее нулю получаем уравнение

(x sin x) = 2 cos x − x sin x = 0	или
x = 2 ctg x ,	(7)

так как sin x 0 . Подставляя (7) в (6) получаем тождество sin2 x (4 ctg2 x + 4)− 4 = 0 .►

§5. Асимптоты.

Вертикальная асимптота.

Если выполнено хотя бы одно из условий

lim f (x) = ,

x→x0 −0

lim f (x) = ,

x→x0 +0

то прямую x = x0 называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]