Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Наклонная асимптота.

Прямую

y = kx + b

называют

наклонной асимптотой

графика

функции

y = f (x)

при

x → + , если

lim

(

)

−

(

kx + b

))

= 0 .

x→+

Если

k 0 , то асимптоту называют наклонной, а если

k = 0 , то

асимптоту y = b называют горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при x → − .

Для

того чтобы прямая

y = kx + b

была

асимптотой

графика

функции

y = f (x) при x → + ,

необходимо

и достаточно, чтобы

существовали конечные пределы

lim

f (x)

= k ,

x→+

lim

(

)

− kx

)

= b .

x→+

Аналогично находится асимптота при

x → − .

Исследование асимптот

при

x → +

при

x → − ,

как

правило, проводят отдельно.

В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x → + и при x → − , например, для

1) рациональных функций;

2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Следует отметить, что метод вычисления пределов для нахождения асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты. Для определения взаимного положения графика и асимптоты можно пользоваться следующими правилами.

1) Если функция y = f (x) имеет асимптоту при x → + ,

дифференцируема и строго выпукла вниз на луче x x0 , то график функции лежит выше асимптоты.

2) Если функция y = f (x) имеет асимптоту при x → + ,

дифференцируема и строго выпукла вверх на луче x x0 , то график функции лежит ниже асимптоты.

3) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график функции бесконечное число раз пересекает асимптоту.

Аналогичное утверждение справедливо и при x → − .

До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно определить по

знаку o(1) в методе выделения главной части.

Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты

выделяем главную часть функции при x → + . Аналогично при x → − .

Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби.

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы


представления функции формулой Тейлора при x → + .
	Главную	часть	иррациональных	функций	вида

f (x) = ax2 + bx + c и			f (x) = 3 ax3 + bx2 + cx + d	удобно	находить

соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения.

Пример 16. Найти асимптоты графика функции

f(x) = 3x2 + x −5 .

x+ 2

◄Прямая x = −2 — вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота. Найдем угловой							коэффициент k и
свободный член b по формулам
k+ = lim	f (x)	=	3x2 + x − 5			= 3 ,
k+ = lim	x	=		x (x + 2)		= 3 ,
x→+	x			x (x + 2)
x→+
k− = lim	f (x)	=		3x2 + x − 5		= 3
k− = lim	x	=		x (x + 2)		= 3
x→−	x			x (x + 2)
x→−
					3x2 + x − 5
b+ = lim ( f (x)− kx) = lim							− 3x	= −5
b+ = lim ( f (x)− kx) = lim					x + 2		− 3x	= −5
x→+	x→+				x + 2

Таким образом, прямая y = 3x − 5 — наклонная асимптота.

Найдем асимптоту методом выделения главной части дробнорациональной функции. Выполняя деление «столбиком», получаем

		31
		3x2 + x − 5						x + 2
		3x2 + x − 5						x + 2
		3x2 + 6x
		3x2 + 6x					3x − 5

			−5x − 5
			−5x −10
					5
	3x2 + x − 5				5			( )
То есть,	x + 2	= 3x − 5 +		x	+	2		= 3x − 5 + o 1 .
	x + 2			x	+	2

Таким образом, прямая y = 3x − 5 — наклонная асимптота. ►

Пример 17. Найти асимптоты линии

x2	−	y2	=1 .
a2		b2

◄ Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Выражая уравнение линии в явном виде

y = ba x2 −1 .

Тогда

k =	b	lim	x2 −1	=	b	,
			x		a
	a x→

b = ba xlim→ (x2 −1 − x)= 0 .

В итоге имеем 2 наклонных асимптоты: y = ba x .►

Пример 18. Найти асимптоты линии y3 = 6x2 + x3 .

◄ Выразим уравнение линии в явном виде

y = 36x2 + x3 .

Так как

	3						6			2
			2		3
y =		6x		+ x		= x 3 1+		= x 1	+		+ o (x)	,
							x			x

то прямая y = x + 2 - наклонная асимптота. ►

(1− x2 )

Пример 18. Найти асимптоты функции: y = (x3 − 2x2 − 3x + 2)

◄Так как функция не определена в точках x = 1, то x = 1 - вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: угловой коэффициент прямой k и

число b найдём, применяя формулы:

k = lim

f (x)

;

x→

b = lim

f (x) − kx

)

;

x→ (

k = lim

(x3 − 2x2 − 3x + 2)

= −1

x→

(

)

− x

b = lim

(x3 − 2x2 − 3x + 2)− x3 + x

= 2 .

(

)

1− x

x→

Получили: y = −x + 2 - наклонная асимптота. ►

Пример 19. Найти

наклонную

асимптоту

графика функции

f(x) = x4 + 3x −1 .

x− 4

◄Так как

4 −1

f (x) =

+ 3x −1

3 1

= x 1+

−

x − 4

то по формуле Тейлора получаем

		4		1
f (x) = x 1	+		+ o		= x + 4 + o (1)
f (x) = x 1	+		+ o		= x + 4 + o (1)
		x	x

и прямая y = x + 4 является искомой асимптотой. ►

§6. Построение графиков функций.

При построении графика функции y = f (x) удобно следовать следующей схеме.

1)Область определения функции.

2)Четность (нечетность), периодичность функции.

3)Точки пересечения графика с осями координат и промежутки,

на которых f (x) 0 и f (x) 0 .

4)Стационарные и критические точки, промежутки возрастания

иубывания функции, экстремумы.

5)Возможные точки перегиба, промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.

6)Асимптоты графика.

7)График функции.

Пример 20. Исследовать функцию

y = x2 (x − 4)2

ипостроить её график.

◄1) Область определения функции: x (− ; + ) . Точек разрыва

нет.
2)	Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная,
непериодическая),			т.к.	f (−x) f (x),	f (−x) − f (x) ,
f (x) f (x +T )		при T 0 .
3)	Найдём точки пересечения графика функции с осями
координат.
С осью Ox :			x2 (x − 4)2	= 0 точки O (0, 0) и M (4, 0).
С осью Oy :		точка O (0, 0) .
На всей области определения x функция					f (x) 0 .
4)	Найдём стационарные точки. Так как

y ' = (x2 (x − 4)2 )' = (x4 −8x3 +16x2 )' = 4x3 − 24x2 + 32x ,

то решая уравнение

x3 − 6x2 + 8x = 0 ,

Получаем

x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4

Составим таблицу знаков производной и поведения функции:

x	f (x)	f (x)

(−, 0)	−	убывает

0	0	min
0	0	f (x) = 0
		f (x) = 0

(0, 2)	+	возрастает

2	0	max
2	0	f (x) =16
		f (x) =16

(2, 4)	−	убывает

4	0	min
4	0	f (x) = 0
		f (x) = 0

(4, + )	+	возрастает

5)Найдем возможные точки перегиба. Так как

y = (x2 (x − 4)2 ) = (4x3 − 24x2 + 32x)' = 12x2 − 48x + 32 ,

то решением уравнения												y = 0	будет x = 2	2			3	.
то решением уравнения												y = 0	будет x = 2					.
													1,2		3
															3
Составим таблицу знаков второй производной:
						x							f (x)					f (x)


	−, 2 −							2		3
													+					выпукла вниз
								3					+					выпукла вниз
								3

																		точка перегиба
							2 3											точка перегиба
		2 −					2 3						0					f (x) =	64
		2 −					3						0						64
							3
																9

		2	3							2	3
2 −					, 2 +								−					выпукла вверх
2 −			3		, 2 +					3			−					выпукла вверх
			3							3

																		точка перегиба
						2 3												точка перегиба
		2 +				2 3							0					f (x) =	64
		2 +				3							0						64
						3
																9

				2 3
	2 +			2 3					, +				+					выпукла вниз
	2 +								, +				+					выпукла вниз
			3
			3

35 6) Так как у исследуемой функции нет точек разрыва и

k = lim	f (x)	= lim	x2 (x − 4)2	= ,
	x		x
x→		x→

то асимптот у графика нет.

7)Используя данные, полученные в п.п. 1-6, построим график функции.

►

Пример 21. Исследовать функцию и построить её график.

	x
y = 2 ln		−3

x − 4

◄1) Область определения функции: x (−; 0) (4; + ) .

2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. f (−x) f (x), f (−x) − f (x) ,

f (x) f (x +T )	при T 0 .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями
координат.	x		( )

С осью Ox :	2 ln	−3 = 0 x =	4exp 1.5	5.1 .

			exp (1.5)−1
	x − 4

					36
С осью Oy :	точек пересечения нет.
						4 exp 1.5
Функция	f (x) 0		при		x (−, 0)	( )	, + и
Функция	f (x) 0		при		x (−, 0)		, + и

					exp (1.5)−1
		4 exp 1.5
f (x) 0 при x 4,		(	)	.
f (x) 0 при x 4,				.
		exp (1.5)−1
		exp (1.5)−1

4) Найдем стационарные и критические точки. Вычисляя первую производную

	'			x		'		8	,
y		=	2 ln		− 3		= −
								x (x − 4)
			x − 4

находим критические точки x = 0 и x = 4 , в которых производная не существует.

Составим таблицу знаков производной и поведения функции:

f (x)

(−, 0)

−

убывает

разрыв 2 рода

(0, 4)

не определена

−

разрыв 2 рода

(4, + )

−

убывает

5) Найдем возможные точки перегиба. Так как

−8

8(2x − 4)

2 ln

−3

x2 (x − 4)

x − 4

x (x − 4)

а точка x = 2 не принадлежит области определения, то			будем два
интервала постоянной выпуклости - (−, 0)	и (4, + ) .		При x 0
y 0 , поэтому функция выпукла вверх,	x 4	y 0 , поэтому
функция выпукла вниз.

6) Найдём асимптоты.

Вертикальные: x = 0, x = 4 , так как функция терпит разрыв в этих

точках.

Найдём наклонную (горизонтальную) асимптоту.

37
Угловой коэффициент прямой	k и число b найдём, применяя
формулы:
k = lim	f (x)	;
	x
x→

b= lim ( f (x) − kx) .

x→

		x
	2 ln						− 3
	2 ln						− 3
k = lim		x − 4								= 0
k = lim				x						= 0
x→				x


					x
b = lim		2 ln						−	3		= −3
b = lim		2 ln						−	3		= −3
x→			x		−	4

Таким образом, y = −3 - горизонтальная асимптота. 7) Построим график функции.

►

Пример 22. Исследовать функцию и построить её график

f(x) = 3x2 + 2x −5 .

x+ 2

◄1) Область определения функции: (− , −2) (−2, + ) . Точка x = 2 - точка разрыва 2 рода.

2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная,

непериодическая),

т.к.

f (−x) f (x),

f (−x) − f (x) ,

f (x) f (x +T )

при T 0 .

3) Найдём точки пересечения графика функции с осями

координат.

С осью Ox :

3x2

+ 2x − 5

, 0

, (1, 0) .

= 0

точки пересечения

−

x + 2

осью Oy :

f (x) 0 при

точка

0, −

. Функция

−2,

−

(1,

+ )

и f (x) 0

при

x (−, −2)

−

,1 .

4) Найдем стационарные точки. Так как
y =	3(x2 + 4x + 3)	,
y =	(x2 + 2)	,
	(x2 + 2)
то решая уравнение y = 0 , получаем стационарные точки			x = −3	и
x = −1. Кроме того, имеется еще одна критическая точка			x = −2	в
которой производная не существует.

Составим таблицу знаков производной и поведения функции:

	x		f (x)		f (x)

(−, −3)			+		возрастает

	−3		0		точка максимума
	−3		0		f (x) = −16
					f (x) = −16

(−3, −2)			−		убывает

	−2		−		точка разрыва 2 рода
(	−2, −1		−		убывает
(	)		−		убывает
	−1		0		точка минимума
(−1, + )			+		возрастает

5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
		y =	6	0 ,

			(x + 2)3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]