Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

где ai – контравариантные компоненты a . Вектор может быть разложен и по контравариантному базису Ri :

Здесь ai a Ri – ковариантные компоненты a . Замечание: если исходный (ковариантный базис) ортонормированный, т. е. Ri ei , то со-

ответствующий ему контравариантный базис совпадает с исходным,

т. е. Ri ei .

7.2. ВЕКТОРЫ В КОСОУГОЛЬНОМ БАЗИСЕ

7.2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА

Вектор a можно представить в различных базисах Ri и Ri и соответственно записать

a a R a R a R a R .

Отсюда, в силу (17), можно найти закон преобразования соответствующих компонент вектора при изменении базиса:

где tij Ri Rj , tij R j Ri .

Говорят, что совокупность величин ai (ai ) образует контравариантный

(ковариантный) тензор первого ранга (вектор), если при изменении базиса преобразуется по формулам (20) и (21) соответственно.

21

7.2.2. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСОВ

7.2.4. РАЗЛОЖЕНИЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ

Очевидны следующие формулы (опустили, подняли индекс):

ностями базисных векторов и соотношением Ri Ri 1. Вместо базиса

22

a a R* a* R* ,

где ai и ai – физические компоненты вектора a .Связь физических

компонент с ко- и контравариантными компонентами находится без труда (по i – не суммировать):

Заметим, что за основу можно принять и единичный контравариантный базис. Подчеркнем, что все вычисления почти всегда производятся с обычными ко- и контравариантными компонентами и только в конце, если нужно, делается пересчет на физические компоненты.

7.3. ТЕНЗОРЫ В КОСОУГОЛЬНОМ БАЗИСЕ

Векторы, входящие в неопределенное произведение векторов, удобно представлять записанными во взаимных (ковариантном либо контравариантном) базисах:

В соответствии с этим обстоятельством диадик (тензор второго ранга), к примеру, может быть записан в том или ином виде:

Аналогично (28), но в виде разложения по базисным триадам (полиадам), может быть представлен тензор третьего (n-го) ранга.

23

7.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА

Тензор второго ранга (и вообще любого ранга) может быть записан в любом базисе, т. е.

Из факта инвариантности D относительно выбора базиса разложения следует закон преобразования его компонент:

di j ti t j d ,

di j ti t j d ,

(29)

di j ti t j d ,

di j ti t j d .

Говорят, что dij – ковариантный тензор второго ранга, d ij – кон-

травариантный тензор второго ранга, di j – ковариантный по первому индексу и контравариантный по второму индексу тензор второго ранга,

dij – контравариантный по первому индексу и ковариантный по вто-

рому индексу тензор второго ранга, если при изменении базиса эти компоненты преобразуются по формулам (29) соответственно. Если это так, то тензор может быть записан в виде (27) или (28). Формулы, аналогичные (29), определяют закон преобразования компонент тензоров и более высоких рангов.

7.3.2. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

Используя формулы (24) и (22), находим:

gi j Ri Rj ti Rv t j R ti t j g , gi j ti t j g , gij Ri Rj ti R t j R ti t j g .

24

Сравнивая полученный результат с (29), приходим к выводу о том, что gij , gij и gij – это ковариантные, контравариантные и смешанные

компоненты одного и того же тензора второго ранга – метрического. Запишем этот тензор в явном виде:

Геометрический (метрический) смысл компонент этого тензора следу-

(см. раздел 8.7).

В связи с этими формулами уместно отметить, что базис Ri является ортогональным, если gi j 0 при i j (gij 0, i j).

7.3.3. ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА ВТОРОГО РАНГА

Умножая равенство (27) скалярно на Ri , а затем на Rj , получим (опустили два индекса)

Аналогично после соответствующего домножения приходим к такому результату (подняли два индекса):

Если же равенство (27) умножить скалярно на Ri , а затем скалярно

на R j , можно установить следующие зависимости (подняли второй индекс):

di j g j di ,

(затем первый индекс подняли, второй опустили и т. д.)

25

Отметим также, что если базис Ri ортогональный, то (не суммировать)

7.3.4. ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРОВ

Понятие «физических» компонент векторов (см. раздел 7.2.5) естественно обобщается и на «физические» компоненты тензоров второго

Ri R j gij .Тензор, к примеру, второго ранга инвариантен относи-

тельно выбора базиса, поэтому

D d a R R d Ra R d a R R d R R .

Отсюда находим (нет суммирования):

26

8. КРИВОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Обозначим через xi декартову систему координат, ei – ее орто-

нормированный базис. Пусть qi – криволинейные координаты в про-

странстве. Считаем, что формулы, связывающие эти координатные системы, нам известны:

Преобразование координат (34) принадлежит к классу допустимых, поэтому существует обратное:

Радиус-вектор любой точки пространства

R x1e1 x2e2 x3e3 x e R(x1, x2 , x3 ) .

с помощью (35) может быть записан через криволинейные координаты

R(q1, q2 , q3 ) x (q1, q2 , q3 ) e .

8.1. КОВАРИАНТНЫЙ И КОНТРАВАРИАНТНЫЙ БАЗИСЫ

Очевидно, что xRi ei . Обозначим:

Причём векторы R i (36), касательные к координатным линиям qi ,

определяют локальный ковариантный базис для любой криволинейной системы координат. Взаимный по отношению к нему контравариантный базис определяется по формулам (15), (16).

27

8.2. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ КОВАРИАНТНОГО БАЗИСА

Пусть qi и qi – различные криволинейные системы координат,

8.3. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ КОНТРАВАРИАНТНОГО БАЗИСА

Этот закон выражается формулой

Справедливость (39) обычно доказывают косвенным путем: убеждаемся, что записанный закон (39) не противоречит равенству Ri Rj ij . Действительно,

28

8.4. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОНТРАВАРИАНТНЫХ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА

В силу инвариантности вектора

a a R a R .

Подставляя сюда (38), получаем

a q R a R .q

Совокупность функций ai является вектором (тензором первого ранга),

если при преобразовании координат (37) каждая из этих функций преобразуется по указанному закону (40).

8.5. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОВАРИАНТНЫХ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА

Этот закон следует из очевидных равенств:

Таким образом, ковариантные компоненты вектора ai в системе координат qi (37) вычисляются по формуле

29

8.6. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ВТОРОГО РАНГА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА

В силу инвариантности тензора относительно базиса разложения

D d R R d R R d R R d R Rd R R d R R d R R d R R .

Отсюда с использованием (38) и (39) или (29) и (38), (39) получим формулы преобразования соответствующих компонент тензора второго ранга при любом допустимом преобразовании координат:

На основе этих формул преобразования компонент тензора второго ранга можно дать аналитическое определение тензора второго ранга. И вообще, пусть в какой-нибудь системе координат некоторая физическая или геометрическая величина описывается компонентами с верхним (контравариантными) и нижними (ковариантными) индексами. Если при переходе к новым координатам указанные компоненты преобразуются по каждому верхнему значку как контравариантная компонента вектора (40), а по нижнему – как ковариантная (41), то определяемая ими величина называется тензором. Компоненты, имеющие только верхние индексы, называются контравариантными, верхние и нижние – смешанными. Общее число индексов в компонентах тензора называется его рангом или валентностью. Число значений, принимаемых каждым индексом, определяет порядок тензора.

30