Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
К.А. МАТВЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве конспекта лекций
НОВОСИБИРСК
2016
УДК 514.743.4(075.8) М 333
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. В.Н. Максименко канд. физ.-мат. наук, доц. Д.В. Моховнев
Матвеев К.А.
М 333 Введение в тензорное исчисление: конспект лекций /
К.А. Матвеев. – 2-е изд., испр. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 64 с.
ISBN 978-5-7782-3092-7
Изложены основы тензорной алгебры и тензорного анализа в объеме, необходимом для изучения курса «Механика сплошных сред». Последовательно используется представление о тензорах как об объектах, непосредственно фигурирующих в уравнениях механики.
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
для магистрантов, обучающихся по направлению 15.04.03 - прикладная механика
(профиль – динамика и прочность машин)
УДК 514.743.4(075.8)
Матвеев Константин Александрович ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Конспект лекций
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 21.11.2016. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 80 экз. Уч.-изд. л. 3,72. Печ. л. 4,0. Изд. № 304. Заказ № 30. Цена договорная
Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
ISBN 978-5-7782-3092-7 |
© Матвеев К.А., 2016 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2016 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие............................................................................................................ |
6 |
1. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ....................... |
6 |
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ................................................................. |
7 |
3. СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИНДУЦИРОВАН- |
|
НЫЕ ИНВАРИАНТНОСТЬЮ.......................................................................... |
8 |
4. ВЕКТОРЫ............................................................................................................ |
9 |
4.1. Векторное сложение. Умножение вектора на скаляр............................. |
10 |
4.2. Скалярное произведение векторов .......................................................... |
10 |
4.3. Векторное произведение векторов........................................................... |
11 |
4.4. Смешанное произведение векторов......................................................... |
11 |
4.5. Двойное векторное произведение............................................................ |
12 |
5. ТЕНЗОРЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ........................................................................... |
12 |
5.1. Свойства неопределенного произведения векторов............................... |
13 |
5.2. Диадики...................................................................................................... |
14 |
6. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ........ |
16 |
6.1. Векторы...................................................................................................... |
16 |
Преобразование компонент вектора при повороте системы ко- |
|
ординат. Определение вектора................................................................ |
17 |
6.2. Тензоры...................................................................................................... |
18 |
6.2.1. Представление тензора в ортонормированном базисе................ |
18 |
6.2.2. Преобразование компонент тензора при повороте системы |
|
координат........................................................................................ |
19 |
7. КОСОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.............................................. |
19 |
7.1. Ковариантный и контравариантный базисы........................................... |
19 |
7.2. Векторы в косоугольном базисе............................................................... |
21 |
7.2.1. Преобразование компонент вектора при изменении базиса....... |
21 |
7.2.2. Взаимосвязь между векторами различных базисов..................... |
22 |
7.2.3. Формулы, связывающие ковариантные и контравариант- |
|
ные компоненты вектора............................................................... |
22 |
3 |
|
7.2.4. Разложение базисных векторов..................................................... |
22 |
7.2.5. Физические компоненты вектора.................................................. |
22 |
7.3. Тензоры в косоугольном базисе............................................................... |
23 |
7.3.1. Преобразования компонент тензора при изменении базиса. |
|
Определение тензора...................................................................... |
24 |
7.3.2. Метрический тензор....................................................................... |
24 |
7.3.3. Формулы, связывающие компоненты тензора второго |
|
ранга ................................................................................................ |
25 |
7.3.4. Физические компоненты тензоров................................................ |
26 |
8. КРИВОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ........................................... |
27 |
8.1. Ковариантный и контравариантный базисы........................................... |
27 |
8.2. Закон преобразования векторов ковариантного базиса......................... |
28 |
8.3. Закон преобразования векторов контравариантного базиса ................. |
28 |
8.4. Закон преобразования контравариантных компонент вектора............. |
29 |
8.5. Закон преобразования ковариантных компонент вектора..................... |
29 |
8.6. Закон преобразования компонент тензора второго ранга. Опре- |
|
деление тензора.......................................................................................... |
30 |
8.7. Метрический тензор.................................................................................. |
31 |
8.8. Дискриминантный тензор и связанные с ним соотношения................. |
34 |
9. АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ. ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗО- |
|
РАМИ................................................................................................................ |
37 |
9.1. Сложение тензоров.................................................................................... |
37 |
9.2. Умножение тензора на число................................................................... |
37 |
9.3. Умножение тензоров................................................................................. |
37 |
9.3.1. Тензорное умножение.................................................................... |
37 |
9.3.2. Скалярное умножение тензоров.................................................... |
38 |
9.3.2.1. Скалярное умножение тензора на метрический |
|
тензор................................................................................. |
38 |
9.3.2.2. Степень тензора второго ранга........................................ |
39 |
9.3.2.3. Одно из представлений компонент тензора................... |
39 |
9.3.3. Двойное скалярное произведение тензоров (двойная |
|
свёртка)............................................................................................ |
40 |
9.4. Операция свертывания тензоров.............................................................. |
41 |
9.5. Векторное произведение тензоров........................................................... |
42 |
9.6. Операция образования изомера тензора. Сопряженный тензор........... |
42 |
4
9.6.1. Симметричный и кососимметричный тензоры............................ |
43 |
9.6.2. Операции симметрирования и альтернирования тензоров......... |
43 |
9.7. Простейшие свойства тензоров................................................................ |
44 |
10. ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА....................................................................... |
44 |
10.1. Сопряженный и самосопряженный тензоры ........................................ |
44 |
10.2. Некоторые формулы для сопряженных тензоров................................. |
45 |
10.3. Главные векторы и главные значения. Инварианты............................ |
46 |
10.3.1. Свойства главных векторов и главных значений...................... |
48 |
10.3.2. Представление тензора в главном базисе................................... |
48 |
10.4. Теорема Гамильтона-Кэли. Соосность степеней тензора.................... |
49 |
10.5. Шаровые тензоры и девиаторы.............................................................. |
49 |
11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА................................................................................ |
50 |
11.1. Дифференцирование координатных векторов. |
|
Символы Кристоффеля........................................................................... |
50 |
11.2. Ковариантное дифференцирование....................................................... |
53 |
11.2.1. Ковариантная производная вектора............................................ |
53 |
11.2.2. Ковариантная производная тензора............................................ |
54 |
11.2.3. Свойства ковариантного дифференцирования. Тождество |
|
Риччи. Тензор Римана–Кристоффеля......................................... |
55 |
11.3. Основные дифференциальные операции .............................................. |
58 |
11.3.1.Оператор Гамильтона. Градиент тензора.................................... |
58 |
11.3.2. Производная по направлению..................................................... |
59 |
11.3.3. Дивергенция тензора.................................................................... |
59 |
11.3.4. Ротор тензора................................................................................ |
60 |
11.3.5. Оператор Лапласа......................................................................... |
61 |
11.4. Основные интегральные операции........................................................ |
62 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................. |
64 |
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий конспект лекций (издание второе, исправленное) является составной частью годового курса механики сплошных сред, читаемого для магистрантов, обучающихся по направлению 15.04.03 – прикладная механика (профиль – динамика и прочность машин).
Практика все чаще требует от инженеров и исследователей в области механики умения использовать известные и строить новые модели сплошных сред, ставить и решать задачи о поведении таких сред. Именно поэтому механика сплошной среды из набора отдельных дисциплин (теория упругости, гидромеханика, теория пластичности и т. д.) превратилась в единую науку, естественным аппаратом которой (и физики вообще) является тензорная алгебра и тензорный анализ. Они выделяют все существенное, что относится к самим изучаемым явлениям, отбрасывая то, что привнесено выбором конкретной системы координат.
1. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Тензорная алгебра и анализ имеют дело с изучением абстрактных объектов, называемых тензорами. Тензор как математический объект существует независимо от системы координат. В то же время в каждой системе координат его можно задать некоторой совокупностью величин, называемых компонентами тензора. Поскольку тензорный анализ изучает объекты и свойства, инвариантные относительно выбора координатной системы, он является идеальным инструментом для описания законов природы. Именно поэтому аппарат тензорного исчисления находит широкое и естественное применение в различных разделах геометрии и механики.
6
Целью данного курса является последовательное, хотя во многом «интуитивное», построение таких инвариантных математических объектов: тензоров и изучение их свойств. Отметим еще раз, что математический объект, какова бы ни была его природа, является инвариантным, если только он остается неизменным при преобразовании координат.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Будем рассматривать объекты в трехмерном пространстве. Пусть X (x1, x2 , x3 ), Y ( y1, y2 , y3 ), Z (z1, z2 , z3 ) – различные координатные системы в этом пространстве. Соотношение вида
П: yi yi (x1, x2 , x3 ) |
(1) |
можно рассматривать как преобразование координат. Это прямое преобразование координат является взаимно однозначным, или невырожденным, если его якобиан
J |
yi |
|
0 . |
(2) |
x j |
|
|||
|
|
|
|
В этом случае соотношение вида (1) всегда можно разрешить относительно xi и записать
П 1 : xi xi ( y1, y2 , y3 ) . (3)
Здесь П 1 – это обратное преобразование координат. Преобразования (1), удовлетворяющие в данной области простран-
ства условию (2), часто определяют как множество (класс) допустимых преобразований.
Некоторые свойства допустимых преобразований координат
1.Если преобразование координат П обратимо, т. е. существует
П1 , и если J и K – соответственно их якобианы, то J K = 1.
7
2. Пусть
П1 : yi yi (x1, x2 , x3 ) (J1 0)
и
П2 : zi zi ( y1, y2 , y3 ) (J2 0) –
два преобразования координат. Преобразование
П3 : zi zi y1(x1, x2 , x3 ), y2 (x1, x2 , x3 ), y3 (x1, x2 , x3 )
называется произведением П 1 и П 2 записывается оно формулой П3 = П2 П1. Справедливо следующее утверждение: якобиан произве-
дения преобразований координат равен произведению якобианов, входящих в произведение преобразований, т. е. J3 J2 J1 .
3. Для произведения допустимых преобразований координат справедлив ассоциативный закон П3 (П2П1) (П3П2 )П1 .
Отмеченные свойства допустимых преобразований координат оправдывают выбор в качестве точки отправления любой координатной системы, если только она принадлежит к числу допустимых. Имея в виду перечисленные выше основные свойства, в математике говорят, что совокупность всех допустимых преобразований координат образует группу.
3. СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ ИНВАРИАНТНОСТЬЮ
Простейшим инвариантным объектом является скалярная функция F(P). Значения F(P) зависят от точки P, но не от координатной системы, использованной для того, чтобы представить P. В системе отсче-
та X функция F(P) может принять форму f (x1, x2 , x3 ) , и если мы введем новую систему отсчета Y преобразованием
П 1 : xi xi ( y1, y2 , y3 ) ,
8
то функциональная форма F(P) в координатах Y примет вид
f |
x1 |
( y1, y2 |
, |
y3 ),..., x3 ( y1, y2 , y3 ) |
g( y1, y2 , y3 ) . |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, мы можем говорить о f (xi ) как о компоненте скаляр-
ной функции F(P) в координатной системе X, в то время как g( yi )
является компонентой той же самой скалярной функции в координатной системе Y. Иными словами, коль скоро представление скаляра F(P) известно в одной координатной системе, то форма F(P) в любой другой координатной системе определяется формулой (4). Это подстано-
вочное преобразование G0 : f xi ( yi ) g( yi ) называют преобразова-
нием, индуцированным инвариантностью. Взаимосвязь между преобразованием координат и соответствующим им преобразованием компонент F(P) можно представить в виде диаграмм (рис. 1).
y |
|
|
|
|
g( y) |
|
|
|
T |
|
G0 |
|
G0 |
T1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
f (x) |
|
h(z) |
T T T |
|
G0 |
G0 |
G0 |
||
3 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
1 |
Рис. 1
4. ВЕКТОРЫ
Более сложными инвариантными объектами являются векторы. Здесь для нас важно отметить, что «любые» действия над инвариантами дают тот или иной инвариантный результат. Отметим некоторые известные операции над векторами.
9
4.1. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР
Сложение векторов подчиняется правилу параллелограмма. Эта операция обладает свойством коммутативности и ассоциативности:
(a b) c a (b c) h ,
и ее результатом является инвариант-вектор h . При умножении векто-
ра b на скаляр m в зависимости от численного значения m возможен
один из трех случаев, показанных на рис. 2. Операция умножения вектора на скаляр ассоциативна и дистрибутивна. Отметим еще, что в результате умножения вектора на величину, обратную его модулю, получается единичный вектор того же направления.
mb |
b |
b |
b |
mb |
|
|
|
|
|
|
mb |
m 1 |
0 m 1 |
m 0 |
|
Рис. 2 |
|
4.2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением двух векторов a и b называют скаляр (инвариант)
a b ab cos ,
где a | a |, b | b | ; – наименьший угол между векторами a и b . Попутно напомним, что a a a2 , и, если a b , то a b 0 .
10