Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Взаимодействие подземных трубопроводов с мерзлыми грунтами. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.Через какой коэффициент внутреннее давление преобразуется в продольные напряжения?

2.При каком изменении температуры (положительном или отрицательном) возникают продольные сжимающие усилия?

3.Что характеризует коэффициент линейного температурного расширения металла?

3.6. Дифференциальноеуравнениекручения

Трубопровод в местах поворотов трассы испытывает напряжения кручения, которые описываются уравнением:

		I pG d 2	mx 0.	(3.30)
		dx2
где	–	угол закручивания, рад;	– распределенный крутящий момент,
(Н∙м)/м;		– полярныймоментинерции, м4; – модульсдвига, Па.

Крутящиймоментвпоперечномсеченииопределяетсяпоформуле:

	I pG	d	(3.31)
M x	I pG	.	(3.31)
		dx

Формула (3.31) будет использована в следующем параграфе для расчета касательныхнапряженийприкручении.

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.Вкакихединицахизмеряетсямодульсдвига? Чтоонхарактеризует?

2.Чтохарактеризуетполярныймоментинерции?

3.7.Методикарешениясистемдифференциальныхуравнений

Приведем еще раз все дифференциальные уравнения, которые исполь- зуютсядляописаниянапряженно-деформированногосостояниятрубопровода:

2		2				2
d	d W2		EI y		Qx	d W2 qz ,
2	d W2		EI y		Qx	d W2 qz ,
dx		dx				dx
2		2				2
d	d V2		EIz Qx			d V2	qy ,
2	d V2		EIz Qx			d V2	qy ,
dx		dx				dx	(3.32)
SE d 2U q				,
	dx2		x

I pG d 2 2 mx 0. dx

Изложение материала было бы не полным без описания методики решения данной системы дифференциальных уравнений.

Одним из самых простых способ мы считаем применение метода конечных разностей. В этом случае система дифференциальных уравнений заменяется ее разностным аналогом, который аппроксимирует решение с заданной точностью. Расчетная область дискретизируется сеткой с шагом m, а точность решения как раз и определяется этим параметром. Чем меньше шаг сетки, тем выше точность решения и тем больше необходимо компьютерных мощностей для получения решения.

Полная запись дифференциальных уравнений в разностной форме весьма громоздка, поэтому мы распишем каждое слагаемое по-отдельности:

d 4W dx4 d 2W dx2

	Wi 2 4Wi 1 6Wi 4Wi 1 Wi 2			;		dW	Wi 1 Wi 1
	m4					dx	2m			(3.33)
Wi 1 2Wi Wi 1 ;										(3.33)
Wi 1 2Wi Wi 1 ;		q	W			W			;
	m2	z	z		z		z i	z

d 4V dx4 d 2V dx2

Vi 2 4Vi 1 6V4i 4Vi 1 Vi 2 ; m

Vi 1 2Vi Vi 1	;	q		V
m2			y	y

dV	Vi 1 Vi 1	;
dx	2m	(3.34)
		(3.34)

y yVi y ;

d 2U

Ui 1 2Ui

Ui 1 ;

Ui 1 Ui 1

;

(3.35)

dx2

qx xU x xUi x ;

D 2 т

Tкон

Tнач

i 1

.(3.36)

Для каждого узла сетки составляется система уравнений на основании разложений (3.34)-(3.36). Затем уравнения для каждой точки объединяются в единую систему алгебраических уравнений.

Решение системы алгебраических уравнений требует введения дополнительных (мнимых) узлов сетки, которые не принадлежат трубопроводу, но находятся на одной прямой с ним. Для первых двух уравнения в (3.32) необходимо ввести по два мнимых узла с каждой стороны трубы, а для остальных двух уравнений по одному. Эти узлы позволяют удовлетворять граничным условиям.

Как видно, система уравнений (3.32) является нелинейной. Это связано с наличием слагаемого Qx. Чтобы решить такую систему уравнений необходимо прибегнуть к методу последовательных приближений. Для этого значение Qx на каждой итерации считается известным. Выполняется решение системы ли-

нейных алгебраических уравнений методом Крамера или Гаусса, а затем значение силы Qx на каждой итерации сравнивается со значением из предыдущей итерации. Если значения сильно различаются, то берется новое значение Qx из текущей итерации и система уравнений решается заново. Так до тех пор, пока Qx неперестанетизменятьсянавеличинуменьшезаданнойпогрешности.

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.Вчемсутьметодаконечныхразностей?

2.Какповыситьточностьрасчетаприметодеконечныхразностей?

3.С чем связана нелинейность системы дифференциальных уравнений напряженно-деформированногосостояниятрубопроводов?

4.Как обойти нелинейность системы дифференциальных уравнений напряженно-деформированного состояния трубопроводов?

5.Каким методом можно решать систему линейных алгебраических уравнений?

3.8. Расчетэквивалентныхнапряжений

Сначала необходимо установить величины всех касательных и продольныхнапряженийвпоперечномсечениитрубопровода. Принципнезависимости деформаций позволяет суммировать напряженное состояние. Ниже приведены формулы, позволяющие рассчитать продольные и касательные напряжения от различныхвидовнагружения(изгиб, растяжение(сжатие), кручение):

1. Продольныенапряженияприизгибе:

x,изг

z M

y z d 2W

E y d 2V

E z

y Iy

z Iz

dx2

2. Продольныенапряженияприрастяжении(сжатии):

2 P

D 2 т 2

E T E

x, раст

D 2 т 2

3. Касательныенапряженияприизгибе:

SyQz

d 2W

z,изг

EI y

(bIy )

R т

SzQy

d 2V

y,изг

EIz

(bIz )

R т

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

4. Касательныенапряженияприкручении:

z,круч M x 2y			(3.41)
	I p	D
y,круч	M x	2z	(3.42)
	I p	D

Полярный и осевые моменты инерции, модуль сдвига, а также площадь поперечногосечениявычисляютсяпоформулам:


I							D4		D 2			4	(3.43)
I							D4		D 2			4	(3.43)
	p			32							т
I						D4			D 2			4	(3.44)
I						D4			D 2			4	(3.44)
	y			64							т
I					D4				D 2			4	(3.45)
I					D4				D 2			4	(3.45)
	z		64								т
				G					E				(3.46)
				G				2	1				(3.46)
S		D2 D 2									2		(3.47)
			4							т

Суммарные напряжения в каждой точке поперечного сечения вычисляются по формулам:

x x,изг x, раст ,		(3.48)
y y,изг y,круч ,		(3.49)
z z,изг z,круч .		(3.50)
Затемвыполняетсярасчеткольцевыхнапряжений:
кц 2P	D 2 т 2	(3.51)
	D2 D 2 т 2

Затем выполняется расчет главных напряжений. Главные напряжений – это напряжения на главных площадках. Расположение главных площадок соответствует отсутствию касательных напряжений:

		x		кц		x кц 2 4 z2 4 y2
1		x		кц					,		(3.52)
1			2		2				,		(3.52)
			2		2
2		x		кц		x кц 2 4 z	2 4 y	2		,	(3.53)
2			2			2				,	(3.53)
			2			2
3	P.										(3.54)

Согласно СП 36.13330.2012 «Магистральные трубопроводв. Актуализированная редакция СНиП 2.05.06-85*» оценку прочности трубопровода рекомендуется проводить по 4-й энергетической теории прочности:

эквIV		1 2 2 2 3 2 3 1 2 .	(3.55)
		2

Знание эквивалентных напряжений позволяет оценить степень надежности трубопровода (см. параграф 3.8).

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.В чем принцип независимости деформаций (изгиб, кручение, рас- тяжение-сжатие)?

2.Чтотакоекольцевыенапряжения?

3.Чтотакоеглавныенапряжения?

4.Чтотакоеглавныеплощадки?

5.По какой теории производится оценка прочности трубопровода в СП36.13330.2012?

3.9. Вероятностнаяоценканадежноститрубопровода привоздействииморозногопучения

В настоящее время одним из критериев эксплуатационной надежности трубопроводов является уровень механических напряжений в его стенке. Если НДС несущих конструкций является одноосным, то степень нагруженности оценивается путем сопоставления напряжения с пределом текучести (пластичные тела) или с пределом разрушения (хрупкие тела). В случае плоскоили объемно-напряженногосостоянияситуациярезкоусложняется.

Существующие критерии текучести или прочности должны давать возможность сравнения опасности различных напряженных состояний материала. Как уже было отмечено выше, такое сравнение является удобным, если за основу сравнения выбирается одноосное растяжение с его простой технической реализациейидостовернойинтерпретациейпроведенныхиспытаний.

Значение напряжения экв , при котором образец материала в условиях

одноосного напряженного состояния находится в равноопасном состоянии с рассматриваемым сложным напряжением в точке, называется эквивалентным напряжением.

Так как в общем случае сложное напряженное состояние в точке может быть описано с помощью главных напряжений 1 , 2 и 3 , то с применением

того или иного критерия прочности может быть получено уравнениеэкв f 1; 2 ; 3 , где вид функции f определяется критерием прочности.

После этого условие наступления предельного состояния записывается так же, как и при простом растяжении или сжатии

экв 0 ,

(3.56)

где 0 - опасное напряжение, вызывающее предельное состояние в точке при одноосном напряженном состоянии и равное либо пределу текучести T , либовременномусопротивлению в .

В настоящее время не существует единичного критерия надежности, который соответствовал бы напряженному состоянию любого материала во всем диапазоне механического напряжения.

Мывкачествекритериянадежностивыберемкритерийудельнойэнергии формоизменения Губера-Мизеса-Генки (энергетическая теория прочности), который хорошо описывает предельное состояние широкого класса пластичных материалов (медь, никель, алюминий, углеродистые и хромоникелевые стали и т.п.). К тому же данный критерий рекомендован СП 36.13330.2012 «Магистральные трубопроводы. Актуализированная редакция СНиП 2.05.06-85*». Таким образом, предельным состоянием двухосного напряженного состояния стенки трубопровода в работе является пластичное состояние, а вопросы, связанные с трещинообразованием, не рассматриваются.

Выражение для потенциальной энергии изменения формы при двухосном напряжении записывается следующим образом:

		uф u u													(3.57)
u		1 (		1		1			2		2	)			(3.58)
		2		1		1			2		2
u	1		(		1		2	)(		1			2	)	(3.59)
		6			1		2			1			2

где u - полная удельная потенциальная энергия, вычисленная при главных деформациях 1 и 2 ; u - энергия, затрачиваемая на изменение объема.

Подставляя в (3.57) соотношения между напряжениями и деформациями для упругого режима работы материала с модулем деформации E и коэффициентом Пуассона ν:

	1	(			)
1			1	2

	Е				(3.60)

	1	(			),
	Е
1			2	1

получаемвыражениедля uф :
u		1	( 2			2 ).	(3.61)
	ф	3Е	1	1	2	2

Для равноопасного линейного напряженного состояния 2 0; 1 0 появлениюпластическихдеформаций( 0 T ) соответствуетравенство:

u			1	2 .	(3.62)
	ф		3Е	т

Величина uф может быть принята за постоянную, характеризующую

данныйматериал.

Из(3.60) и(3.61) получаемвыражениедляэквивалентногонапряжения:

	экв		2		2 .	(3.63)
	экв		1	1 2	2

Из формулы (3.63) вытекает, что наиболее опасным (по появлению пластических деформаций) является вариант наличия главных напряжений 1 , 2

с	различными		знаками. Действительно, если положить в формуле (3.63)
1	2	0 ,	то получим	экв 0 . Если же взять	1 2 0 , то
экв		3 , а	значение т	достигается при значительно меньшей величине

. Это полностью согласуется с введенным критерием прочности, поскольку случай 1 2 соответствует чистому сдвигу, при котором u 0 и полная

удельнаяпотенциальнаяэнергияравнаудельнойэнергииформоизменения. Приведенные в главе 2 расчеты позволяют определить напряженное

состояние стенки трубопровода под воздействием нормальных сил морозного пучения в холодный период времени с и ее последующим механическим разгружением. Характерной особенностью процесса пучения и изменения напряженно-деформированного состояния является то обстоятельство, что дополнительные осевые напряжения 2 в стенке трубопровода

зависят от множества факторов Si :

-минимальная температура воздуха в холодный период и продолжительностьхолодногопериодавремени;

-температураэнергоносителя;

-расход, температура, теплопроводность, вязкостьэнергоносителя;

-глубиназаложениятрубопровода;

-теплопроводностьитеплоемкостьталыхимерзлыхгрунтов;

-полнаяосенняявлажностьгрунтовитеплотафазовогоперехода;

-относительное пучение грунтов и максимальное значение нормальных силморозногопучения;

-механическиехарактеристикигрунтоввталомимерзломсостоянии;

-открытость или закрытость площадки от солнечного излучения изменениелучистоготепловогопотокакповерхностиземли;

-изменение скорости ветра, приводящее к изменению интенсивности теплообмена и испарения влаги из грунтов.

Кольцевые 1 и продольные напряжения 2 также зависят от рабочего

давления, температурыэнергоносителяит.д.

Учитывая то обстоятельство, что многие из перечисленных факторов имеют значительный разброс, вызванный их случайной природой, расчет эксплуатационной надежности трубопровода должен опираться на вероятностный (стохастический) подходкизучениюэтойпроблемы.

В основу стохастического подхода к определению надежности трубопровода здесь положено введение случайной величины Q , равной:

Q T экв.

(3.64)

С помощью этой величины условие надежной эксплуатации записывается в виде:

Q 0 .

Поскольку в силу случайности величин T и экв величина Q также

носит случайный характер, то вероятность того, что Q имеет положительное значение, называется вероятностью безотказной эксплуатации трубопровода. Последняяформулировкаможетбытьзаписанаматематически:


Р(Q 0) (Q)dQ,	(3.65)
0

где (Q) - плотностьраспределениявероятностейвеличиныQ.

Из равенства можно найти математическое ожидание M(Q) и дисперсию D(Q) случайнойвеличиныQ:

М(Q) M ( т) М( экв);

(3.66)

D(Q) M ( т2 ) 2М( т экв) М( экв2 ),

где т и экв являются среднеквадратичными отклонениями эквивалентным

напряжений и предела текучести от среднестатистических значений. Их смысл выражаетсяследующимиформулами:

т т М( т);

экв экв М( экв).

(3.67)

Так как величины T и экв не коррелированны, то коэффициент коварации М( т экв) равен нулю и дисперсия Q равна сумме дисперсий величин T и экв :

D Q D T D экв

(3.68)

Примемдалее, чтораспределениевеличин T , экв , атакжефакторов, от

которыхзависятэтивеличины, являетсянормальным. СледуяРжаницыну, назовемотношение:

		М(Q)	(3.69)
		D(Q)

коэффициентом безопасности. Чем больше коэффициент безопасности γ, тем меньше вероятность отказа, что находит свое отражение в формуле для

Р(Q 0) :

Р(Q 0) 0,5 Ф ,

(3.70)

где Ф - функцияЛапласадляаргументаγ.

Основная проблема при нахождении γ заключается в нахождении математического ожидания и дисперсии случайной величины экв , в силу сложной

зависимостидополнительныхосевыхнапряжений 2 отуказанныхфакторов.

Определяющимипоморозномупучениюследуетвыбратьфакторы:

1 - минимальная температура конденсата в выбранном сечении в холодный период времени, обозначение S1;

2 - относительноепучениегрунта2, обозначениеS2;

3 - максимальное значение нормальных сил морозного пучения, обозначение S3.

Следует отметить, что фактор S1 изначально не является независимым, так как определяется характеристиками теплоносителя, координатой сечения, свойствами грунтов и т.д. Однако получение зависимости этого фактора от указанных причин делает картину резко усложненной, без необходимой четкости понимания процесса.

В свою очередь параметр S1 определяет силовые параметры грунтов 1 и 2, уровень продольных напряжений в стенке трубопровода (за счет слагаемого с t ) и, таким образом, может быть отнесен к важнейшим.

После выделения важнейших параметров вероятностный подход реализуется стандартным образом.

Обозначим среднее значение и дисперсию i-го фактора (1 ≤i ≤ 3) через mi и Di . Поскольку зависимости экв от этих параметров являются, в общем

случае, нелинейными, то удобно и наглядно произвести линеаризацию экв

в опорной точке A(mi ) разложив функцию экв

в ряд Тэйлора в окрестности

точки A(mi ) и

ограничившись

членами первого

порядка

малости при

нахождении значения экв в точке B Si :

экв(В) экв(А) экв

А (Si

mi ).

(3.71)

i 1

Из(3.71) следуютследующиеравенства:

М( экв) экв(В)

экв

(3.72)

)

D 2

экв

i 1

i j

S j

Предполагая попарную некоррелированность факторов				(коварнация
Kij 0 ), получаемокончательноевыражениедлядисперсии экв :
3	экв	2
D( экв)			B Di .	(3.73)

i 1	Si

Следует отметить, что в формуле (3.73) присутствуют факторы, определяющие морозное пучение грунтов. Однако существуют параметры (факторы) Pi , которые входят в эквивалентное напряжение независимо от морозного

пучения (например, или t ). В связи с этим расширение формулы (3.73) выглядит следующим образом:

3	экв		2	n	экв	2
D( экв)	экв			B Di	экв		B Dj	(3.74)
D( экв)				B Di			B Dj	(3.74)
i 1	S	i		j 1	P
		i			j

(n - числофакторов Pi ).

Вероятностный подход к изучению эксплуатационной надежности начнем со случая, когда морозное пучение отсутствует (первая сумма в формуле (3.74) равна нолю). В этом случае выражения для главных напряжений имеют следующий вид:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]