Дискретная математика в программировании. Практикум. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФГБОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

С. Н. ЧЕРНЯЕВА, Л. А. КОРОБОВА, И. С. ТОЛСТОВА

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА В ПРОГРАММИРОВАНИИ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2023

УДК 330.131.7 ББК В18я7+З973.2-018я7

Ч-49

Научный редактор профессор Д. В. АРАПОВ

Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой вычислительной техники и информационных систем Воронежского лесотехнического университета им. Д.С. Морозова доц. В. В. ЛАВЛИНСКИЙ;

к. т. н. Н. В. АКАМСИНА (Воронежский государственный технический университет)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

и технологии», 09.03.01 – «Информатика и вычислительная техника». Оно предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплин цикла1. БВ пособии рассмотрены примеры решения задач теории множеств, бинарных отношений, алгебры логики и теории графов. Приведены задания для самостоятельного решения.

ISBN 978-5-00032-623-7

© Черняева С. Н., Коробова Л. А., Толстова И. С., 2023

© ФГБОУ ВО «Воронеж. гос. ун-т инж. технол.», 2023

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

Практическая работа № 1. Основные понятия теории множеств

множества - это те предметы, из которых состоит множество. Пусть имеется множество А, элементом которого является

предмет а, это записывается как А={а}. Например, В={1,2, 3}. Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это

обозначается аÎА, а если b не принадлежит А, то - bÏА. Например, пусть А - множество четных натуральных чисел, тогда

6ÎА, а 3ÏА.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хÎА, то хÎB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АÍВ (Í - символ нестрогого включения, т.е.

возможно совпадение множеств). Множество А совпадает со

множества). Символически это записывается в видеA={x | P(x)}

3

таких парадоксов.

1)Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?

2)Пусть имеем натуральное число 11218321 - одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А - множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим

- наименьшее число из множества А, причем аminÎA. Число можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, аmin

4

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в

доказательства этого факта, аналогично, используя условие ВÍС, можно доказать, что х принадлежит С (хÎС).

В качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из . АИз этого допущения при выполнении

доказать.

Пример 2. Пусть А={1,6}, В ={х | х2-7х+6=0}. Последнее читается как В является множеством элементов х, для которых

условие. Для доказательства обратного включения ÍВА нужно найти все корни уравнения и убедиться, что они равны 1 и 6, т.е.

5

Над множествами определены следующие операции.

1.Объединение. Пусть А и В– произвольные множества. Их объединением называется множество С = А È В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

2.Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество , С состоящее из элементов, одновременно

принадлежащих А и В. Обозначается так: C = A Ç B.

3.Разность. Разность множеств А и В – это множество С (С

=А \ В), состоящее из элементов множества А, не

принадлежащих множеству В. Если В Í А, то разность С = А \ В называется дополнением В до А. Считается, что все множества включены в некоторое множествоU, которое называют

универсальным множеством (универсумом). В этом случае дополнение какого-либо множества А доU обозначается С(А) или A .

4. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В – это множество

С = А D В = (А \ В) È (В \ А).

Перечисленные операции удобно изображать графически с помощью т.н. диаграмм Вена.

Основные свойства операций.

1.Коммутативность:

АÇ В = В Ç А; А È В = В È А.

2.Ассоциативность:

(А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) = А Ç В Ç С; (А È B) È С = А È (В È С) = А È В È С.

3. Взаимная дистрибутивность:

а) (А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С); б) (А Ç B) È С = (А È С) Ç (В È С).

4.Идемпотентность: A È A = A; A Ç A = A.

5.Законы поглощения: (A Ç B) È A = A; (A È B) Ç A = A.

6.Свойства нуля: A È Æ =A; A Ç Æ = Æ.

7.Свойства единицы: A È U =U; A Ç U = A.

8.Инволютивность: A = A .

6

9.Законы де Моргана: A Ç B = A È B ; A È B = A Ç B .

10.Свойства дополнения: A È A = U ; A Ç A = Æ .

Законы де Моргана можно обобщить на произвольное количество множеств. Пусть А1, А2, . . . – некоторые множества и пусть все они включены в S (А1, А2, . . . Í S). Тогда выполняются следующие соотношения:

множеств равно объединению их дополнений.

Задание

1. В универсальном множествеU={1,2,3,4,5,6,7} заданы подмножества A={x| x < 4}, B={2,4,5,7}, C={1,2,5,6}. Найти:

а) C È A;

б) В Ç С; в) С D В;

г) U \ A.

2. Написать программу, которая формирует заданные множества и выполняет операции в соответствии с вариантом:

1.A Ç (B Ç C).

2.A È (B È C).

3.А È (A Ç B).

4.А Ç (A È B).

5.(A \ C) È (B \ C).

6.(A \ B) È (A \ C). 7.(AÈB) \ C

8.A \ (B Ç C).

9.А D В

10.(А \ В) È (В \ А).

7

Практическая работа № 2. Отображения и функции. Свойства отображений. Нечеткие множества, функция принадлежности.

Операции над нечеткими множествами

Цель работы: получение навыков задания нечетких множеств в ЭВМ и выполнения операций с ними.

Теоретические сведения

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к.

где mA(х) – характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество

упорядоченных пар вида (*) где mA(х) принимает значения уже в некотором вполне упорядоченном множествеM (например, M°=°[0, 1]). Функция принадлежности указывает степень(или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M°=°{0, 1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества. Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0, 1]; A – нечеткое множество, для которого

8

mA(x1)°=°0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9. Тогда A

можно представить в виде:

A = {0,3 / x1; 0 / x2; 1 / x3; 0,5 / x4; 0,9 / x5 }

или

A = 0,3/x1 È 0/x2 È 1/x3 È 0,5/x4 È 0,9/x5,

или

M°=°[0, 1] и A – нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

множества A(sup F(x) – точная верхняя граница функции F(x)).

Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности 1равна ( supmA (x) =1). При supmA (x) < 1 нечеткое множество называется

субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если " xÎE mA(x) = 0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Носителем нечеткого множества A является обычное

подмножество со свойством mA(x) > 0.

1. Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если

"x ÎE mA(x) > mB(x). Обозначение: A Ì B.

2.Равенство. A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB(x). Обозначение: A = B.

3.Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

9

mAÈ B(x) = max {(mA(x), mB(x)}.

6. Разность. А \ B = А Ç B с функцией принадлежности: mA\B(x) = min { mA(x), 1 – mB(x)}.

Например, пусть: A = 0,4/ x1 È 0,2/ x2 È 0/ x3 È 1/ x4; B = 0,7/ x1 È 0,9/ x2 È 0,1/ x3 È1/ x4; C = 0,1/ x1 È 1/ x2 È 0,2/ x3 È 0,9/ x4.

Здесь:

1)A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2)A ¹ B ¹ C.

3)A = 0,6/ x1 È 0,8/ x2 È 1/ x3 È 0/ x4;

B = 0,3/ x1 È 0,1/ x2 È 0,9/ x3 È 0/ x4.

Свойства операций. Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) A Ç B = B Ç Aüý– коммутативность;

A È B = A È Bþ

б) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)üý– ассоциативность;

(A È B) È C = A È (B È C)þ

в) A Ç A = Aüý– идемпотентность;

A È A = Aþ

г) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)üý– дистрибутивность;

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)þ

д) AÈÆ = A, где Æ – пустое множество, т.е. mÆ(x)=0 "xÎE; AÇÆ = Æ;

AÇE = A, где E – универсальное множество;

10