Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

4.3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением a и b называют вектор (инвариант), получаемый по формуле

S a b b a (a bsin ) ,

где – угол между векторами a и b , меньший чем 180°, а – еди-

4.4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Смешанным произведением трех векторов a , b и с называют скаляр (инвариант), вычисляемый по формуле

a (b c) (a b) c [a b c] V .

независимых векторов в пространстве можно принять за его базис. Если векторы линейно независимы, то их смешанное произведение

11

V 0. Эта тройка векторов называется правой (левой), если V 0 ( 0).

Имея в виду эту неоднозначность смешанного произведения трех векторов, говорят, что его результатом является «псевдоскаляр».

4.5. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Это вектор (инвариант) w , получаемый в результате следующих действий над инвариантами a, b и c :

w a (b c) b(a c) c(a b); ("бац минусцаб").

Из формулы видно, что w лежит в плоскости векторов b и c .

5.ТЕНЗОРЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Спомощью перечисленных выше действий над векторами можно получить известные инварианты: скаляры и векторы. К инвариантам более сложной структуры – тензорам – можно прийти, решая следую-

щую задачу: определить оператор T(n) , если известно

Причем представление вектора a в виде (6) явно неоднозначно. Записываем уравнение (5) при n = 2:

T(2) b T(1) .

Но

T(1) a a a b b a b b .

12

Это значит, что оператор T(2) можно определить так:

T(2) a1b1 ... anbn a b – invar.

Последнее равенство мы записали, введя понятие неопределенного произведения векторов, которое по определению задается написанием

векторов a и b один за другим, например a b . Неопределенное про-

изведение в общем случае некоммутативно, т. е. a b b a . Неопреде-

ленное произведение двух векторов называют диадой, трех – триадой, n векторов – полиадой.

Таким образом, оператор T(2) есть сумма диад, и нетрудно заме-

тить, что T(3) – сумма триад, T(n) – сумма полиад. Эти инвариантные относительно выбора координатной системы объекты (операторы) называют соответственно тензорами второго (или диадиками), третьего и n-го ранга. Естественно вектор назвать тензором первого ранга, а скаляр – тензором нулевого ранга.

5.1. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Неопределенное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности:

a (b c) a b a c, (a b)c a c b c,

(a b)(c d ) a c a d b c b d.

Скалярное произведение диад a b и c d по определению есть диада вида

a b c d (b c) a d .

13

Дважды скалярное, смешанное и дважды векторное произведение диад a b и c d можно определить следующим образом:

5.2. ДИАДИКИ

Несколько подробнее здесь опишем тензоры второго ранга, или диадики. Итак, пусть

Если в каждой диаде формулы (7) первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор будет называться сопряженным исходному и запишется так:

Dc b1a1 ... bnan .

Если каждую диаду в сумме D заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получим скаляр, называемый скаляром диадика D и записываемый в виде

Ds a1 b1 ... an bn .

Если каждую диаду в формуле (7) заменить векторным произведением составляющих ее векторов, то результат будет называться вектором диадика D и записываться так:

Dv a1 b1 ... an bn .

14

Если – любой вектор, то скалярное произведение D и D является векторами, которые определяются соответственно формулами

D a1 b1 ... an bn u, D a1 b1 ... an bn w.

Два диадика D и E равны тогда, когда для любого вектора

D E или D E .

Единичный диадик I – это такой диадик, который представляется в виде

I e1 e1 e2 e2 e3 e3 e e ; , 1,2,3 ,

где ei – векторы любого ортонормированного базиса в трехмерном евклидовом пространстве; – символ Кронекера.

Единичный диадик I характеризуется следующим свойством:

I I

для всех векторов .

Векторные произведения и D являются диадиками, которые определяются соответственно формулами

Легко усмотреть, что скалярное произведение любых двух диадиков D и E тоже является диадиком:

D Е a b c d b c a d .

Более подробно свойства тензоров и действия над ними будут описаны в разделах 9 и 10.

15

6.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ

ВДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

6.1. ВЕКТОРЫ

Пусть ei – ортонормированный базис в трехмерном пространстве

i 1,2,3; ei ej ij ji 0 (i j) 1 (i j) .

Тогда любой вектор может быть представлен в виде разложения по этому базису, к примеру:

16

Символы Леви–Чивита (дискриминантный тензор, более подробно см. в разд. 8.8) определяются так:

1, если i, j, k образуют четную перестановку

из 1, 2, 3,

eijk ei e j ek 1, если i, j, k образуют нечетную перестановку

из 1, 2, 3,

0, если в числе индексов есть одинаковые. Из (8) следует, что

ei e j eij e .

Тогда для производных векторов a a e , b b e , c c e

a b a b e e , a b c e a b c .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Пусть ei и ei – два ортонормированных базиса. Произвольный вектор a может быть представлен в любом из них:

a a e или a a e .

Из факта инвариантности вектора a следует, что

a e a e .

После скалярного умножения этого равенства на ei/ находим

вектора позволяет дать следующее определение вектора (тензора пер-

17

вого ранга): совокупность трех скалярных функций является (декартовым) тензором первого ранга (вектором) тогда, когда при повороте системы координат каждая из них преобразуется по формуле (9).

Если это так, то сам инвариантный объект через свои компоненты ai и векторы базиса ei записывается в виде (8).

6.2.ТЕНЗОРЫ

6.2.1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА

ВОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

триада

aibici di e e e

и т. д. В этих выражениях неопределенные произведения базисных векторов eiej , eie jek называются базисными диадами, триадами, по-

лиадами соответственно. Тензор второго ранга (диадик) может быть записан в виде разложения по базисным диадам:

D a1b1 ... anbn a b a b e e d e e .

Здесь dij – компоненты тензора второго ранга; в трехмерном про-

странстве их девять.

Тензор третьего ранга, очевидно, запишется так:

T t e e e .

Из сказанного ясно, что ранг тензора определяется количеством индексов у его компонент.

18

6.2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Умножим (10) скалярно на ei :

ei d e e d ei e e d i e di e li d e . (11)

После скалярного умножения уравнения (11) на вектор ej получаем закон преобразования компонент тензора di j при повороте декартовой

преобразуются по формуле (12), можно говорить, что совокупность di j является декартовым тензором второго ранга. Закон преоб-

разования компонент декартовых тензоров более высокого ранга записывается по аналогии с (12).

7.КОСОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

7.1.КОВАРИАНТНЫЙ И КОНТРАВАРИАНТНЫЙ БАЗИСЫ

В качестве векторов базиса в пространстве можно выбрать любую тройку линейно независимых векторов Ri (см. раздел 4.4). Эти векторы линейно независимы и образуют правую тройку, если

19

Здесь V – это объем параллелепипеда, построенного на Ri . Любой вектор a можно разложить в этом базисе:

Поставим следующую задачу: какими должны быть векторы X , Y и Z, чтобы

Подставив (13) в (14), получим систему уравнений для нахождения X :

Ясно, что этой системе уравнений удовлетворяет вектор

Действуя аналогично, можно найти:

Принято обозначать X R1, Y R2 , Z R3 . Тройка векторов Ri

образует в данной точке контравариантный базис. Базис Ri называют

ковариантным. Говорят также, что ковариантный и контравариантный базисы являются взаимными:

20