26 Поворот
7. Поворот
Определение 9. Поворотом вокруг точки O на угол называется преобразование плоскости, при котором соответственные точки M è M0 удовлетворяют условиям:
|
OM = OM0; \MOM0 = : |
|
|
|
r |
|
|
M0 |
|
|
|
O |
|
rM |
|
|
|
Обозначение: RO(M) = M0. Точка O центр поворота. Если угол поворота = 0o, òî RO = E.
Åñëè = 180o, òî RO = ZO, т.е. центральная симметрия частный случай поворота.
Свойства поворота ( 6= 180o).
1.Центр поворота единственная неподвижная точка.
2.Неподвижных прямых нет.
3.Åñëè RO(l) = l0, òî \(l; l0) = .
4.Неизменяемых направлений нет.
5.Поворот движение I рода.
6.Аналитическое задание поворота вокруг начала координат на угол :
R |
: |
x0 |
= x cos y sin ; |
O |
|
y0 |
= x sin + y cos : |
Пример 10. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат ABMN с центром O. Докажите, что CO биссектриса \ACB.
Доказательство:
Рассмотрим поворот вокруг центра квадрата O на угол 90o. Так как диагонали квад- рата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то RO90o (B) = A:
C
A
A
|
|
|
AA |
|
A |
@ |
|
|
B |
|
|
|
|
|
@
@O@
@
@
N |
@ M |
Найдем образ прямой BC.
Поворот |
27 |
|
|
Точка B лежит на прямой BC, значит, ее образ лежит на образе прямой, т. е.
A 2 (BC)0:
Треугольник ABC прямоугольный, значит, AC ? BC. Образ прямой BC проходит через точку A и образует с прямой BC угол, равный углу поворота, т. е. 90o. Следовательно, AC = (BC)0. Получаем
RO90o (BC) = AC ) (O; BC) = (O; AC) ) OC биссектриса:
Задачи
1.На данных пересекающихся прямых a и b найдите такие точки, что одна может быть получена из другой поворотом вокруг данной точки P на угол 60 (P 6= a\b).
2.Даны два одинаково ориентированных треугольника ABC и AB1C1. Найдите ве- личину угла между прямыми BB1 è CC1. Докажите, что BB1 = CC1.
3.Даны два равных отрезка AB и A1B1. M1 центр поворота, отображающего точку A на точку A1 и точку B на B1, à M2 центр поворота, отображающего точку A на точку B1 и точку B на A1. Докажите, что прямая MM1 делит пополам отрезок, соединяющий середины S и S1 данных отрезков.
4.Две прямые пересекаются в точке. На третьей прямой, не содержащей эту точку, найдите такую точку, поворот вокруг которой отображает одну из данных прямых в другую.
5.Точки O и A не принадлежат прямой A. Найдите поворот вокруг точки O, при котором образом прямой a является прямая, содержащая точку A.
6.Треугольник A0B0C0 получен из треугольника ABC поворотом на 90 вокруг неко- торой точки O. Докажите, что медиана A0M0 треугольника A0B0C0 перпендику- лярна медиане AM треугольника ABC.
7.На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABMN и BCP Q, прич¼м квадрат ABMN и треугольник ABC расположены по разные стороны от AB, а квадрат BCP Q и треугольник ABC по одну сторону от BC. Докажите, что MQ = AC, MQ?AC.
8.На сторонах AB и AC треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABM и ACN, прич¼м треугольник ABM расположен вне треугольника ABC, а треугольник ACN с той же стороны от AC, что и треугольник ABC. Докажите, что MN = BC.
9.AB и CD две хорды концентрических окружностей с центром в точке O такие, что \AOB = \COD. Докажите, что MN = BC.
10.На продолжении сторон AB, BC, CD и DA квадрата ABCD соответственно за точки B, C, D и A отложены отрезки, равные стороне квадрата. Докажите, что концы этих отрезков образуют квадрат.
28 |
Поворот |
|
|
11.ABCD ромб, у которого \BDA = 60 . На сторонах AB и BC ромба отмечены точки M и N так, что AM = BN. Докажите, что треугольник MDN равносторонний.
12.На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC с центром O отложены отрезки AD и AE так, что AD + AE = AB. Докажите, что OD = OE, \DOE = 120 .
13.AB и DK два перпендикулярных диаметра окружности. На дуге AD отмечена точка M. Прямая, перпендикулярная прямой MO (O центр окружности) и содержащая точку O, пересекает дугу DB в точке P . Докажите, что 4AMD =
4DP B.
14.Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка P , другая принадлежала данной прямой a, третья прямой b.
15.Даны две перпендикулярные прямые и точка, не принадлежащая им. Постройте равносторонний треугольник с вершиной в данной точке и с двумя другими вершинами на данных прямых.
16.Постройте равносторонний треугольник, имеющий одной своей вершиной данную точку A, а две другие вершины на данных параллельных прямых.
17.Даны две параллельные прямые a, b и точка A, не принадлежащая им. Постройте равнобедренный треугольник с данным углом , вершина которого находилась в данной точке A, а вершины основания лежали на прямых a и b.
18.Даны три параллельные прямые a, b и c. Постройте равносторонний треугольник ABC, вершины которого лежат на данных прямых.
19.Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на тр¼х параллельных прямых, а центр на четв¼ртой прямой, не параллельной тр¼м данным.
20.В данный квадрат впишите равносторонний треугольник.
21.Постройте квадрат так, чтобы три его вершины лежали на тр¼х данных параллельных прямых.
22.Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали тр¼м данным пересекающимся прямым.
23.Из данной точки P , как из центра, описать дугу окружности так, чтобы концы е¼
лежали на двух данных окружностях, а градусная мера е¼ была равна градусной мере данного угла.
24.Даны две прямые, точка O и угол . Провести такую окружность с центром O, чтобы одна из дуг этой окружности, концы которой принадлежат данным прямым, по угловой мере была равна .
25.Даны две окружности и точка M. Постройте равносторонний треугольник MNP , вершины которого N и P принадлежат данным окружностям.
Поворот |
29 |
|
|
26.Даны три концентрических окружности. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим окружностям.
27.Даны окружность, квадрат и точка P . Постройте равнобедренный треугольник P AB (P A = P B), вершины A и B которого принадлежат окружности и стороне квадрата, а AP B = 45 .
28.Даны угол и внутри него точка A. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого совпадает с точкой A, а две другие вершины принадлежат сторонам угла.
29.Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
30.Постройте квадрат ABCD по его центру O и двум точкам M и N, принадлежащим прямым BC и CD.
31.Постройте квадрат ABCD по вершине A и двум точкам M и N, принадлежащим прямым BC и CD.
32.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат ABMN с центром O. Докажите, что CO биссектриса угла ACB.
33.Даны две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Через точку пересечения окружностей проведена прямая, пересекающая окружности вторично в точках M и N. Найдите величину угла между касательными, провед¼нными к окружностям в точках M и N.
34.ABCD квадрат, l и l1 две перпендикулярные прямые. Прямая l пересекает AB и CD в точках M и N, прямая l1 пересекает AD и BC в точках P и Q. Докажите, что MN = P Q.
35.На последовательных отрезках AB и BC прямой AC по одну сторону от нее построены равносторонние треугольники ABE и BCF . M середина AF , N середина CE. Докажите, что треугольник BCN равносторонний.
36.Через центр правильного треугольника ABC проведены две пряные MN и P Q, образующие между собой угол 60 . Пусть M, N и P , Q точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника. Докажите, что MN = P Q.
37.Через центр правильного шестиугольника проведены две прямые, образующие между собой угол 60 . Пусть MN и P Q отрезки, высекаемые сторонами шестиугольника на этих пряных. Докажите, что MN = P Q.
38.Середины K, L, M, N сторон BC, CD, DA, AB квадрата ABCD соединены с его вершинами. Докажите, что четырехугольник, образованный прямыми AK, BL, CM, DN, является квадратом.
39.На сторонах правильного треугольника, вне его, построены квадраты. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
30 |
Поворот |
|
|
40.На сторонах квадрата, вне его, построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют квадрат.
41.Стороны AB, BC, CA правильного треугольника ABC разделены соответственно точками K, L и M в отношении = 2 Докажите, что треугольник KLM и треугольник DEF , стороны которого принадлежат прямым AL, BM и CK равносторонние.
Задачи повышенной трудности
42.На окружности ! с центром O найдите такие две точки C и D, что \COD = , ACjjBD, где A и B две данные точки, величина данного угла.
43.На сторонах AB и AC треугольника ABC, вне его, построены квадраты ABMN и ACP Q. Докажите, что медиана AE треугольника ABC перпендикулярна стороне NQ треугольника ANQ и равна ее половине.
44.На продолжении катетов AC и AB прямоугольного треугольника ABC отложены отрезки AD и AE, равные соответственно катетам AB и AC. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна отрезку ED.
45.На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны точки D и E так, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и C на AE пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что
KL = LB.
46.Точки M и N середины сторон AB и BC квадрата ABCD. Отрезки DN и CM пересекаются в точке P . Докажите, что отрезок P A равен стороне квадрата.
47.На стороне CD квадрата ABCD построена точка E. Биссектриса угла BAE пересекает сторону BC в точке F . Докажите, что AE = ED + BF .
48.На плоскости дан отрезок AB и точка M, ему принадлежащая. На отрезках AM и MB, как на сторонах, построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от прямой AB. Окружности, описанные около квадратов, пересекаются, кроме M, еще в точке N. Докажите, что AF \ BC = N.
49.На сторона BC квадрата ABCD отложен отрезок BK длиной a3 , а на продолжении стороны DC отрезок CL длиной a2 . Докажите, Что M = AK \ BL лежит на окружности, описанной вокруг квадрата ABCD (a длина стороны квадрата).
50.На сторонах AB и BC треугольника ABC, вне его, построены квадраты. Дока-
жите, что треугольник, вершинами которого являются центры построеных квадратов и середина отрезка AC, прямоугольный и равнобедренный.
51.На сторонах параллелограмма, вне его, построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Поворот |
31 |
|
|
52.На сторонах произвольного треугольника ABC, вне его, построены квадраты
ABKL, BCMN и CAP Q, центры которых O1, O2 è O3. Докажите, что AO2 =
O1O3 è AO2?O1O3.
53.Постройте треугольник ABC, зная три точки, являющиеся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника, вне его.
54.Даны равносторонний треугольник ABC и произвольная точка M. Докажите, что длина любого из трех отрезков MA, MB и MC не больше суммы длин других отрезков. В каком случае длина отрезка равна сумме длин двух других отрезков?
55.На сторонах произвольного треугольника ABC, вне его, построены равносторонние треугольники ABC1, BCA1, CAB1. Докажите, что: а) отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке M. б) MA1 = MB + MC; MB1 = MA + MC;
MC1 = MA + MB.
56.Укажите внутри треугольника ABC такую точку M, чтобы сумма расстояний, от нее до вершин треугольника была наименьшей.
57.Даны четыре точки K, L, M и N. Постройте квадрат, стороны которого или их продолжения проходят через эти четыре точки.
58.Даны четыре точки K, L, M и N, расположенные на одной прямой. Постройте
квадрат, у которого продолжения двух противоположных сторон пересекают эту прямую в точках K и L, а продолжения двух других сторон в точках M и N.
59.Построить квадрат, если даны его вершина и две точки, лежащие на сторонах, не проходящие через эту вершину, или на их продолжениях.
60.Даны две точки A, B и положительно направленный угол . Докажите, что существует единственный поворот на угол , переводящий точку A в точку B.
61.Даны два равных отрезка AB и CD. Серединные перпендикуляры отрезков AC и AD имеют только одну общую точку. Докажите, что существует единственный поворот, отображающий точку A на C, а точку B на D.
62.Даны две равные окружности и на каждой из них по точке A и B. Постройте
центр поворота, отображающего одну окружность на другую, чтобы при этом точка A перешла в точку B.