38 |
Индивидуальные задания |
|
|
9. Индивидуальные задания
Вариант 1.
1.В трапеции ABCD диагонали имеют длины d1 è d2, величина угла между ни- ми , меньшее основание имеет длину c. Построить трапецию и найти большее основание.
2.Дана прямая MP и точки A и B, не лежащие на ней. Найти на прямой MP такую точку X, что\AXM = 2\BXP .
3.Даны две прямые и точка. Постройте на этих прямых точки X и Y , симметричные относительно данной точки.
4.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC вне этого треугольника построен квадрат ABMH с центром O. Докажите, что луч OC есть биссектриса угла ACB.
5.Дан угол XOY и точка M внутри него. Проведите через точку M прямую так, чтобы отрезок, отсекаемый на ней сторонами угла, делился точкой M в отношении 2:3.
Вариант 2.
1.Даны прямая и окружность. Постройте отрезок данной длины и параллельный другой данной прямой так, чтобы его концы лежали на первой прямой и на окружности.
2.Найдите на двух данных прямых две точки, симметричные относительно третьей прямой.
3.Докажите, что параллелограмм симметричен относительно точки пересечения диагоналей.
4.Восстановите параллелограмм, зная его центр и четыре точки на каждой из его сторон.
5.Отобразите квадрат ABCD на квадрат EMP H с вершинами в серединах сторон квадрата ABCD при помощи гомотетии и движения.
Вариант 3.
1.На данной прямой расположите отрезок MN данной длины так, чтобы длина ломаной AMNB, где точки A и B расположены по разные стороны от прямой, была наименьшей.
2.На данной прямой постройте точку X так, чтобы прямая была одной из биссектрис углов двух различных касательных, проведенных из точки X к данным окружностям.
Индивидуальные задания |
39 |
|
|
3.На сторонах данного треугольника и данном отрезке построить такие точки, которые могут быть получены одна из другой симметрией относительно данной точки.
4.На сторонах треугольника ABC вне него построены правильные треугольники ABC1, ACB1, BCA1. Докажите, что AA1 = BB1 = CC1.
5.Дан треугольник ABC и точки M; P; H середины его сторон. Докажите, что треугольник MP H гомотетичен треугольнику ABC. Найдите центр и коэффициент гомотетии.
Вариант 4.
1.Постройте трапецию по двум диагоналям, средней линии и одному углу.
2.Пользуясь циркулем, постройте несколько точек, принадлежащих одной прямой.
3.Постройте точки, симметричные относительно данного центра и принадлежащие сторонам данного треугольника и данной окружности.
4.В данный треугольник ABC впишите прямоугольный равнобедренный треуголь-
ник MP H, если вершина прямого угла M дана на стороне AB.
5.На основаниях трапеции вне нее построены равносторонние треугольники. Докажите, что прямая, соединяющая вершины треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Вариант 5.
1.Даны две пересекающиеся прямые и отрезок AB. Постройте отрезок, параллельный и равный AB с концами на данных прямых.
2.Дан угол XOY и прямая. Постройте квадрат так, чтобы его диагональ лежала на этой прямой, а две другие вершины на сторонах угла XOY .
3.Докажите, что если фигура имеет два центра симметрии, то она имеет бесконечно много центров симметрии.
4.Постройте правильный треугольник так, чтобы его вершины лежали на трех данных попарно пересекающихся прямых a; b; c.
5.Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
Вариант 6.
1.Постройте трапецию по заданным четырем сторонам.
2.Постройте треугольник по заданной вершине C, если известно, что двум данным прямым принадлежат биссектрисы углов A и B.
3.Из точки O пересечения диагоналей параллелограмма опущены перпендикуляры OA; OB и OC на его стороны. Докажите, что ABCD параллелограмм.
40 |
Индивидуальные задания |
|
|
4.На прямой a дана точка A, а на прямой b точка B. Найдите поворот, отображающий прямую a на прямую b так, чтобы при этом точка A отобразилась в точку
B.
5.Постройте окружность, касающуюся двух данных пересекающихся прямых и проходящую через данную точку.
Вариант 7.
1.Между пунктами A и B проходит канал. Где следует выбрать место для моста, чтобы путь от A к B был кратчайшим?
2.Постройте биссектрису угла с помощью двусторонней линейки.
3.Две равные окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. Докажите, что на каждой прямой, проходящей через M окружности высекают равные хорды.
4.На сторонах правильного треугольника вне него построены квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами правильного треугольника.
5.Докажите, что для произвольного треугольника точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой прямой Эйлера.
Вариант 8.
1.Постройте выпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны.
2.Постройте треугольник ABC по заданным вершинам A и B, если биссектриса угла C принадлежит данной прямой.
3.Через точку пересечения двух окружностей провести прямую так, чтобы обе окружности высекали на ней равные хорды.
4.Даны два равных не параллельных отрезка. Найти повороты, отображающие один из них на другой.
5.Построить треугольник ABC, зная отношение сторон a : c, угол B и радиус вписанной окружности.
Вариант 9.
1.Две параллельные прямые пересечены третьей. Постройте правильный треугольник с данной стороной так, чтобы вершины его лежали на этих прямых.
2.На одной стороне угла BAC отложены отрезки AM и AP , соответственно равные
им отрезки AM0 è AP 0 отложены на другой стороне угла. Покажите, что MP = M0P 0 и AK биссектриса угла BAC, где K = MP 0 \ P M0.
3.Дан угол ABC и точка O внутри него. Проведите через O прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в ней пополам.
Индивидуальные задания |
41 |
|
|
4.Постройте квадрат, чтобы одна из его вершин находилась в данной точке A, а
смежные с ней вершины одна на данной окружности, а другая на данной прямой.
5.Постройте треугольник ABC, зная угол B, биссектрису этого угла и отношение отрезков AD и DC, определенных высотой BD.
Вариант 10.
1.Даны две окружности и прямая. Проведите прямую, параллельную данной так, чтобы окружности высекали на ней равные хорды.
2.Даны угол XOY и точка A внутри него. Постройте треугольник наименьшего периметра с вершиной в точке A так, чтобы две другие вершины лежали на сторонах угла XOY .
3.Через точку O проведите прямую так, чтобы отрезок ее между данной прямой и данной окружностью делился в точке O пополам.
4.Треугольник A0B0C0 получен из треугольника ABC поворотом на 900 вокруг неко- торой точки O. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна медиане A0M0 треугольника A0B0C0.
5.Дан угол ABC и точка M внутри него. Найдите на стороне BC точку X, равноотстоящую от AB и от точки M.
Вариант 11.
1.Докажите, что треугольник равнобедренный, если в нем две медианы равны.
2.Постройте ромб с диагональю данной длины так, чтобы эта диагональ лежала на данной прямой, а две другие вершины на двух данных окружностях.
3.Через точку P провести прямую так, чтобы отрезок ее между двумя данными окружностями разделился в ней пополам.
4.Точки O и A не принадлежат прямой a. Найдите поворот вокруг точки O, при котором образ прямой a проходит через точку A.
5.В данный треугольник впишите параллелограмм, имеющий данный угол и данное отношение заключающих его сторон.
Вариант 12.
1.Построить четырехугольник, зная три стороны и углы, прилежащие к четвертой ñòî-ðîíå.
2.Дана ось симметрии и пара A; A0 симметричных точек. Для данной точки B построить образ, пользуясь одной линейкой.
42 |
Индивидуальные задания |
|
|
3.Даны две окружности и точка P . Постройте параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а точка P была точкой пересечения диагоналей.
4.Две прямые пересекаются в точке. На третьей прямой, не содержащей эту точку, найдите такую точку, поворот вокруг которой отображает одну из данных прямых на другую.
5.Построить треугольник, зная угол A, угол C и сумму b + hb.
Вариант 13.
1.Построить четырехугольник по сторонам и углу между одной парой противоположных сторон.
2.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC E точка пересечения биссектрис. Прямые CE и BE пересекают окружность, описанную около треугольника, в точках D и F . Докажите, что EDAF ромб.
3.Постройте квадрат, зная его центр и по одной точке на двух противоположных сто-ронах.
4.На сторонах AB и AC треугольника ABC вне него построены квадраты ABMN и ACP Q. Докажите, что медиана AE треугольника ABC перпендикулярна стороне NQ треугольника ANQ и равна его половине.
5.В данный треугольник впишите квадрат.
Вариант 14.
1.Между двумя параллельными прямыми дана точка. Проведите окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.
2.Построить треугольник, зная сторону, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
3.В данный четырехугольник впишите параллелограмм так, чтобы две данные вершины параллелограмма принадлежали противоположным сторонам четырехугольника.
4.На последовательных отрезках AB и BC прямой AC по одну сторону от нее построены равносторонние треугольники ABE и BCF . Точка M середина отрезка AF , P середина отрезка CE. Доказать, что треугольник BMP равносторонний.
5.Построить треугольник по двум углам и радиусу вписанной окружности.
Вариант 15.
1.Постройте правильный треугольник, две вершины которого лежат на данных параллельных прямых, третья на данной окружности, а длина стороны равна m.
Индивидуальные задания |
43 |
|
|
2.Прямая MN пересекает отрезок AB. Найти на MN точку X такую, чтобы MN была биссектрисой угла AXB.
3.Через данную точку провести прямую, проходящую через недоступную точку пересечения двух данных прямых.
4.Даны два одинаково ориентированных треугольника ABC и AB0C0. Найти вели- чину угла между прямыми BB0 è CC0 и докажите, что BB0 = CC0.
5.В данный сегмент вписать квадрат.
Вариант 16.
1.В данный четырехугольник впишите параллелограмм так, чтобы две данные вершины параллелограмма принадлежали смежным сторонам четырехугольника.
2.Даны прямые m и n, пересекающиеся в точке O, и точка A. Построить треугольник ABC, биссектрисы которого лежат на прямых m; n и OA.
3.Через данную точку M угла ABC провести секущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.
4.Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана, а две другие лежат на двух данных прямых.
5.Постройте треугольник ABC, зная угол A, отношение сторон a : c и высоту hc.
Вариант 17.
1.Докажите, что в трапеции сумма длин оснований меньше суммы длин диагоналей, но больше их разности.
2.Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник, одна высота которого лежит на данной прямой, а две другие вершины на окружностях.
3.Даны три прямые, пересекающиеся в точке и точка B на одной из них. Постройте треугольник с вершиной в точке B так, чтобы его медианы принадлежали этим прямым.
4.На данных пересекающихся прямых найти такие точки, чтобы одна получалась из другой поворотом на 600 вокруг данной точки .
5.Постройте равнобедренный треугольник, зная угол при вершине и сумме основания и высоты.
Вариант 18.
1.На стороне прямоугольника ABCD построен треугольник ABS, CC1 ? AS; C1 2 AS, DD1 ? BS; D1 2 BS. Докажите, что SK и взаимно перпендикулярны, где
K = CC1 \ DD1.
44 |
Индивидуальные задания |
|
|
2.Постройте треугольник , зная угол , сторону c и сумму сторон a + b.
3.Даны две окружности и точка . Постройте параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а O была точкой пересечения диагоналей.
4.Впишите в окружность два равных треугольника, соответствующие стороны которых взаимно перпендикулярны.
5.В данный угол впишите окружность, проходящую через данную точку.
Вариант 19.
1.Докажите, что в трапеции разность длин оснований больше разности длин боковых сторон.
2.На бильярдном столе в двух точках A и B находятся два шара. После ударов шар A, отразившись от n последовательных бортов, попал в шар B. Постройте ломаную, которую при этом описал шар A (n = 1; 2; 3; 4).
3.Через данную точку P проведите прямую так, чтобы отрезок ее между двумя данными окружностями разделился в ней пополам.
4.Даны прямая, окружность и точка A, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы точка B лежала на данной прямой, а точка D на данной окружности.
5.Через точку K касания двух окружностей проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что точки A; B; C; D вершины трапеции.
Вариант 20.
1.Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной из них соответственно равны основаниям и диагоналям другой.
2.Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей, на данной прямой.
3.Две равные окружности касаются внешним образом в точке M. Докажите, что на каждой прямой, проходящей через M, окружности высекают равные хорды.
4.Через данную точку внутри окружности проведите хорду данной длины.
5.Проведите окружность, касательную к двум данным прямым и к данной окружности.
Вариант 21.
1.В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 6 см, CD = 12 см, \BAD = 600, \ABC = 1500, \CDA = 900. Найдите длины сторон BC и AD.
Индивидуальные задания |
45 |
|
|
2.Постройте треугольник, зная основание a, высоту h, опущенную на основание, и разность ' углов при основании.
3.Постройте точки, симметричные относительно данного центра и принадлежащие сторонам данного треугольника и данной окружности.
4.На сторонах AB и BC треугольника ABC вне него построены квадраты ABHM
èBCP Q. Докажите, что медиана BE треугольника ABC перпендикулярна HQ
èравна половине HQ.
5.В данный сектор AOB впишите квадрат так, чтобы две смежные его вершины находились на дуге AB сектора, а две другие - на радиусах OA и OB.
Вариант 22.
1.Известны две диагонали трапеции, угол между ними и меньшее основание. Найдите большее основание и постройте трапецию.
2.На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка P . Докажите, что
AC + CB < AP + P B.
3.Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке M, и точка A на одной из них. Постройте треугольник ABC такой, чтобы его медианы принадлежали данным прямым.
4.Дан угол и точка A внутри него. Постройте равнобедренный прямоугольный тре- угольник с углом \A = 900 и двумя другими вершинами на сторонах этого угла.
5.В данный круговой сегмент впишите квадрат.
Вариант 23.
1.Проведите параллельно данной прямой l секущую к двум данным окружностям так, чтобы сумма высекаемых на ней хорд была равна данному отрезку.
2.Дан угол с недоступной вершиной. Удвойте его.
3.Верно ли утверждение Z0 Z0 = e?
4.Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 1200 треугольник ABC отображается на себя.
5.Постройте треугольник по стороне и отношению длин его трех сторон.
Вариант 24.
1.Даны две окружности и прямая l. Проведите параллельную l прямую так, чтобы окружности высекали на ней равные хорды.
2.Постройте треугольник, зная сторону, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
46 |
Индивидуальные задания |
|
|
3.Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, принадлежат окружности, описанной около этого треугольника, причем эти точки являются вершинами треугольника, равного данному.
4.Точки M и H середины сторон AB и BC квадрата ABCD. Отрезки DH и CM
пересекаются в точке P . Докажите, что отрезок P A равен стороне квадрата.
5. Постройте прямоугольник по диагонали и отношению длин его сторон.
Вариант 25.
1.Между сторонами данного угла поместите отрезок данной длины так, чтобы он отсекал от сторон угла равные отрезки.
2.Постройте треугольник по заданной разности двух его углов и длинам противоположных им сторон.
3.Через точку M, расположенную внутри угла ABC, проведите секущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.
4.Восстановите параллелограмм, зная его центр и четыре точки на каждой из его сторон.
5.Дан угол ABC и точка M. На стороне BC найдите точку X, равноотстоящую от прямой AB и точки M.
Вариант 26.
1.Постройте правильный треугольник со стороной a, две вершины которого лежат на двух данных параллельных прямых, а третья на данной окружности.
2.Дан острый угол ABC и точка M внутри него. Постройте треугольник MP H минимального периметра так, чтобы H 2 AB; P 2 BC.
3.Постройте пятиугольник, зная середины его сторон.
4.На двух смежных сторонах параллелограмма вне этого параллелограмма построены квадраты. Докажите, что их центры одинаково удалены от центра параллелограмма.
5.Постройте треугольник ABC, зная отношения сторон a : b = m : n; b : c = p : q и сумму ma + mb + mc = s.
Вариант 27.
1.Между сторонами данного угла поместите отрезок данной длины так, чтобы он был параллелен данной прямой, пересекающей стороны угла.
2.Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две его вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей вершины, лежала на данной прямой.
Индивидуальные задания |
47 |
|
|
3.Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне.
4.На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABMH и BCP Q вне треугольника. Докажите, что MQ = AC и MQ ? AC.
5.Дан треугольник ABC. Постройте подобный ему треугольник с площадью вдвое большей.
Вариант 28.
1.Сумма длин оснований трапеции равна 21, длины диагоналей 13 и 20. Найдите ее площадь.
2.Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности треугольника.
3.Через точку A пересечения двух окружностей проведите прямую так, чтобы обе окружности высекали на ней равные отрезки.
4.Постройте треугольник по двум углам и сумме противолежащих им сторон.
5.Даны две пересекающиеся прямые a и b и точка , им не принадлежащая. Постройте равносторонний треугольник ABC, две вершины которого принадлежат данной прямой.
48 |
Список литературы |
|
|
Список литературы
1.Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия, ч. 1. М.: Просвещение, 1986.
2.Атанасян С. Л. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для студентов I III курсов физико-математических факультетов педагогических вузов. В 2-х ч./ С. Л.Атанасян, В. И.Гинзбург.- Часть 1.- М.: Эксмо, 2007.
3.Атанасян Л. С. Курс элементарной геометрии. В 2 ч. [Текст]: учебное пособие для студентов педагогических университетов и институтов и для учащихся классов с углубленным изучением математики / Л. С. Атанасян, Н. Денисова, Е. Силаев. - М.: Сантакс-пресс. Ч. 1 : Планиметрия. - 1997. - 303 с. - ISBN 5889700510.
4.Далингер, В. А. Геометрия: планиметрические задачи на построение: учебное пособие для академического бакалавриата / В. А. Далингер. 2-е изд., испр. М.: Издательство Юрайт, 2017. 155 с. (Серия : Бакалавр. Академический курс)
5.Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2004. 86 с.
6.Степанов, Н. А. Геометрия: учебное пособие для студентов педагогических вузов в 2-х книгах / Н. А. Степанов, Т. Б. Жогова. Нижний Новгород: Изд-во НГПУ. Кн.1. 2007. 299 с.
7.Садовничий В. А. Задачи студенческих олимпиад по математике / В. А. Садовничий, А. С. Подколзин, 2-е изд., стер. М.: Дрофа, 2003.
8.Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. М.: МЦНМО, 2004. 312 с.
9.Коксетер, Г. С. Новые встречи с геометрией / Г. С. Коксетер, С. Л. Грейтцер ; под ред. А. П. Савина ; пер. с англ. А.П. Савин, Л.А. Савина. - М. : Наука, 1978. - 224 с. - (Библиотека математического кружка).
Учебное издание
РЕБРОВА Ирина Юрьевна, БАЛАБА Ирина Николаевна, РОДИОНОВ Александр Валерьевич, РАРОВА Елена Михайловна
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ: ДВИЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Публикуется в авторской редакции.
Минимальные системные требования: Intel Celeron 1700 Mhz и выше,
128 Мб RAM, 300 Мб на винчестере, ОС Microsoft Windows 7 и выше; дисковод CD-ROM 2x и выше, SVGA 64 Mb; мышь.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. 300026, Тула, просп. Ленина, 125.
www.tsput.ru. E-mail: info@tsput.ru
Объем данных: 2,9 Мб.
Подписано к использованию: 03.12.2021.
Заказ 21/063. «С» 1919.