Дискретная математика в программировании. Практикум. Учебное пособие

AÈE = E;

е) A Ç B = A È Bü – теоремы де Моргана.

ï

ý

A È B = A Ç Bï

þ

В отличие от четких множеств для нечетких множеств в

общем случае AÇ A ≠ Æ, AÈ A ¹ E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Задание

1. Пусть: A = 0,4/ x1 È 0,2/ x2 È 0/ x3 È 1/ x4; B = 0,7/ x1 È 0,9/ x2 È 0,1/ x3 È1/ x4;

C = 0,1/ x1 È 1/ x2 È 0,2/ x3 È 0,9/ x4.

Построить множества:

а) AÇB;

б) АÈВ;

в) А \ В; В \ C.

2. Написать программу, которая формирует заданные нечеткие множества и выполняет операции в соответствии с вариантом:

1.AÇ(BÇC).

2.AÈ(BÈC).

3.А È (A Ç B).

4.А Ç (A È B).

5.(A \ C) È (B \ C).

6.(A \ B) È (A \ C). 7.(AÈB) \ C

8.A \ (B Ç C).

9.А D В.

10.(А \ В) È (В \ А).

11

Практическая работа № 3. Бинарные отношения

упорядоченных наборов из n элементов, т.е.

А1´А2´ . . . ´Аn={(а1, а2, . . . , аn) | aiÎAi }.

Если все множества Ai совпадают A=А1=А2= . . . =Аn, то прямое произведение А1´А2´ . . . ´Аn=An называют прямой n-й степенью множества А.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество RÍA´B. Если множества A и B совпадают А=В, то R называют бинарным отношением на множестве А.

Если (x, y)ÎR, то это обозначают еще xRy и говорят, что между элементами x и y установлено бинарное отношение R.

Приведем примеры бинарных отношений. Пусть A=B=R, пара (x, y) является точкой вещественной плоскости. Тогда бинарное отношение

R1 = { (x, y) | x2 + y2 £1 }

определяет замкнутый круг единичного радиуса с центром в точке (0,0) на плоскости, отношение

R2 = { (x, y) | x ³ y }

полуплоскость, а отношение

R3= { (x, y) | |x-y| £ 1 }

полосу.

Диагональ множества A´A, т.е. множество D={(x,x) | xÎA}, называется единичным бинарным отношением или отношением равенства в A.

Областью определения бинарного отношения R называется множество

12

dR={ xÎA | yÎB, (x, y) ÎR }.

Областью значений бинарного отношенияR называется множество

отношения, согласно которым в паре (x, y)ÎR элемент x в какомто смысле лучше чем y. Например:

-в смысле отношения R2 "лучше" означает "больше или равно";

-в смысле отношения R3 понятие "лучше" может означать "отстоит не больше чем на единицу".

Операции над бинарными отношениями определяются подобно операциям над соответствующими множествами. Пусть А – произвольное множество, на котором введены бинарные отношения R, R1, R2,...

1)Объединение двух бинарных отношенийR1 и R2 - это отношение

R1ÈR2 = { (x, y) | (x, y)ÎR1 или (x, y)ÎR2 }.

2) Пересечение двух бинарных отношенийR1 и R2 - это отношение

R1ÇR2 = { (x, y) | (x, y)ÎR1 и (x, y)ÎR2 }.

3)Обратное отношение R –1 = { (x, y) | (y, x)ÎR}.

4)Дополнение к отношению R ={ (x, y) | (x, y)Î(A´A)\R}.

5)Двойственное отношение Rd = R-1 .

6)Композиция (суперпозиция) отношений R=R1oR2 содержит пару (x, y) тогда и только тогда, когда существует такое

zÎA, что (x, y)ÎR1 и (z, y)ÎR2.

7) R1 содержится в R2 (R1 Í R2), если любая пара (x, y), которая принадлежит отношениюR1, также принадлежит и отношению R2.

13

Основные свойства операций над отношениями:

1)Ç Rk -1=(Ç Rk) -1.

2)È Rk -1=(È Rk ) -1.

3)(R1 o R2) -1 = R1 -1o R2 -1.

4)(R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3).

5)(R1 È R2 )oR3 = (R1 oR3 )È( R2o R3 ).

6)(R1 Ç R2 )oR3 Í (R1 oR3 )Ç( R2o R3 ).

7)а) если R1Í R2 то R1o R3 ÍR2o R3;

б) если R1 Í R2 то R1-1Í R2-1;

в) если R1 Í R2 то R3oR1 Í R3oR2.

8)a) (R1È R2)d = R1d ÇR2d;

б) (R1Ç R2)d = R1d ÈR2d; в) (R d)d = R.

Способы задания бинарных отношений. Традиционное задание отношений аналогично тому, как это принято в теории множеств, что не всегда удобно. Поэтому наряду с таким заданием применяются другие способы.

1. Матричное задание. Оно используется, когда А – конечное множество А={xi}. Тогда отношение R можно задавать с помощью матрицы R={xij}, элементы которой определяются соотношением:

ìï1, если (xi , x j ) ÎR, xij = íïî0, если (xi , x j ) ÏR.

2. Задание с помощью графа. Для конечного множества А отношение можно задавать с помощью графа(R), Гкоторый является геометрическим образом бинарного отношения. Граф – фигура, состоящая из точек(вершин), соединенных линиями (дугами). Вершины графа соответствуют элементам множества А, т. е. xi, а наличие дуги, соединяющей вершины xi и xj, означает, что (xi,xj)ÎR. Чтобы подчеркнуть упорядоченность пары на дуге ставится стрелка.

3. Задание верхними и нижними срезами. Этот способ может быть использован для любых множеств и отношений. Пусть на множестве А задано отношение R. Верхний срез GR (x)

14

отношения R в точке x ÎА - это множество элементов yÎА таких,

что (y, x)ÎR, т.е. GR(x) = { yÎA | (y, x)ÎR }. Если рассматривать R

как отношение предпочтения, то GR (x) – это множество элементов, лучших чем х. Нижний срез HR(x) отношения R в точке xÎА - это множество элементов yÎА, таких, что (x, y)ÎR,

т.е. HR(x) = { yÎA | (x, y)ÎR }.

Свойства бинарных отношений.

1)Рефлексивность. Отношение R называется рефлексивным, если (х, х)ÎR для любого хÎA.

2)Антирефлексивность. Отношение R называется

антирефлексивным, если (х, х)ÏR для любого хÎA. Если R - антирефлексивное отношение, то xÏGR(x) и хÏHR(x) для любого хÎA .

3) Симметричность. Отношение R называется симметричным, если для любыхx,yÎA из того, что (x, y)ÎR

одновременного выполнения условий (x, y)ÎR и (y, x)ÎR следует,

что x = y.

5) Асимметричность. Отношение R асимметрично, если

асимметричности: из двух отношений (x, y)ÎR и (y, x)ÎR одно не выполняется.

Для любого отношения R вводятся понятия симметричной части отношения Rs = R ÇR-1 и асимметричной части отношения Ra = R \ Rs. Если отношение R симметрично, то R = Rs, если отношение R асимметрично, то R = Ra.

6) Транзитивность. Отношение R транзитивно, если для любыx x, y, zÎA из того, что (x, y)ÎR и (y, z)ÎR следует (x, z)ÎR.

Свойства транзитивного отношения:

а) RoRÍR;

б) для любого хÎA из yÎGR(x) следует, что GR(y)ÍGR(x).

15

Отношение R1 называется транзитивным относительно отношения R2, если:

а) из (x, y)Î R1 и (y, x)Î R2 следует, что (x, z)Î R1; б) из (x, y)Î R2 и (y, x)Î R1 следует, что (x, z)Î R1.

7)Негатранзитивность. Отношение R называется негатранзитивным, если`R транзитивно.

8)Полнота. Отношение R полно, если для любых x, yÎА либо (x, y)ÎR, либо (y, x)ÎR, либо оба отношения выполняются одновременно. Свойства полных отношений:

а) GR(x)ÈHR(x) = А для любого хÎA; б) полное отношение рефлексивно.

9)Слабая полнота. Отношение R называется слабо полным, если для любых х¹y из А или (x, y)ÎR, или (y, x)ÎR.

10)Ацикличность. Бинарное отношение R ациклично, если

Rn ÇR-1= Æ для любогоnÎN . Иными словами, если из любой конечной цепочки отношений хRу, уRt,..., vRz следует, что z¹х, то отношение R ациклично.

Связи между бинарными отношениями.

1.Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда

R = R-1.

2.Если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно.

3.Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда Rd антисимметрично.

4.Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда Rd полно.

Задание

1. Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R и нижние срезы всех нечетных элементов, а также проверяет полноту R: R ={(xi , x j ) | (xi + x j )%4 =1} .

2. Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R и верхние срезы всех четных элементов, а также проверяет негатранзитивность R: R ={(xi , x j ) | (xi - x j )%3 = 0}.

16

R={(xi , x j ) | $k ÎN, xi = kx j +1} .

6.Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R и верхние срезы элементов, не кратных 3, а также

проверяет, является ли R слабо полным: R ={(xi , x j ) | xi - x j £ 6} °.

7. Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R и проверяет его асимметричность и негатранзитивность: R ={(x, y) | (x - y)%3 = 0} .

8. Написать программу, которая строит матрицу бинарного

R={(x, y) | (x + y)%4 = 3} .

9.Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R на конечном множестве и проверяет его антисимметричность и транзитивность: R = {(x, y) | (x - y)%3 =1} .

10. Написать программу, которая строит матрицу бинарного отношения R на конечном множестве и проверяет его антирефлексивность и негатранзитивность: R ={(x, y) | x %y =1} .

Практическая работа № 4.

Построение таблиц истинности формулы, тождественная истинность, тождественная ложность

Цель работы: получение навыков построения таблиц истинности алгебры логики в ЭВМ.

17

18

только тогда, когда высказывания A и B имеют одинаковые значения. Обозначение операции - А~В (АºВ).

Логические операции определяются также с помощью таблиц, называемых таблицами истинности. Приведем сводную таблицу истинности для всех введенных логических операций.

Пропозициональной (высказывательной) переменной

называется переменная, значениями которой являются простые высказывания. Обозначим высказывательные переменные через

X1, X2, . . . , Xn.

Понятие формулы алгебры высказываний вводится по индукции. Формулами алгебры высказываний являются:

1)И, Л;

2)пропозициональные переменные;

В соответствии с таблицами истинности операций можно построить таблицу истинности формулы. Перечислим, что для этого нужно.

1. Пронумеровать простые высказывания в алфавитном порядке.

19

2.Для каждого элементарного высказывания рассмотреть все возможные наборы значений истинности. Всего возможно 2n комбинаций, где n - число элементарных высказываний. Это количество строк в таблице.

3.Пронумеровать сложные высказывания, содержащие одну логическую операцию, затем сложные высказывания, содержащие две логических операции, т..д, увеличивая сложность высказываний в соответствии с порядком выполнения операций.

4.Вычислить значения истинности всех сложных высказываний. Столбец с последним номером будет содержать значение истинности для всей логической формулы.

Формулы А и В называются эквивалентными (обозначается

(ТЛ-формулой) или противоречием, если эта формула принимает значение Л при всех наборах значений переменных.

Так как логические формулы используются в операторах языков программирования и языков баз данных, то актуальными являются задачи определения эквивалентности, выполнимости, опровержимости, тождественной истинности и ложности формул. Такие задачи могут решаться с помощью построения таблиц истинности.

20