Взаимодействие подземных трубопроводов с мерзлыми грунтами. Учебное пособие

3.Использование численных методов в настоящее время практически не накладывает никаких существенных ограничений на вид исходной системы уравнений переноса в породах и краевых условий (за исключением причин экономического характера). Они позволяют реализовать широкий круг не только одно-, двух- и трехмерных прямых задач, когда необходимо определить поле потенциала переноса (температуры, давления, концентрации) по известной математической модели и значениям всех коэффициентов, входящих, как в основное уравнение, так и в краевые условия, но также и обратных задач, когда по известному полю потенциала либо определяются коэффициенты, либо уточняется вид граничных условий, либо оценивается область интегрирования, либоуточняется исходная модель процесса (последнееявляется одной из задачспециальной дисциплины - планированияэксперимента).

4.Для методов интегральных преобразований характерны те же огра-

ничения (линейность основных уравнений и граничных условий), что и для метода разделения переменных. Однако более простая техника и удобный вид окончательных выражений предопределили его большое распространение. Эта методы иногда подразделяют на интегральные преобразования относительно переменной координаты τ (операционный метод) с бесконечными пределами интегрирования и относительно пространственных с конечными пределами интегрирования. Идея интегрального преобразования заключается в том, что функция (оригинал) с его помощью приводится в соответствие другая функция (изображение). При этом для дифференциального уравнения перевод в область изображений обуславливает исчезновение производной по одной из переменных и соответствующее упрощение. В зависимости от формы ядра преобразования наиболее часто применяют следующие преобразования: Лапласа; прямое

иобратноеФурье; косинусисинуспреобразованиеФурье; Меллина; Ханкеля. Например, используя преобразование Лапласа вид, кривой описыва-

ющей одномерное температурное поле t(z,τ) в области изображений (t*), можно записать как:

t(z, P) t(z, )exp( P )d ,

0

где exp( P ) - ядро преобразования, Р - лапласовская переменная, являющаяся комплекснымчислом.

Производнаятемпературыповременивобластиизображенийимеетвид:

t Pt * t(0) ,

где t(0) - функцияначальногораспределениятемпературы.

41

Операция дифференцирования в области оригинала заменяется умножением на P области изображений, а операция интегрирования - делением на лапласовскуюпеременную. Нестационарноеуравнениетеплопроводности:

a 2t t 0;z2

вобластиизображенийбудетиметьвид:

a 2zt2* Pt * t(0) 0 .

Таким образом, нестационарное уравнение теплопроводности в области оригинала сводится к стационарному в области изображений, а уравнение в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Уравнениямвчастныхпроизводных(сдвумяпеременными) дляоригинала отвечают обыкновенныедифференциальныеуравнения вобластиизображений, а последним в области оригинала - алгебраические уравнения изображений. Затем такая более простая задача решается в области изображений, и полученный результат переводится в область оригинала с помощью обратного преобразования. Основнаятрудностьрешениясвязанасреализациейобратногоперехода.

Данный метод широко используется для решения задач теплопереноса в породах, задач, описывающих динамику подземных вод, а также связанных с учетом химических взаимодействий в них. Из-за ограничении, обусловленных нелинейностью задач типа Стефана, использование этого метода для решения в дач промерзания-оттаивания затруднено.

5. Метод малого параметра (метод возмущений) заключается во вве-

дении небольших поправок к основному не возмущенному решению в виде ассимптотического ряда (Коул, 1972). При этом учет влияния отдельных возмущающих факторов обусловливает не коренное, а лишь некоторое изменение задачи, которое может быть учтено в первом и последующих приближениях. Исходная математическая модель преобразуется таких образом, чтобы она была близка к той, которая имеет достаточно точное решение. Необходимо только провести замену переменных и выбор малого параметра таким образом, чтобы трудоемкость решения была минимальной при максимальной точности решения. Величину параметра возмущения ε обычно «определяют так, чтобы она была мала. Для ряда простейших задач промерзания (оттаивания) пород структура такого параметра е может иметь ясный физический смысл: малости отношения теплоты, идущей на перестройку поля в зоне, к теплоте фазовых переходов. Однако величиной возмущения может быть и сложная функция или операция. Температурное поле в зонах и положение границе раздела фаз ищутся в виде рядов по изменяющимся степеням ε:

где t и - безразмерныепараметрытемпературыикоординатыфронта.

42

Для практических расчетов вопрос о сходимости разложений не является принципиальным. Асимптотический характер решений в виде не всегда сходящихся рядов, тем не менее, означает, что несколько членов разложения могут дать вполне достаточную точность

6. Метод последовательной смены стационарных состояний в широ-

ком толковании используется при решении связанных задач тепломассопереноса в породе. В силу различной инерционности полей, возможно, упрощение исходной системы за счет перехода к стационарному уравнению, описывающему динамику менее инерционного поля. Так, при решении задачи переноса тепла и влаги в ряде случаев можно считать, что поле температур является на каждый момент времени стационарным по отношению к полю влагосодержания. Если механизм переноса фильтрационный, то поля скоростей, наоборот, могут задаваться в виде стационарных профилей относительно меняющегося во времени поля температур. Для задач промерзания (оттаивания) применение методаоснованонаразличной инерционноститемпературныхполей в зонахпо отношению к движущейся границе раздела зон. Это дает возможность с достаточной точностью использовать стационарные профили для описания распределения температур: линейного профиля - для одномерных задач в декартовых координатах, логарифмического - в цилиндрических, гиперболического - в сферических, интеграла Пуассона - для многомерных задач. Этим методом, иногда называемым квазистационарным, решено большое количество задач общейиинженернойгеокриологии. Вчастности, полученыформулаСтефанаи ее различные модификации для учета стационарного и нестационарного геотермического потока в однослойном и многослойном массивах (Л. С. Лейбензон, М. М. Крылов, В. Т. Балобаев, А. В. Павлов, В. П. Чернядьев), а также конечной теплоемкости в зонах (СНиП), при учете конвективного и лучистого теплообмена на поверхности и наличии слоя теплоизоляции (снег, растительность) (А.В. Павлов, ВС. Лукьянов. М.Д Головко), промерзания вокруг тел цилиндрической (труба) и шаровой симметрии (С. С. Ковнер, И. А. Чарный).

Применительно к плоским задачам общее решение пока не получено С. Г. Гутман использовал метод фиктивных граничных условий, в частности метод введения двухслойной среды с разными теплофизическими свойствами к квазиоднородной среде с помощью введения в граничное условие приведенной температуры. Он также предложил применить принцип суперпозиции источников тепловыделений для оценки температурного поля под застройкой. Дальнейшее развитие эти подходы получили в работе Г. В. Порхаева (1970). Процесс протаивания он заменяет условным процессом теплопроводности, при котором не происходит подплавления льда, но закон перемещения нулевой изотермы остается неизменным. Это реализуется путем изменения верхнего граничного условия, введения зависящей от времени вспомогательной температуры, котораякакбыучитываеттепловойэффектфазовыхпереходов.

Другой подход был дан в работе Л. Н. Хрусталева (1971), который двумерную задачу сводит к сумме одномерных, что достигается заменой действующего на поверхности переменного линейного источника на постоянный,

43

но меняющийся во времени таким образом, чтобы температурное поле в точке было адекватно. Основная трудность метода - нахождение переменной зависимости такой эквивалентной температуры поверхности.

Ю. Л. Шур использовал при решении другую особенность квазистационарного подхода - неизменность во времени линий теплового потока, ортогональных к изотермам. Положение границы протаивания находилось интегрированием сформированного условия, в котором линейный размер заменялся параметрами, характеризующими геометрию трубок теплового потока, длиной и площадью поперечного сечения.

Широкий круг задач по использованию метода суперпозиции для нахождения стационарных температурных полей в породах при действии на поверхности точечных, линейных и полосовых источников, а также источников внутри, различных видов граничных условий и геометрии массива, дан в работах Л. И. Пеховича и В. М. Жидких; Н. С. Иванова и П. И. Филиппова (1988). Последние, используя подход Ла Фура, предложили способ решения, основанный на принципе квазиподобия, который является дальнейшим развитием принципа квазистационарности. Исходная система уравнений для мерзлой и талой зон (решение дается также для случаев цилиндрической и шаровой симметрии) с помощью подстановки типа Ландау (у = х/ξ) сводится к системе с фиксированными границами. Задавая вид зависимости ξ=f(τ) и приравнивая к нулю производную по времени, получают температурные профили, которые являются первым приближением Последующие приближения могут быть получены путем задания ряда последовательных значений этой производной dt/dτ.

7.Методы сведения исходного уравнения теплопроводности к

уравнениям другого типа. Под этим обычно понимается совокупность различных приемов (подстановка, замена переменных), которые приводят уравнения теплопроводности к другим формам. Поэтому они являются скорее не методом решения, а приемом, позволяющим упростить исходную математическую модель, в частности линеаризовать ее, свести к обыкновенному дифференциальному уравнению и т.д.

8.Подстановка Больцмана сводит одномерное уравнение теплопроводности (в частных производных) к обыкновенному дифференциальному равнению относительно новой переменной, являющейся комбинацией пространственной и временной координат. Подстановка Больцмана может применяться только для бесконечных или полубесконечных массивов. Ее иногда называют автомодельной (от лат. avto modus - подобный себе), поскольку она реализует подобное трансформирование исходного уравнения теплопроводности путем изменениямасштабалинейногоразмеравK разимасштабавременивK2 раз.

Этот метод подобного преобразования является одним из частных случаев более общего метода автомодельных решений или метода теории групп, который особенно эффективен для качественного анализа, когда можно удовлетвориться асимптотическими приближениями. Поэтому он получил широчайшее развитие в динамике подземных вод (например, в работах В. М. Шестакова) и геокриологии. В частности, температурные поля и

44

поля концентраций (влажности) ищутся в виде функции, описывающей эволюцию во времени (рассасывание температурной неоднородности), точечных источников тепла и влаги, в частности функции ошибок Гаусса - еrf(x). Этот метод использовался для решения задач промерзания (оттаивания), начиная с классических работ Неймана и Стефана и кончая многочисленными современными публикациями, в частности, для задач промерзания (оттаивания) он широко применялся в работах Г. М. Фельдмана, Н. С. Иванова и П. И.Филиппова (1988); для сопряженных задач тепло- и массопереноса - в работах В. М. Ентова, А. М. Максимова и Г. Г. Ципкина.

9. Вариационные методы. Вариационные методы решения задач теплопроводности и диффузии основаны на том, что основные законы теории наряду с законами сохранения (энергии, массы, импульса) управляются минимальными принципами, как это имеет место в механике (принцип наименьшего действия). Равновесию механической системы отвечает выражение, соответствующее минимуму ее потенциальной энергии. Принцип наименьшего действия записывается в виде условия экстремума функции VF=0 некоторого функционала F (V - знак вариации), который при подстановке в функции, определенной из уравнения Эйлера-Лагранжа, принимает наименьшее значение. М. Био (1975), базируясь на принципах термодинамики обратимых процессов (принцип минимума производства энтропии), показал, для теплопроводности, диффузии математическая проблема решения таковой задачи, связанной с диссипативными функциями, эквивалентна задаче вариационного исчисления – о минимуме интеграла, для которого дифференциальное уравнение теплопроводности служит уравнением Эйлера Лагранжа. В вариацию VF включают и вариации граничных условий, а вид решения задается. Эффективность метода во многом зависит от того, насколько выбранный вид решения близок к искомому. Вариационные методы широко применяются для решения задач теплопроводности при наличии подвижной границы разделаобъемных фаз (Э. М. Гольдфарби О. С. Ересковский, 1966).

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.Назовитеметодырешениязадачтепломассопереноса.

2.В чем смысл аналогового метода? Почему этот метод перестал применяться?

3.Назовитеглавныйнедостатоканалитическихметодов?

4.В чем преимущество численных методов? Чем отличаются прямая и обратнаязадачи?

5.Назовите наиболее часто используемые интегральные преобразования дифференциальныхуравнений.

6.Что такое изображение функции? Как осуществляется переход от оригинала к изображению и обратно при интегральных преобразованиях дифференциальных уравнений?

7.Чтотакоеквазистационарноесостояние?

8.Вчемсутьвариационныхметодов?

45

2.3. Взаимодействие трубопроводов с грунтами при продольных перемещениях

В талом грунте взаимодействие трубопровода с грунтом при продольных перемещениях приближенно описывается диаграммой упругопластической деформации, представленной на рисунке 2.3.

При продольном перемещении трубопровода нагрузка действует в направлении противоположном перемещению. По предложению Айбиндера (1991), сопротивлениегрунта можно приближенно описать диаграммой Пранд- тлядляупруго-пластическойдеформации. Математическаяформулировкаэтой диаграммы:

fxпред,тал

Рис.2.3 – Зависимостьпродольногораспределенногоусилия отпродольногоперемещенияU вталомгрунте

В формуле (2.8) использованы коэффициенты , , , которые обнуляют значение соответствующего слагаемого в формуле, в случае если деформация переходит из упругой в пластическую:

1. Упругаядеформация:

2. Пластическаядеформацияприположительныхперемещениях:

3. Пластическаядеформацияприотрицательныхперемещениях:

Предельное значение деформации и продольного усилия, при которых сохраняется линейный закон сопротивление-перемещение вычисляется по следующим формулам:

В формулах (2.12) используется коэффициент образования свода обрушения. Он определяет способность грунта сохранять форму свода при выемке грунта (это свойство используется при строительстве метрополитенов и тоннелей). Коэффициент зависит от глубины заложения трубопровода, типа грунтов и вычисляется по следующим формулам:

1. Дляпесчаныхгрунтов:

2. Дляглинистыхгрунтов:

Собственный вес трубопровода вычисляется исходя из веса трубы, продукта, изоляцииипригрузов:

Формула (2.21) соответствует п.7.4.3 СП 25.13330.2012 «Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах». Предельное сопротивление трубопровода продольному перемещению соответствует максимальной силе

Следует отметить, что формулы (2.8)-(2.11), (2.16)-(2.19) позволяют задавать смещение всего массива грунта в продольном направлении, что, например, возможно на оползнеопасных участках и участках пучений.

Список использованных обозначений и единицы измерения в текущем параграфе:

1. Характеристики трубопровода:

из – диаметр трубопровода по поверхности изоляции, м;

– наружный диаметр трубопровода по поверхности трубы, м; т – толщина стенки трубопровода, м; тр – плотность стали трубопровода, кг⁄м ;

из – плотность изоляции, кг⁄м ; прод – плотность перекачиваемого продукта, кг⁄м ; гр – масса пригруза, кг; гр – шаг расстановки пригрузов, м;

воды – плотность воды, кг⁄м ; =9,81 м/с2;

св – собственный вес трубопровода, Н⁄м;

– расстояние от поверхности земли до оси трубопровода, м; гор – угол наклона участка трубопровода к горизонту (положительный

при подъеме трубопровода и отрицательный при опуске), рад; подт – объем подтопленной части трубопровода, м .

2. Характеристики грунта засыпки:

грзас – плотность талого грунта засыпки, кг⁄м ; грзас – сцепление талого грунта засыпки, Па;

грзас – угол внутреннего трения талого грунта засыпки, рад; Егр.зас.тал. – модуль упругости талого грунта засыпки, Па; Егр.зас.м. – модуль упругости мерзлого грунта засыпки, Па;

- коэффициент, отражающий образование свода обрушения, б.р..;

кас – обобщенный коэффициент касательного сопротивления, Па⁄м.

,тал

49

3.Справочные характеристики из нормативных документов:

–коэффициент поверхности для удельной касательной силы мо-

розного пучения;

-удельная касательная сила морозного пучения, Па.

4.Расчетныеииныевеличины:

–осеваяраспределеннаянагрузка, Н⁄м;

талпред - предельное перемещение при котором сохраняется линейная зависимость сопротивление-перемещение, м;

пред – предельное сопротивление талого грунта при котором сохраня-

,тал

ется линейная зависимость сопротивление-перемещение, Н⁄м; мерпред – предельное перемещение в мерзлом грунте при котором сохра-

няется линейная зависимость сопротивление-перемещение, м;

пред – предельное сопротивление мерзлого грунта при котором сохра-

,мер

няется линейная зависимость сопротивление-перемещение, Н⁄м.

5. Величиныполучаемыеизрезультатовтепловыхилииныхрасчетов: пуч – величина смещения мерзлого грунта, вызванная морозным пу-

чением (или иными причинами) вдоль оси трубопровода, м; смещ – величина смещения талого грунта, вызванная морозным пу-

чением (или иными причинами) вдоль оси трубопровода, м.

КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ

1.Какая диаграмма деформирования характерна для талых и мерзлых грунтовприпродольныхперемещениях?

2.Почемудляталыхимерзлыхгрунтовобщийвиддиаграммсовпадают?

3.Что характеризует обобщенный коэффициент касательного сопротивления?

4.Какпередаютсяпучениягрунтанатрубопроводвслучае, еслипучения направленывдольоситрубопровода?

5.Что учитывает коэффициент поверхности для удельной касательной силы морозного пучения? По какому нормативному документу необходимо выбиратьданныйкоэффициент?

6.Чтохарактеризуеткоэффициентобразованиясводаобрушения?

2.4. Взаимодействиетрубопроводовсгрунтами припоперечныхгоризонтальныхперемещениях

В талом грунте взаимодействие трубопровода с грунтом при поперечных горизонтальных перемещениях приближенно описывается диаграммой упруго-пластическойдеформации, представленнойнарисунке2.4.

50