Дискретная математика в программировании. Практикум. Учебное пособие

Основными алгоритмами обхода графов являются: поиск в ширину и поиск в глубину. Поиск в ширину подразумевает поуровневое исследование графа: вначале посещается корень– произвольно выбранный узел, затем – все потомки данного узла, после этого посещаются потомки потомков и т.д.

Вершины просматриваются в порядке возрастания их расстояния от корня. Алгоритм прекращает свою работу после обхода всех вершин графа, либо в случае выполнения требуемого условия (например, найти кратчайший путь из вершины1 в вершину 6).

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний:

0— необнаруженная вершина;

1— обнаруженная, но не посещенная вершина;

2— обработанная вершина.

Применение алгоритма поиска в ширину.

1.Поиск кратчайшего пути в невзвешенном графе (ориентированном или неориентированном).

2.Поиск компонент связности.

3.Нахождение решения какой-либо задачи( гры) с наименьшим числом ходов.

4.Нахождение всех рёбер, лежащих на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.

41

5. Нахождение всех вершин, лежащих на каком-либо кратчайшем пути между заданной парой вершин.

Алгоритм поиска в ширину работает как ориентированных, так и на неориентированных графах.

Для реализации алгоритма удобно использовать очередь: #include <iostream>

#include <queue> // очередь using namespace std;

int main()

{

queue<int> Queue;

int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности

{1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },

{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },

{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },

{0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },

{0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },

{1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };

int nodes[7]; // вершины графа for (int i = 0; i < 7; i++)

nodes[i] = 0; // исходно все вершины равны 0 Queue.push(0); // помещаем в очередь первую вершину while (!Queue.empty())

{ // пока очередь не пуста

int node = Queue.front(); // извлекаем вершину Queue.pop();

nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную for (int j = 0; j < 7; j++)

{// проверяем для нее все смежные вершины if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] == 0)

{ // если вершина смежная и не обнаружена

Queue.push(j); // добавляем ее в очередь

nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как

обнаруженную

}

}

cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины

}

cin.get(); return 0;

}

42

Поиск в глубину– это алгоритм обхода вершин графа. Поиск в ширину производится симметрично(вершины графа просматривались по уровням). Поиск в глубину предполагает продвижение вглубь до тех, покапор это возможно. Невозможность продвижения означает, что следующим шагом будет переход на последний, имеющий несколько вариантов движения (один из которых исследован полностью), ранее посещенный узел (вершина).

Отсутствие последнего свидетельствует об одной из двух возможных ситуаций:

-все вершины графа уже просмотрены;

-просмотрены вершины доступные из вершины, взятой в качестве начальной, но не все(несвязные и ориентированные графы допускают последний вариант).

Каждая вершина может находиться в одном из 3 состояний: 0 – необнаруженная вершина; 1 – обнаруженная, но не посещенная вершина; 2 – обработанная вершина;

Применение алгоритма поиска в глубину.

1.Поиск любого пути в графе.

2.Поиск лексикографически первого пути в графе.

3.Проверка, является ли одна вершина дерева предком

другой.

4.Поиск наименьшего общего предка.

5.Топологическая сортировка.

6.Поиск компонент связности.

Применимость алгоритма зависит от конкретной задачи. Для реализации алгоритма удобно использовать стек или рекурсию:

43

#include <iostream> #include <stack> // стек using namespace std; int main()

{

stack<int> Stack;

int mas[7][7] = { { 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, // матрица смежности

{1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 },

{1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 },

{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0 },

{0, 0, 0, 1, 0, 1, 0 },

{0, 0, 0, 0, 1, 0, 1 },

{1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 } };

int nodes[7]; // вершины графа

for (int i = 0; i < 7; i++) // исходно все вершины равны 0 nodes[i] = 0;

Stack.push(0); // помещаем в очередь первую вершину while (!Stack.empty())

{ // пока стек не пуст

int node = Stack.top(); // извлекаем вершину Stack.pop();

if (nodes[node] == 2) continue;

nodes[node] = 2; // отмечаем ее как посещенную for (int j = 6; j >= 0; j--)

{// проверяем для нее все смежные вершины if (mas[node][j] == 1 && nodes[j] != 2)

{// если вершина смежная и не обнаружена

Stack.push(j); // добавляем ее в cтек

nodes[j] = 1; // отмечаем вершину как

обнаруженную

}

}

cout << node + 1 << endl; // выводим номер вершины

}

cin.get(); return 0;

}

44

Задание

1. Для заданного графа написать программу построения

матрицы смежности и вычисления характеристик: Г(хi), Г-1(хi),

Г2(хi), Г-2(хi), ρs(хi), ρt(хi):

2. Для графа задания 1 написать программу:

45

Практическая работа № 9.

Кратчайший путь в орграфе. Построение кратчайшего остовного дерева, Гамильтонова цикла

46

принимается за постоянную. Процесс продолжается до тех пор, пока вершина B не получит постоянную метку. Значение этой метки и есть кратчайшее расстояние от A до B.

Пример. Найти кратчайший путь отвершины А до вершины В в заданнос графе

Решение.

1.Вершина A получает постоянную метку 0, остальные — метку ∞:

2.Вычисляем расстояния от вершины1 с постоянной меткой 0. Вершины 2, 4 и 5 меняют свои временные метки на 11,

12и 26. Остальные имеют прежние метки— ∞. Очевидно, наименьшей меткой является 11. Она и становится постоянной:

3.Вычисляем расстояния от вершины2 с постоянной меткой 11. Вершины 3 и 5 имеют расстояния 15 и 16 до вершины

2.Суммируя, получаем значения 26 и 27. Для вершины 5 прежнее значение, 26, было меньше нового значения27. Следовательно, значение метки 5 не меняем; оно остается равным26. Из трех временных меток — 12, 26 и 26 — наименьшая принадлежит вершине 4. Эта метка и становится постоянной:

47

вместо прежнего значения 26. Из двух временных меток вершин 3 и 5 наименьшая принадлежит вершине 5. Эта метка и становится постоянной:

5.На следующем этапе, вычисляя расстояния от вершины 5

спостоянной меткой 25, приходим к конечной вершине B. Но ее метка (25+14 = 39) не становится постоянной, т.к. она не является минимальной. Расстояние от вершины 5 до вершины 3 принято ∞

постоянной. На следующем этапе ищем расстояния от нее:

6. Расстояние от вершины 3 до вершины 6 составляет 20. Так как 26 + 20 > 39, значение метки 6 не меняем. На этом шаге

она остается прежней и единственной временной . меткой Временная метка вершины6 становится постоянной, что означает конец процесса. Минимальное расстояние отA до B

равно 39.

48

минимального веса. При этом необходимо следить за тем, чтобы не появлялись циклы.

49

Пример. С использованием алгоритмов Краскала и Прима построить кратчайший остов для графа:

В таблицах приводится последовательность выбора ребер остовного дерева с использованием алгоритмов Краскала и Прима.

Кратчайший остов для данного графа имеет следующий вид:

50