Центральная симметрия |
15 |
|
|
56.На плоскости даны две окружности !1 è !2, прич¼м центр окружности !2 ïðè- надлежит !1. Через точку X 2 !1 проведена касательная к !2, во второй раз пересекающая !1 в точке Y . Через точку Y проведена касательная к !2, âî âòî- рой раз пересекающая !1 в точке Z. Через точку Z проведена касательная к !2, во второй раз пересекающая !1 в точке T . Докажите, что XT касательная к
!2.
57.Даны три равных квадрата ABCD, DCEF , F EP Q. Докажите, что
\CAD + \EAF + \P AQ = 2 :
58.Дан треугольник ABC. Окружность с центром в точке A касается стороны BC в точке D. Из точек B и C проведены касательные к этой окружности BP и CQ (P и Q точки касания). P Q\AB = B0. P Q\AC = C0. Докажите, что B0 è C0
основания высот треугольника ABC.
59.Через ортоцентр треугольника проведена прямая. Докажите, что прямые симметричные ей относительно сторон треугольника, пересекаются на описанной окружности.
60.В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.
61.В окружность вписан треугольник ABC. Постройте на окружности такую точку D, чтобы прямая Симпсона этой точки относительно треугольника ABC была па-
раллельна (перпендикулярна) прямой Эйлера этого треугольника. (Прямая Эйлера соединяет центр описанной окружности с ортоцентром треугольника. На прямой Симпсона расположены основания тр¼х перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на стороны треугольника, вписанного в эту окружность).
5.Центральная симметрия
Определение 7. Симметрией относительно точки O называется преобразование плоскости, при котором соответственные точки M è M0 удовлетворяют усло- âèþ: O середина MM0.
Точку O называют центром симметрии. Обозначение: ZO(M) = M0.
Свойства центральной симметрии.
1.Центр симметрии единственная неподвижная точка.
2.Любая прямая, проходящая через центр симметрии, является неподвижной.
3.Åñëè Z(l) = l0, òî l0 k l.
4.В центральной симметрии неизменяемым является направление любой прямой.
5.Центральная симметрия движение I рода.
6.Центральная симметрия инволюционное преобразование.
7.Аналитическое выражение центральной симметрии с центром O
x0 = x; Z0 : y0 = y:
16 Центральная симметрия
Пример 7. O1, O2, O3 середины сторон треугольника ABC. M произвольная точка.
ZO1 (M) = M1; ZO2 (M) = M2; ZO3 (M) = M3:
Доказать, что треугольники M1M2M3 è ABC равны.
Доказательство:
Для доказательства найдем такую точку O, относительно которой треугольники M1M2M3 и ABC будут симметричны.
ZO1 (M) = M1 |
) |
MO1 = |
1 |
MM1 |
; |
2 |
|||||
ZO2 (M) = M1 |
) |
MO2 = |
1 |
MM2 |
; |
|
|||||
2 |
следовательно, O1O2 средняя линия треугольника M1M2M3. По условию O1O2 ñðåä- няя линия треугольника ABC. Значит,
M1M2 = AC; M1M2 k AC;
следовательно, M1M2CA параллелограмм.
Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма
AM2 \ CM1 = O;
тогда
ZO(A) = M2; ZO(C) = M1:
Аналогично, ABM2M3 параллелограмм. Точка O середина AM2, следовательно,
O = AM2 \ BM3 ) ZO(B) = M3:
Получаем, что треугольники M1M2M3 и ABC симметричны относительно точки O и, значит, они равны.
Центральная симметрия |
17 |
|
|
Пример 8. Через точку A пересечения двух окружностей провести прямую так, чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды.
Анализ:
Предположим, что задача решена и прямая l построена.
l \ !1 = M; l \ !2 = N:
Так как AM = AN, то A является центром симметрии, при которой точка M переходит в точку N:
ZA(M) = N:
Точка M лежит на данной окружности !1, следовательно, образ этой точки принадлежит образу окружности:
ZA(!1) = !10 |
) |
|
2 |
1 |
M 2 !1; |
|
N |
|
!0 : |
По условию задачи N 2 !2, значит, N = !10 \ !2. Построение:
1.!10 = ZA(!1).
2.!10 \ !2 = N.
3.ZA(N) = M.
4.MN = l.
Задачи, позволяющие лучше понять свойства центральной симметрии
1.Даны прямые a, b и точка O. Постройте на данных прямых точки X и Y , симметричные относительно данной точки.
2.Точка O середина диагонали AC параллелограмма ABCD. Докажите, что параллелограмм симметричен относительно точки O.
3.На противоположных сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр параллелограмма.
18 |
Центральная симметрия |
|
|
4.Известно, что движение, отличное от тождественного преобразования, оставляет точку A на месте, а прямые, содержащие точку A, отображает на себя. Является ли это движение центральной симметрией?
5.На сторонах данного треугольника и данном отрезке постройте такие точки, которые могут быть получены одна из другой симметрией относительно данной точки.
6.Постройте точки, симметричные относительно данного центра и принадлежащие сторонам данного треугольника и данной окружности.
7.D, E, F середины сторон треугольника ABC. M точка пресечения медиан. K, L, N середины отрезков MA, MB, MC. Докажите, что 4KLN = 4DEF .
8.M точка пересечения медиан треугольника ABC. D, E, F середины отрезков MA, MB, MC. Через точки проведены прямые параллельно сторонам BC, CA, AB треугольника ABC. Докажите, что полученный треугольник равен данному треугольнику.
9.Прямые MN и P Q, проходящие через центр O параллелограмма ABCD, пересекают противоположные стороны параллелограмма в точках M и N, P и Q. Докажите, что MN = P Q.
10.Из точки O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD спущены перпендикуляры OM, ON, OP , OQ на его стороны. Докажите, что MNP Q параллелограмм.
11.На противоположных сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AK и CL, а на сторонах AD и BC равные отрезки BM и DN. Докажите, что четырехугольник KMLN параллелограмм, центр которого совпадает с центром данного параллелограмма.
12.ABCD параллелограмм. A1, B1, C1, D1 точки на продолжениях его сторон такие, что A середина DD1, B середина AA1, C середина BB1, D середина CC1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 параллелограмм.
13.Вершины параллелограмма ABCD соединены с серединами его сторон: A с серединой BC, B с серединой DC, C с серединой DA, D с серединой AB.
Докажите, что образованный пересечением проведенных отрезков четырехугольник параллелограмм.
14.Четырехугольник ABCD параллелограмм. P и Q центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABC и CDA. Докажите, что P BjjQD.
15.На сторонах AB и CD параллелограмма ACD, вне его, построены равносторонние треугольники ABE и CDF , а на сторонах AD и BC, также вне параллелограмма ABCD, квадраты с центрами G и H. Докажите, что четырехугольник EGF H параллелограмм.
Центральная симметрия |
19 |
|
|
16.Две равные окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. Докажите, что на каждой прямой, проходящей через точку M, окружности высекают равные хорды.
17.Докажите, что если прямая l, пересекающая равные окружности !1 è !2, делит пополам отрезок, заключенный между центрами, то !1 è !2 высекают на l равные хорды.
18.!1 è !2 две равные окружности с центрами O1 è O2. M середина отрезка O1O2. Из точки M к окружности !1 проведена касательная l. Докажите, что прямая l касается также и окружности !2.
19.Две равные окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. Две прямые, проходящие через точку M, пересекают эти окружности в точках A, B, C и D. Докажите, что ACjjBD.
20.Пусть A и B, C и D диаметрально противоположные точки двух концентриче- ских окружностей. Докажите, что отрезки AC и BD равны и параллельны.
21.Через точку A пересечения двух окружностей провести прямую так, чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды.
22.O1, O2, O3 середины сторон треугольника ABC, M произвольная точка. ZO1 (M) = M1, ZO2 (M) = M2, ZO3 (M) = M3. Докажите, что 4ABC = 4M1M2M3.
23.Даны угол ABC и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отрезок которой, заключ¼нный между сторонами данного угла, точкой O делится пополам.
24.Через данную точку Q проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точкой пересечения этой прямой с данной прямой l и с данной окружностью !, делился точкой Q пополам.
25.Через данную точку P проведите прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между двумя данными окружностями, делился этой точкой пополам.
26.Даны две окружности и точка P . Постройте параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а точка P являлась пересечением диагоналей.
27.Постройте квадрат, зная его центр и по одной точке на двух противоположных сторонах.
28.В данный четырехугольник впишите параллелограмм так, чтобы две данные вершины параллелограмма принадлежали противоположным сторонам четырехугольника.
29.Через данную точку A проведите прямую, проходящую через лежащую вне чертежа точку пересечения данных прямых a и b.
20 |
Центральная симметрия |
|
|
30.Даны окружность, ее диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y , симметричные относительно (AB), для которых
(Y C)?(XA).
31.Через две противоположные вершины параллелограмма ABCD проведены две
пары взаимно параллельных прямых, которые образуют новый параллелограмм. С полученным параллелограммом вновь производят такое же построение и т.д. Докажите, что все полученные таким образом параллелограммы имеют один и тот же центр симметрии.
32.Отрезок AC с серединой K пересекает отрезок BD в его середине S. Докажите, что середины M и N отрезком AB и CD симметричны относительно середины отрезка SK.
33.Пусть D, E, F середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC. O1 è O2 центры окружностей, вписанных в треугольники ADF и DEF . Докажите, что отрезок O1O2 делит пополам среднюю линию DF треугольника ABC.
34.Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точ- ки пересечения биссектрис треугольников ABO, BCO, CDO, DAO служат вершинами ромба.
35.Треугольники ABC и DEF симметричны относительно некоторой точки O и относительно прямой l. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Задачи повышенной трудности
36.Дан отрезок AB. Для точки X построена точка Y , диаметрально противоположная точке X на окружности ABX, а для точки Y точка Z, являющаяся ортоцентром треугольника ABY . Охарактеризовать отображение Z = f(X).
37.Через точку A пересечения двух окружностей проведите прямую l так, чтобы
разность хорд, высекаемых на этой прямой окружностями, имела данную длину m.
38.Через точку M угла ABC, не принадлежащую его сторонам, проведите секущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.
39.Даны три прямые l1, l2, l3, пересекающиеся в точке M, и точка B на прямой l1. Постройте такой треугольник с вершиной в точке B, чтобы данные прямые были для него медианами.
40.В окружности ! даны две хорды AB, CD и точка Q на хорде CD. Найдите на окружности такую точку M, чтобы прямые AM и BM высекали на хорде CD отрезок KL, делящийся в точке Q пополам.
41.Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, принадлежат окружности, описанной около треугольника, причем эти точки являются вершинами треугольника, равного данному.