Параллельный перенос

Точка пересечения AN \ BK = H является ортоцентром треугольника ABE. Проведем через точку D прямую a перпендикулярно BE. Через точку C проведем

прямую b перпендикулярно AE.

Òàê êàê a \ b = M è AN \ BK = H, òî

H = Tp~(M) ) MH k BC:

Но BC ? AB, следовательно, MH ? AB, что и требовалось доказать.

Задачи

1.Даны две точки A и B по разные стороны от прямой d. Отложить на прямой d отрезок данной длины a так, чтобы длина ломанной AMNB была наименьшей.

2.Даны прямая d и точки A и B по одну сторону от не¼. Найдите на прямой такие точки C и D, чтобы CD = a и AC = BD.

3.Даны две параллельные прямые l и m, вектор ~a, точки A и B, лежащие по разные

стороны от полосы с краями l и m. На этих прямых найдите такие точки C и D,

чтобы ~

CD = ~a и ломанная ABCD имела наименьшую длину.

4.Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок е¼, заключ¼нный между двумя данными параллельными прямыми, был равен данному отрезку.

5.Между двумя параллельными прямыми дана точка. Проведите окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

6.Постройте треугольник, равный данному так, чтобы основание его принадлежало данной прямой m, a вершина данной пряной l.

7.Даны две параллельные прямые a и b. Прямая c им непараллельна. Построй-

те равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали данным прямым, a длина стороны была равна m.

8.Постройте равносторонний треугольник, две вершины котоpoго лежат на двух

данных параллельных прямых, третья на данной окружности ' a длина стороны равна m.

9.Ha сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты (один вне параллелограмма, a другой по ту же сторону от прямой CD, что и сам параллелограмм). Докажите, что расстояние между центрами квадратов равно BC.

10.Стороны треугольника ABC параллельны равным сторонам треугольника DBF . Докажите, что треугольник DBF можно получить из треугольника ABC либо параллельным переносом, либо центральной симметрией.

11.Докажите, что если !0 = ~a(!), то окружность !0 может быть получена из окруж- ности ! симметрией относительно некоторой прямой, а также симметрией относительно некоторой точки.

12.Пусть ! и !0 две равные окружности, OA и O1A1 параллельные радиусы этих окружностей. Докажите что отрезок O1A1 можно получить из отрезка OA параллельным переносом нa вектор OO1 или симметрией относительно середины отрезка OO1.

13.l è l1 две параллельные касательные к двум равным окружностям с центрами O и O1. M è M1 точки касания. Докажите, что либо MM1jjOO1, ëèáî MM1\OO1

середина отрезка OO1.

14.На равных и параллельных хордах AB и CD двух равных окружностей c центрами O и O1 построены равносторонние треугольники ABM и CDN. Точки M

и O расположены по разные стороны от прямой AB' a точки N è O1 по разные стороны от прямой CD. Докажите, что MOjjNO1.

15.На равных и параллельных хордах AB и CD окружности c центрами O построены треугольники ABM и CDN. При этом \ABM = \CDN, \BAM = \DCN. Докажите, что или MN?AB, или O 2 MN.

16.Докажите, что из всех трапеций с данными основаниями и высотой наименьший периметр имеет равнобедренная.

17.В данный четыр¼хугольник впишите параллелограмм так, чтобы две данные вершины параллелограмма принадлежали смежным сторонам четыр¼хугольника.

18.Между сторонами данного угла поместить отрезок, равный данному отрезку так, чтобы он был параллелен данной прямой, пересекающей обе стороны данного угла.

19.Между сторонами данного угла поместить отрезок, равный данному отрезку так, чтобы он отсекал от сторон угла равные отрезки.

20.Даны окружность ! и прямая l. Поместить отрезок AB данной длины так, чтобы он был параллелен данной прямой MN и чтобы его концы принадлежали прямой l и окружности !.

21.Даны две окружности и отрезок MN. Постройте отрезок равный и параллельный отрезку MN так, чтобы его концы принадлежали данным окружностям.

22.Даны треугольник и луч. Постройте отрезок данной длины так, чтобы он был параллелен некоторой прямой и чтобы концы его принадлежали лучу и стороне треугольника.

23.Постройте параллелограмм, основанием которого служит данный отрезок, а две другие его вершины лежат на двух данных окружностях.

24.Даны две параллельные прямые a, b и две точки A, B. Через точки A и B про- ведите соответственно прямые a1 è b1 так, чтобы они были параллельны и чтобы диагональ параллелограмма, определяемого прямыми a, b, a1, b1, имела заданное значение.

25.Даны две пары точек A; B и C; D. Проведите через эти точки параллельные прямые a; b; c; d так, чтобы полосы (a; b) и (c; d) имели одинаковую ширину.

26.Пусть ABC и A0B0C0 два треугольника, получаемые один из другого параллельным переносом. M = AB0 \ BA0, N = AC0 \ CA0, P = BC0 \ CB0. Докажите, что 4MNP = 4DEF , образованному средними линиями треугольника ABC.

27.На стороне AB прямоугольника ABCD построен треугольник ABE. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, провед¼нных из точки D на BE и из точки C на AE, принадлежит перпендикуляру, провед¼нному из точи E на AB.

28.На стороне AC треугольника ABC построен прямоугольник ACDE, а на сторонах AB и BC параллелограммы AF LB и BLKC, прич¼м AF ?AC и AF = AE. Докажите, что SACDE = SAF LB + SBLKC.

è CDE. Q1; Q2; Q3 центры окружностей, вписанных в те же треугольники. Докажите, что 4O1O2O3 = 4Q1Q2Q3.

30.Даны две равные окружности !1 è !2, пересекающиеся в точках K и L. Прямая параллельная линии центров этих окружностей, пересекает !1 в точках A и B, а !2 в точках C и D. Докажите, что величина угла AKC не зависит от выбора провед¼нной прямой.

31.Построить трапецию ABCD, если известны длины е¼ оснований BC и AD и величины углов CAD и BDA.

32.Построить трапецию, если известны длины е¼ диагоналей и оснований.

33.Построить трапецию по стороне, диагоналям и углу между диагоналями.

34.Построить треугольник по тр¼м его медианам.

35.Построить четыр¼хугольник по тр¼м сторонам и двум углам, прилежащим к неизвестной стороне.

36.Построить четыр¼хугольник, зная длины его сторон и величину угла между противоположными сторонами.

37.Построить четыр¼хугольник по диагоналям, углу между ними и двум смежным его сторонам.

38.Даны круг и угол. Проведите прямую, перпендикулярную биссектрисе угла так, чтобы отрезки, полученные в результате пересечения этой прямой соответственно с кругом и углом, были равны.

39.Два неравных равнобедренных треугольника расположены так, что их основания принадлежат одной прямой l. Постройте прямую l1, параллельную l, так, чтобы отрезки, заключ¼нные между сторонами треугольников были равны.

40.Даны две окружности и прямая l. Проведите прямую l1, параллельную прямой l, так, чтобы окружности высекали равные хорды.

41.Проведите параллельно данной прямой l секущую к двум данным окружностям так, чтобы сумма образованных ею хорд была равна данному отрезку.

42.Даны прямая l и окружность. На окружности взяты точки A и B. Найдите на этой окружности такую точку M, чтобы отрезок P Q был равен данному отрезку, если P = BM \ l, Q = AM \ l.

43.В каком месте следует построить мост MN через реку, чтобы путь AMNB из деревни A в расположенную по другую сторону реки деревню B был кратчайшим?

44.Между пунктами A и B расположены два канала. Где выбрать места для мостов через эти каналы, чтобы путь из A в B через эти каналы был кратчайшим? (Берега каждого канала параллельны, мосты перпендикулярны берегам).

45.Средняя линия четыр¼хугольника ABCD, соединяющая середины сторон AD и BC, равна полусумме сторон AB и CD. Докажите, что четыр¼хугольник ABCD трапеция.