Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

Представим U как сумму

U 12 U U 12 U U ,

в которой первое слагаемое симметрично по , , а второе

12 U U

кососимметрично по тем же индексам. В силу свойства 5 (см. раздел 9.7) равенство (85) преобразуется к виду

rotU U R .

11.3.5. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Оператором Лапласа называют дифференциальный оператор

.

Лапласианом тензора Т является, следовательно, тензор той же валентности

.

Для скалярной функции (q1, q2 , q3 )

R R g

Гармоническое (уравнение Лапласа) и бигармоническое уравнения в произвольной системе координат запишутся так:

g 0 , g g 0.

61

11.4. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Наша цель здесь – записать известные формулы Гаусса–Остро- градского и Стокса в тензорной символике. В курсах математического анализа они выводятся в прямоугольных координатах. Идея состоит в том, что тензорная форма записи этих формул инвариантна относительно выбора системы координат.

Формула Гаусса–Остроградского в декартовой системе координат записывается так:

62

Применительно к вектору

Для скаляра имеем

qrad dV dV n ds.

Формула Стокса может быть записана так:

где R – радиус-вектор произвольной точки контура L ; s – поверх-

ность, опертая на контур L ; n – единичная нормаль к s ; U – вектор, заданный на поверхности s , включая ее контур L . Криволинейный

интеграл в равенстве (90) называют циркуляцией вектора по замкнутому контуру L , поверхностный – потоком ротора вектора через поверхность s . Поверхностные интегралы в первых формулах (88) и (89)

называют потоком соответственно тензора Т и вектора U через поверхность s .

63