Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

К примеру,

Коэффициенты ikj в этом разложении называются символами Кристоффеля второго рода. Они симметричны по индексам i и j :

Для прямоугольной декартовой системы координат Ri ei const и,

следовательно, символы Кристоффеля первого и второго рода равны нулю. Но для произвольной системы координат эти трехиндексные символы, вообще говоря, не равны нулю и это означает, что они не могут быть компонентами тензора третьего ранга (см. раздел 9.7). Для фактического вычисления символов Кристоффеля в произвольной системе координат можно использовать формулы (60)–(62). Однако это можно сделать и иным способом. Очевидны следующие формулы:

51

Отсюда

Если учесть (25), то формула (61) для вычисления символов Кристоффеля второго рода примет следующий вид:

Подставляя в это выражение (64), получаем

Выражение для производных от вектора контравариантного базиса имеет вид

Действительно [см. (17)],

Отсюда, учитывая (61), получаем (66). Таким образом, компоненты метрического тензора определяют символы Кристоффеля первого и второго рода и тем самым выражения (60) и (66).

52

11.2.КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

11.2.1.КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРА

можно записать два равенства:

Первое из них называют ковариантной производной по qi контравариантной компоненты вектора U j в метрике gi j Ri Rj , второе – кова-

риантной производной по qi ковариантной компоненты вектора в той же метрике. Используя (69) и (70), записываем (67) и (68) в виде

53

Таким образом, с введением ковариантных производных правило дифференцирования векторов в криволинейных координатах оказывается таким же, как в прямоугольных декартовых.

11.2.2. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ТЕНЗОРА

Пусть, к примеру, тензор второго ранга задан как функция пере-

менных qi . Найдем его производную, не останавливаясь на особенностях предельно перехода:

Учтем (60) и (66), тогда

54

Равенства (72), следовательно, можно записать в символическом виде:

В скобках здесь находятся ковариантные производные соответствующих компонент тензора второго ранга:

Таким образом, с введением ковариантных производных тензора (74) правило дифференцирования тензора второго ранга в криволинейных координатах оказывается таким же, как в прямоугольных декартовых (напомним, что для прямоугольной декартовой системы координат символы Кристоффеля равны нулю и, следовательно, ковариантная производная равна частной производной).

Аналогично формальная производная любого тензора по координа-

те qi сводится к постановке символа ковариантного дифференцирования перед его компонентами.

55

11.2.3. СВОЙСТВА КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТОЖДЕСТВО РИЧЧИ. ТЕНЗОР РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

Правила вычисления ковариантной производной суммы и произведения компонент тензоров те же, что и при обычном дифференцировании суммы и произведения.

Используя символ ковариантного дифференцирования, равенства (60) и (66) можно представить в виде

Таким образом, при ковариантном дифференцировании координатные векторы и компоненты метрического и дискриминантного тензоров следует рассматривать как постоянные.

Важным является следующее утверждение: совокупность ковариантных производных компонент тензора ранга n есть тензор ранга n 1. Докажем это утверждение для тензора первого ранга – вектора.

Очевидно,

U U q ,qi q qi

или

i U R q U R .

qi

На основе (39) последнее равенство записываем в виде

i U R q q U Rqi q

56

и, умножая его скалярно на Rj/ [см. (17)], получаем:

i U j q q U .

qi q j

Сравнение полученного результата с (42) позволяет утверждать, что это – ковариантные компоненты тензора второго ранга. Этот тен-

зор называют градиентом вектора U и символически записывают так:

С помощью равенств (25) тензор (77) можно разложить по смешанным базисным диадам:

В силу (74)

g U g U U .

Поэтому

U U R R .

Таким образом, iU j и iU j – это ковариантные и смешанные компоненты одного и того же тензора второго ранга.

Тождество Риччи. Тензор Римана–Кристоффеля

Применяя к тензору (77) формулы ковариантного дифференцирования (74), можно получить тождество Риччи

k jUi j kUi Rk j,iU ,

где

57

Эти величины являются компонентами тензора четвертого ранга – тензора Римана–Кристоффеля (см. раздел 9.7 – обратный тензорный признак). Именно они определяют, является ли существенным порядок ковариантного дифференцирования. Заметим, что в прямоугольных декартовых координатах все символы Кристоффеля равны нулю и вместе с ними равны нулю все компоненты тензора Римана–Кристоффеля. Но такую систему координат всегда можно ввести только в евклидовом пространстве, и поэтому общий вывод заключается в том, что порядок ковариантного дифференцирования безразличен вевклидовомпространстве.

Отметим также, что тензор (78) называют смешанным тензором Римана–Кристоффеля или тензором Римана–Кристоффеля второго рода. Ассоциированный тензор

известен как ковариантный тензор Римана–Кристоффеля или тензор Римана–Кристоффеля первого рода.

11.3. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

11.3.1.ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА. ГРАДИЕНТ ТЕНЗОРА

В тензорном анализе широко используется оператор Гамильтона(набла, набла-вектор, набла-оператор), который равен

58

11.3.2. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Это понятие производной по направлению распространяется на векторы и тензоры:

div T T .

Дивергенция тензора, следовательно, есть тензор, рангом на единицу меньше; дивергенция вектора есть скаляр. Для скаляра понятие дивергенции лишено смысла.

59

gg g ,

q

т. е.

11.3.4. РОТОР ТЕНЗОРА

Ротором тензора Т называют векторное произведение символического вектора (набла) на этот тензор:

Очевидно, что это псевдотензор. При вычислении векторного произведения необходимо использовать формулы и обозначения раздела 8.8.

Кпримеру,

rotU U R U R U R R U R . (85)

60