Дискретная математика в программировании. Практикум. Учебное пособие

Задание

1. Написать программу построения таблицы истинности для формул в соответствии с вариантом:

1.Ø(A Ù ØB) ® (B Ú C);

2.(Ø (P ® Ø(Q Ù P)) ® (P Ú R));

3.((P ® (Q ® R)) ® ((P ® Q) ® (P ® R))); 4.((P Ù (Q Ú ØP)) Ù ((ØQ ® P) Ú Q)); 5.(AÙØB)Ú(ØAÙB) ;

6.Ø((A~B) ~ (A®B)Ù(B®A));

7.(A®B)Ù(B®С)®(A®С); 8.(((P ® Q) Ú (P®(Q Ù P)));

9.(ØA Ù B) ® (ØB Ú A);

10.((A ® ØB) ® C) Ú ØA.

2.Написать программу построения таблицы истинности для формул в соответствии с вариантом и проверить, является ли формула тождественно истинной или тождественно ложной:

1.(P ® (Q ®P)); 2.((P Ù Q) ® P); 3.(P ® (P Ú Q)); 4.(ØP ® (P ® Q));

5.(A ~ B) ® (A ® B);

6.((P ® Q) Ú (P ® ØQ));

7.((A ® B) Ù B) ®A;

8.ØA ® (A Ú B);

9.Ø(A ® B) ~ (ØA ÚB);

10.Ø(A ® B) ~ Ø(A Ù ØB).

Практическая работа № 5.

Упрощение формул, релейно-контактные схемы функций

Цель работы: приобрести навыки упрощения формул алгебры логики и упрощения релейно-контактных схем функций.

21

классы эквивалентности, включив в один класс эквивалентные между собой формулы. Каждой формуле U соответствует класс эквивалентности, который обозначается [U].

Теорема 3. Если A есть некоторая подформула формулы U и A эквивалентна формуле B, то формула, полученная заменой A в формуле U на B, эквивалентна U. Иными словами, если A~B, то

U(A) ~ U(B).

Например, так как A®B ~ А Ú В , то (A®B)ÙC ~ А Ú В ÙC. Следствие. Если U~A и V~B, то:

1)U Ú V ~ A Ú B;

2)U Ù V ~ A Ù B;

3)U ®V ~ A ®B;

4)(U~V) ~ (A~B);

5)Ø U ~ Ø A.

Теорема 3 и ее следствие позволяют преобразовывать формулы, упрощая их, и доказывать эквивалентность формул. Приведем список основных тавтологий, выражающих свойства логических операций.

1. Коммутативность:

X ÙY ~ Y ÙX, X ÚY ~ YÚX.

22

X Ù Y ~ X Ú Y , X Ú Y ~ X Ù Y .

8.Закон двойного отрицания:

Ø(ØX) ~ X .

9.Закон противоречия:

X Ù Y Ú X Ù Y ~ X , (X Ú Y) Ù (X Ú Y) ~ X .

Формула называется приведенной, если она содержит операции конъюнкции, дизъюнкции и операцию отрицания, относящуюся к высказывательным переменным.

Теорема 4. Каждый класс эквивалентности [U] может быть

формула для данного класса эквивалентности не является единственной. Определим порядок построения приведенной формулы.

1. Удаляются операции импликация и эквиваленция по п.11, 12.

23

формуле U, если она получена заменой операций конъюнкции на дизъюнкции и наоборот.

Теорема 5. (принцип двойственности). Пусть U(X1,…, Xn) –

приведенная формула, тогда U*( X1,…, Xn) ~ Ø U( X1 , . . . , Xn ).

Вавтоматическом управлении и при эксплуатации

переключателей P и Q соответствует формула, являющаяся дизъюнкцией высказывательных переменных, соответствующих этим переключателям, P Ú Q . Два переключателя P и P' могут

24

быть связаны так, что когда P замкнут, то P' разомкнут. Тогда

переключателю P' ставится в соответствие переменнаяP , являющаяся отрицанием P.

Пример. Упростить схему

Решение. Запишем формулу, соответствующую схеме, по приведенным выше правилам:

U = P Ù Q Ù R Ú P Ù RÚ Q Ù S Ù R Ú Q Ù S .

Преобразуем эту формулу, используя соответствующие эквивалентности:

25

Задания

1.Упростить формулы:

1.(A ® P) Ù A Ù P;

2.A Ù P Ú (A Ù (A ® P));

3.(P ® B ) Ù (B ® C);

4.A Ù ( A Ú P ® (A Ú P));

5.(P ® A) Ù (A ~ P);

6.A Ú P Ú (A ® P );

7.B Ù A Ú B Ù A Ú B Ù C Ú B Ù C Ù A ;

8.(A ® P) Ù (P ® C)) ® (C ® A);

9.А Ù P Ù C Ú A Ù Р Ù C Ú A Ù P Ù С Ú A Ù P Ù C.

10.A Ú B Ù A Ú B Ù C Ú B Ù C

2.Упростить схемы:

26

конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Если все операции полной системы å* представимы формулами над системойå, то

T0 ={f Î Pn |f (0, 0, . . . , 0) = 0}.

2.Класс функций, сохраняющих 1: T1 ={f Î Pn | f (1,1, . . . ,1) = 1} .

3.Класс самодвойственных функций:

T* ={f Î Pn |f = f * } .

4. Класс монотонных функций:

T£ ={f Î Pn | a £ b Þ f (a) £ f (b)} ,

где a £ b Û ai £ bi , "i = 1, n . 5. Класс линейных функций:

T0 ={f Î Pn | f = c0 Å c1x1 Å . . . Å cn x n } .

Теорема Поста. Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, хотя бы одну функцию, не сохраняющую 1, хотя

28

реализующей булеву функцию F, раскрыть скобки и произвести все возможные упрощения, то получится формула, имеющая вид суммы произведений, т. е. полинома по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции. Таким образом, линейной называется функция, полином Жегалкина

Решение.

1. Строим СДН-форму булевой функции

f f ( x1, x2 , x3 , x4 ) =

x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4

Úx1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4

Úx1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 Ú x1 × x2 × x3 × x4 . x.

Далее минимизацию ДНФ функции выполним по алгоритму Квайна–Мак-Клоски.

29

2. Строим сокращенную ДН-форму последовательной склейкой переменных. Геометрически склейка наглядно и просто выполняется с помощью карт Карно, которые являются способом изображения булева куба.

После выполнения всех склеек сокращенная ДНФ имеет

вид

f ( x1, x2 , x3 , x4 ) = x3 × x4 Ú x1 × x4 Ú x1 × x3 Ú x2 × x4 Ú

Жегалкина S4={ ,ʌ,1}, называется алгеброй Жегалкина.

Основные свойства:

1) коммутативность: X1 X2=X2 X1; X1ʌX2=X2ʌX1;

30