Осевая симметрия |
9 |
|
|
4. Осевая симметрия
Определение 6. Симметрией относительно прямой d ние плоскости, при котором соответственные точки M è
âèÿì:
MM0?d; MM0 = M0M0;
ãäå M0 = MM0 Td.
называется преобразова- M0 удовлетворяют усло-
Прямую d называют осью симметрии. Обозначение: Sd(M) = M0.
PPa0 |
|
|
M |
|
||
P |
|
|
|
|||
|
PPPPPPPPP |
|
r |
d |
||
|
|
|||||
a |
PPPPP |
P |
|
|
|
|
|
MrP0 P |
|
||||
Свойства осевой симметрии.
1.Любая точка оси неподвижная. Вне оси симметрии неподвижных точек нет.
2.Ось симметрии неподвижная прямая. Неподвижными также являются прямые, перпендикулярные оси. Т. е. если Sd(l) = l0 è l?d, òî l0 = l. Других неподвижных
прямых нет.
3.Пусть Sd(l) = l0; l0 6= l.Тогда либо l0 k l, ëèáî \(d; l) = \(d; l0). Симметричные прямые образуют равные углы с осью.
4.Осевая симметрия имеет два неизменяемых направления. Направление прямой l
называется неизменяемым, если l0 k l.
В осевой симметрии неизменяемые направления направление оси и направление перпендикуляра к ней.
5.Осевая симметрия движение II рода.
6.Осевая симметрия инволюционное преобразование. Преобразование называется
инволюционным, если его квадрат есть тождественное преобразование. Если Sd(M) = M0, òî Sd(M0) = M ) Sd2(M) = M, òî åñòü Sd2 = E
7.Аналитическое выражение осевой симметрии с осью Ox
x0 = x; S0x : y0 = y:
Пример 5. Постройте образ данной прямой a при осевой симметрии, отображающей данную точку A (A 2 a) на данную точку B.
Анализ:
Òàê êàê Sd(A) = B, то d серединный перпендикуляр к AB. Точка A принадлежит прямой a. При осевой симметрии с осью d
Sd(a) = a0; Sd(A) = B;
следовательно, B 2 a0.
10 Осевая симметрия
Далее, если a пересекает ось симметрии d в точке O, то O неподвижная точка. Так как O 2 a, то O 2 a0. Значит, что a0 прямая BO.
Построение:
1.d серединный перпендикуляр к AB.
2.d \ a = O.
3.BO искомая прямая.
Пример 6. В данном круге проведены две параллельные, но неравные хорды AA0 è BB0. AB \ A0B0 = C. D точка пересечения касательных окружности в точках A è A0. Докажите, что CD ? AA0.
Доказательство:
Проведем через центр окружности O прямую d, перпендикулярную AA0. По условию задачи BB0 k AA0, тогда d ? BB0.
Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит е¼ пополам, то d ось симметрии для AA0; BB0.
Рассмотрим осевую симметрию с осью d.
Sd(A) = A0; Sd(B) = B0; Sd(AB) = A0B0:
Точка пересечения соответственных прямых лежит на оси симметрии, значит, если
AB \ A0B0 = C;
òî C 2 d.
Докажем, что и точка D пересечения касательных, проведенных к окружности в точках A и A0, лежит на прямой d.
Так как A 2 t и OA ? t, то образ точки A лежит на образе прямой t и
|
|
Sd(t) ? OA0: |
|
|
|
||
Тогда получаем, что S |
(t) = t0 |
. Òàê êàê t |
\ |
t0 = D, òî D |
2 |
d. |
|
d |
|
|
|
. |
|
||
Таким образом, CD = d; |
d ? AA0 ) CD ? AA0 |
|
|
|
|||
Осевая симметрия |
11 |
|
|
Задачи, позволяющие лучше понять свойства осевой симметрии
1.Найти на двух прямых a и b две точки, симметричные относительно третьей прямой c.
2.Доказать, что прямая, провед¼нная через середину основания равнобедренной трапеции перпендикулярно ему, делит пополам и второе основание трапеции.
3.Пусть ABCD равнобедренная трапеция с основаниями AB и DC, P и Q
точки пересечения медиан треугольников ABC и ABD. Доказать, что P D = QC.
4.Доказать, что если пятиугольник имеет две оси симметрии, то он правильный.
5.Известно, что движение f 6= E и оставляет точки A и B на месте. Является ли это движение осевой симметрией?
6.Прямая l пересекает отрезок AB. На прямой l найдите точку M такую, что биссектриса угла AMB принадлежала прямой l.
7.Даны прямая MN и две точки A, B по одну сторону от не¼. На прямой MN найдите точку Q такую, что AQ и BQ образуют с MN равные углы.
8.Даны две окружности. Найдите на данной прямой AB точку X такую, что каса-
тельные, провед¼нные из этой точки к данным окружностям, образуют с данной прямой равные углы.
9.Даны прямая l и две точки P , Q по одну сторону от l. Укажите на прямой l такую точку R, что периметр треугольника P QR был наименьшим.
10.Точка P , принадлежащая плоскости треугольника ABC отображается при симметриях относительно CA и CB на B1 è A1. Найдите множество точек P таких, что A1B = AB1.
11.С помощью осевой симметрии постройте постройте разность и сумму сторон AB и BC треугольника ABC.
12.Даны прямая l и две окружности, расположенные в разных полуплоскостях с границей l. Постройте точки, симметричные относительно прямой l и принадлежащие данным окружностям.
13.Даны угол ABC и прямая l, пересекающая стороны угла ABC (B 2= l). Постройте точки, симметричные относительно прямой l и принадлежащие лучам BA и BC.
14.На плоскости даны две пересекающиеся прямые a, b и некоторая прямая m. Постройте прямую d, перпендикулярную m, пересекающую a и b в точках, равноудал¼нных от m.
15.На биссектрисе внешнего угла BCK треугольника ABC взята произвольная точка C1. Докажите, что CA + CB < C1A + C1B.
12 |
Осевая симметрия |
|
|
16.Через вершину C провед¼н перпендикуляр l к биссектрисе CD внутреннего угла треугольника ABC. A1 основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на l. Докажите, что периметр треугольника ABC меньше периметра треугольника
AA1B.
17.Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.
18.Окружность ! пересекает одну из двух концентрических окружностей в точках A и B, а вторую в точках C и D. Докажите, что AC = BD, ABjjCD.
19.Из точки M проведены к окружности касательные MA и MB, на них отложены равные отрезки MK и ML. Докажите, что прямые AL, BK и MO пересекаются
âодной точке (O центр окружности, A и B точки касания).
20.Докажите, что три окружности, центры которых не принадлежат одной прямой, могут иметь не более одной общей точки.
Задачи, в которых свойства осевой симметрии проявляют себя как метод решения
21.Постройте ромб так, чтобы одна из его диагоналей имела данную длину l и лежала на прямой a, а остальные две вершины на прямых b и c.
22.В заданном круге проведены две параллельные, но неравные хорды AA0 è BB0. C = AB \ A0B0. D точка пересечения касательных к окружности, провед¼нных
âточках A и A0. Докажите, что DC?AA0.
23.Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и высотой равнобедренный имеет наибольший периметр.
24.На плоскости даны угол ABC и прямая l. Постройте квадрат так, чтобы две противоположные вершины квадрата принадлежали прямой l, а две другие сторонам угла ABC.
25.Даны прямые l, a и окружность !. Постройте квадрат так, чтобы две его противоположные вершины принадлежали прямой l, а две другие прямой a и окружности !.
26.Даны две окружности и прямая между ними. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины были на окружностях, а одна из высот лежала на данной прямой.
27.Постройте ромб так, чтобы одна его диагональ имела длину l и лежала на данной
прямой, а две другие вершины ромба лежали соответственно на двух данных окружностях.
28.На плоскости даны прямые l, m и окружность !. Постройте ромб ABCD так, чтобы его вершины A и C принадлежали прямой l, B 2 m, D 2 !, \BAD = 60 .
Осевая симметрия |
13 |
|
|
29.На сторонах угла ABC отложены конгруэнтные отрезки BK и BL. В точках K и L восстановлены перпендикуляры KQ и LQ к сторонам угла. Докажите, что прямые KQ и LQ пересекают стороны BL и BK угла в точках E и F , равноудал¼нных от вершин угла.
30.Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции с точкой пересечения продолжений боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.
31.Пусть O точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD, AD и BC е¼ боковые стороны. Докажите, что 4ADO = 4BCO.
32.Обозначим через M точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, а через P и Q центры окружностей, описанных около треугольников ADM и BCM. Докажите, что прямая, соединяющая точку M с точкой N = BP \ AQ, делит основания трапеции пополам.
Задачи повышенной трудности
33.Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
34.Построить четыр¼хугольник ABCD по четыр¼м сторонам, если известно, что его диагональ AC делит угол A пополам.
35.Построить четырехугольник ABCD по четырем его сторонам, если известно, что его диагональ AC делит угол A пополам.
36.Построить треугольник по высоте, разности отрезков, на которые она делит основание, и разности углов, прилежащих к основанию.
37.Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.
38.Даны угол ABC, прямая l и точка O. Пусть X и Y точки пересечения окружности с центром в точке O со сторонами AB и BC угла ABC. Постройте такую окружность с центром O, чтобы XY jjl.
39.Даны прямая MN и две точки A, B, не лежащие на ней. Найдите на данной прямой такую точку Q, что \AQM = 2\BQN.
40.Даны прямая MN и две точки A, B по одну сторону от нее. Найдите на прямой MN такую точку Q, что \AQM = 2\BQM.
41.Даны прямые m и n, пересекающиеся в точке O, и точка A. Постройте треугольник ABC, биссектрисы которого принадлежат прямым m, n и AO.
42.Даны две прямые m, n, пересекающиеся в точке O, и точка P . Постройте такой треугольник ABC, сторона AB которого проходит через точку P , а прямые m, n и OP перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах.
14 |
Осевая симметрия |
|
|
43. Даны угол ABC и внутри него точка P . Постройте треугольник наименьшего периметра, одна вершина которого совпадает с точкой P , а две другие принадлежат сторонам данного угла.
44. Даны угол MON и две точки A и B. Найдите такие точки C и D на прямых OM и ON соответственно, чтобы ломанная ACDK имела наименьшую длину.
45. Точки A, B, C принадлежат внутренней области полосы с краями l1 è l2. Ïî- стройте замкнутую ломаную AKBCLA наименьшей длины (K 2 l1; L 2 l2).
46. Даны угол AOB и внутри него точки M, K. Соедините эти точки ломаной наименьшей длины так, чтобы две ее вершины лежали на сторонах угла AOB.
47. На биллиардном столе в двух точках A и B находились два шара. После удара в шар A, он, отразившись от n последовательных бортов, попал в шар B. Постройте ломаную, которую при этом описал шар A (n = 1; 2; 3; 4).
48. В круге диаметра d проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD. Докажите, что AC2 + BD2 = d2.
49. Лучи, содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках D и E. Докажите, что точка, симметричная D относительно BC, совпадает с точкой, симметричной E относительно
AC.
50. Постройте треугольник ABC по трем точкам H1, H2, H3, которые являются сим- метричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.
51. Постройте три окружности, симметричные описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Докажите, что эти три окружности пересекаются
в одной точке.
52. Пусть D точка пересечения высот треугольника ABC. Окружности, описанные около треугольников ABC, ABD, ACD и BCD обозначим через !, !1, !2 è !3, а их центры через O, O1, O2 è O3 соответственно. Докажите, что: а) радиусы окружностей !, !1, !2 è !3 равны; б) отрезки OD, O1C, O2B è O3A пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
53. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) с углом при вершине B в 30 . p
На стороне BC построена точка D так, что AC : BD = 2. Найдите величину угла DAC.
54.Дан квадрат, длина стороны которого равна 1. На каждой стороне взято по точ- ке, каждая из которых является вершиной четырехугольника. Найдите четырехугольник наименьшего периметра. Вычислить его периметр.
55.На периметре прямоугольника выбрана точка M. Найдите кратчайший путь, на- чинающийся и заканчивающийся в точке M и имеющий общую точку с каждой из сторон прямоугольника.