1. Отображение и преобразование множеств

Пусть X и Y непустые множества. Допустим, что каждому элементу x 2 X поставлен в соответствие определенный элемент y 2 Y . Тогда говорят, что дано отображение множества X в множество Y , пишут:

f : X ! Y èëè X !f Y:

Элемент y = f(x) называется образом элемента x 2 X, x прообразом элемента y 2 Y .

Рассмотрим примеры отображений.

Пример 1. Пусть ! окружность, AB е¼ диаметр. Каждой точке M 2 ! ставим в соответствие ее проекцию на прямую AB: M0 = ïðABM.

'M$

0q p

&%M0

Получим отображение: f1 : ! ! (AB).

Пример 2. Пусть X = [AC] [ [BC]; Y = (AB). Каждой точке M 2 X ставим в соответствие ее проекцию на прямую AB: M0 = ïðABM.

C

A

A

Получим отображение f2 : X ! Y .

Пример 3. Пусть X плоскость , Y прямая a. Каждой точке M 2 X ставим в соответствие ее проекцию на прямую a: M0 = ïðaM.

Получим отображение f3 : X ! Y èëè f3 : ! a.

Пример 4. Пусть X окружность !1 с центром O и радиусом R1, Y окружность !2 с центром O и радиусом R2.

X = !1(O; R1); Y = !2(O; R2):

Каждой точке M 2 X ставим в соответствие точку пересечения луча OM с окружностью !2: M0 = OM \ !2.

Получим отображение f4 : X ! Y èëè f4 : !1 ! !2.

Определение 1. Если для любых различных x1; x2 2 X имеем f(x1) 6= f(x2), òî f называется инъективным отображением.

Определение 2. Åñëè f(X) = Y , т. е. каждая точка множества Y является образом по крайней мере одной точки множества X, то отображение f называется сюрьективным.

Определение 3. Если отображение f является одновременно инъективным и

сюрьективным, то оно называется взаимно однозначным или биективным отображением.

В приведенных примерах отображение f1 не является ни инъекцией, ни сюрьекцией. Отображение f2 является инъективням, f3 сюрьективным, f4 биективным.

Для любого биективного отображения f : X ! Y можно построить обратное биективное отображение f 1 : Y ! X, причем, если y = f(x), то x = f 1(y).

Если в отображении f : X ! Y множество Y = f(X) = X, то говорят, что дано отображение множества X на себя.

Определение 4. Преобразованием непустого множества X называется любое биективное отображение множества X íà ñåáÿ.

2. Движения плоскости и их свойства

Определение 5. Движением плоскости называется такое ее преобразование, которое сохраняет расстояния между любыми двумя точками.

Если f движение, M, N любые две точки плоскости и f(M) = M0; f(N) = N0;

òî M0N0 = MN.

Основные свойства движений.

1.Движение сохраняет отношение "лежать между".

2.Движение сохраняет коллинеарность точек.

Из свойств 1 и 2 можно показать, что образом отрезка, луча и прямой при движении является отрезок, луч и прямая соответственно.

3.Движение сохраняет простое отношение трех точек.

4.Движение сохраняет параллельность прямых.

5.Величина угла инвариант движения.

Движение плоскости можно задать тремя парами соответственных точек.

Теорема 1. Пусть A; B; C три произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой. A0; B0; C0 три точки такие, что

A0B0 = AB; A0C0 = AC; B0C0 = BC:

Тогда существует единственное движение, которое переводит точки A; B; C соответственно в точки A0; B0; C0.

Треугольник называется ориентированным, если указан порядок его вершин. 4ABC считается положительно ориентированным, если обход вершин осуществляется

против часовой стрелки.

Треугольники 4ABC и 4A0B0C0, задающие некоторое движение, могут быть ори-

ентированы одинаково или противоположно. В зависимости от этого различают дви- жение I рода, если 4ABC и 4A0B0C0 ориентированы одинаково, и движение II рода в

противном случае.

Теорема 2. Пусть A; B è A0; B0 две пары точек, для которых A0B0 = AB. Тогда существуют два движения f è ', которые переводят A â A0 è B â B0. Ïðè ýòîì ïî- луплоскость с границей (AB) движения f è ' отображают в разные полуплоскости с границей (A0B0).

Следствие 1. Если указан род движения, то для его задания достаточно двух пар соответственных точек.

3. Аналитическое задание движения

Докажем следующую основную теорему:

Теорема 3. Пусть R = fA; B; Cg è R0 = fA0; B0; C0g произвольные ортонормированные реперы плоскости . Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R0. При этом движении любая точка M с данными координатами в R переходит в M0 с теми же координатами в R0.

Доказательство:

1. Существование.

Построим отображение g : ! , при котором 8M(x; y)R ! M0(x; y)R0 . Тогда

A(0; 0)R ! A0(0; 0)R0 ;

B(0; 1)R ! B0(0; 1)R0 ;

C(1; 0)R ! C0(1; 0)R0 :

Построенное таким образом отображение является взаимно однозначным, то есть gпреобразование плоскости . Докажем, что g движение.

Пусть M1(x1; y1)R, M2(x2; y2)R, тогда

p

M1M2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2:

Òàê êàê M10(x1; y1)R0 , M20(x2; y2)R0 , òî

M10M20 = p(x2 x1)2 + (y2 y1)2:

Следовательно, M10M20 = M1M2, значит, g движение.

2. Единственность.

Допустим, что существует другое движение f, такое что f(R) = R0, (f 6= g). Тогда найдется такая точка M, что f(M) = M1, íî g(M) = M2.

Так как f движение и

f(A) = A0; f(B) = B0; f(C) = C0;

òî

AM = A0M1; BM = B0M1; CM = C0M1:

Так как g движение и

g(A) = A0; g(B) = B0; g(C) = C0;

òî

AM = A0M2; BM = B0M2; CM = C0M2:

В силу транзитивности получаем

A0M1 = A0M2; B0M1 = B0M2; C0M1 = C0M2:

Значит, точки A0; B0; C0 принадлежат серединному перпендикуляру к отрезку M1M2, ò. å. A0; B0; C0 коллинеарны, но A0; B0; C0 являются вершинами репера R0. Получили

противоречие. Значит, g единственное движение. Теорема доказана.

Перейдем теперь к аналитическому задания движения плоскости.

Пусть g данное движение. Возьмем на плоскости ортонормированный репер

R = fO; E1; E2g:

Пусть точка M(x; y)R движением g переводится в точку M0 с координатами (x0; y0) в репере R. Выразим x0; y0 через x; y, то есть найдем аналитическое задание движения

g в репере R.

Рассмотрим R0 = fO0; E10 ; E20 g образ репера R. Так как g дано, то репер R0 задан, то есть даны координаты O0(x0; y0)R, и известен направленный угол = \(OE1; O0E10 ).

По основной теореме точка M0 имеет координаты (x; y) репере R0. Значит, задача сводится к задаче преобразования прямоугольной системы координат:

M0(x0; y0)R; M0(x; y)R0 :

Возможны два случая.

1. Если g движение I рода, т. е. R; R0 одинаково ориентированы.

E20

! !

Складывая векторы OO0 è O0M0 и приравнивая координаты суммы и координаты вектора !OM0, получим формулы для аналитического задания движения первого рода:

Заметим, что определитель основной матрицы полученной системы равен 1:

cos sin

2. Если g движение II рода, т. е. R; R0 противоположно ориентированы. Тогда формулы приобретают вид: