Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

9.4. ОПЕРАЦИЯ СВЕРТЫВАНИЯ ТЕНЗОРОВ

Пусть имеется тензор

T t R R R t R R R ... .

Если конкретизировать неопределённое произведение базисных векторов в T , то, к примеру, получим

T1 t R R R t R t R t R ,

T2 t R R R t R t R c R ,

T3 t R R g t R a R .

Указанный переход от тензора T к тензорам T1, T2 , T3 называется

свертыванием тензора по паре индексов. В результате этой операции получаем тензор, ранг которого на две единицы меньше ранга исходного тензора.

Свёртка и двойная свёртка двух тензоров

Рассмотрим тензорное произведение двух тензоров D и T :

DT d R R t R R d t R R R R .

Свернем его по индексам и , получим переход от DT к D T .

В этом смысле на скалярное произведение можно смотреть как на результат свертывания перемножаемых тензоров.

Аналогично двойное свертывание двух тензоров можно интерпретировать как двойное скалярное произведение. Для двухвалентных тензоров D и T операция двойной свертки означает вычисление скаляра.

41

9.5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ

По аналогии со скалярным произведением вводится векторное произведение тензоров (см. также раздел 5). По определению

D T d R R t R R R

d t R R R R R

d t R R R R

Таким образом, результатом векторного произведения двух тензоров является псевдотензор, ранг которого на единицу меньше суммы рангов перемножаемых тензоров. Для тензоров можно определить и смешанное, и дважды векторное произведение, аналогично тому, как это было сделано для диад (см. раздел 5).

9.6. ОПЕРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИЗОМЕРА ТЕНЗОРА. СОПРЯЖЕННЫЙ ТЕНЗОР

К числу алгебраических операций над тензорами относится образование изомера. Изомер образуется при изменении порядка следования индексов в компонентах тензора. Например, если D – тензор второго ранга:

D d R R d R R d R R d R R ,

то он имеет единственный изомер

D d R R d R R d R R d R R .

Тензор D называется сопряженным для тензора D .

42

9.6.1. СИММЕТРИЧНЫЙ И КОСОСИММЕТРИЧНЫЙ ТЕНЗОРЫ

Тензор называется симметричным относительно пары индексов, если он равен своему изомеру, полученному при перестановке этих индексов. Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он называется кососимметричным относительно рассматриваемых индексов. Тензор называют симметричным, если его компоненты не меняют своих значений ни при каких изменениях порядка следования индексов. Тензор, компоненты которого меняют знак при изменении следования любой пары индексов, называют кососимметричным. Из такого определения следует, что компоненты кососимметричного тензора, имеющие одинаковые индексы, равны нулю.

9.6.2. ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИРОВАНИЯ И АЛЬТЕРНИРОВАНИЯ ТЕНЗОРОВ

Любой тензор можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной части по рассматриваемой паре индексов. Например,

Операции, при помощи которых получены выражения t.. ij .. и t.. ij .. ,

называются соответственно симметрированием и альтернированием по паре индексов. Указанные операции применяются и к большему числу индексов. Например,

Очевидно, что симметрирование не меняет компонент симметричного тензора, а альтернирование – кососимметричного.

43

9.7. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ

1. Любая линейная комбинация тензоров одинакового ранга является тензором того же ранга. Это свойство следует из определения сложения и умножения тензоров на скаляр.

2. Если все компоненты тензора обращаются в нуль в одной координатной системе, то они равны нулю во всех координатных системах.

3. Симметричность и кососимметричность тензора являются инвариантными свойствами.

4. (Обратный тензорный признак). Если свертывание величин, снабженных индексами, с компонентами произвольного тензора приводит к компонентам тензора, то рассматриваемые величины являются компонентами тензора, тип которых определяется расположением индексов этих величин.

и кососимметричного (по выделенной паре индексов) тензоров. Тогда

d.. ..t....... 0 .

....... .. ..

Доказательство очевидно:

d t d t d t d t ,

откуда и следует утверждение.

10.ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА

10.1.СОПРЯЖЕННЫЙ И САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ТЕНЗОРЫ

Пусть t R R t R R ... и * t R R t R R ... –

два тензора второго ранга, a a R a R – произвольный вектор.

Вычислим скалярные произведения:

a t R R a R t a R ... ,

(49)

a * a R t R R t a R ... .

44

Из равенств (49) и (50) следует, что тензор , сопряженный к , яв-

ляется его изомером:

t R R .

Тензор является самосопряженным, если *. Понятие самосопряженности тензора равносильно его симметричности.

10.2. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТЕНЗОРОВ

Для любых тензоров второго ранга Т, D, V и вектора a справедливы формулы

D V D V ,D a D a ,

a D a D D a,

a D a D D a,

D D ,

D V V D ,

( n ) ( )n , Sp( ) Sp ,

Sp ( )n Sp ( n ) Sp ( n ).

45

Они легко доказываются, если перейти к представлениям тензоров через базисные диады.

Для симметричного тензора Т и любых двух векторов a и n имеет место равенство n a a n .

10.3. ГЛАВНЫЕ ВЕКТОРЫ И ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ИНВАРИАНТЫ

Если для ненулевого вектора a и некоторого числа выполнено условие

то вектор a называют главным (собственным) вектором тензора Т, а соответствующее направление называется главным направлением (главной осью) тензора Т, число же называется главным (собственным, характеристическим) значением тензора Т. Учитывая, что

G a g R R a R g a R g a R a R a ,

Если записать (52) в компонентной форме, то получим систему однородных линейных уравнений

ti i a 0

относительно компонент вектора a, имеющую ненулевое решение

Разыскивая определитель, уравнение (53) можно записать следующим образом:

46

где

В частности, для декартового базиса

Sp t , Sp( 2 ) t t , Sp ( 3 ) t t t .

Итак, главные значения тензора суть корни характеристического уравнения (54). Характеристические уравнения для Т и Т* совпадают (см.

раздел 10.20).

Если t1, t2 , t3 – корни характеристического уравнения, то по теореме Виета

Из уравнения (55) можно найти

Sp J1 t1 t2 t3 ,

Sp ( 2 ) J12 2J2 t12 t22 t32 ,

Sp ( 3 ) 3J3 3J1J2 J13 t13 t23 t33.

Функции компонент тензора J1, J2 , J3 или Sp , Sp( 2 ), Sp( 3 )

называются инвариантами тензора Т. Их инвариантность следует,

например, из вариантности операции вычисления следа тензоров Т, Т2 и Т3.

47

10.3.1.СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ВЕКТОРОВ

ИГЛАВНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Из алгебры известно, что для симметричной матрицы все три корня характеристического уравнения являются вещественными числами. В данном случае это означает, что симметричный тензор имеет три вещественных главных значения, среди них могут быть равные. Кратко сформулируем основные результаты, относящиеся к трем ситуациям, возникающим после решения характеристического уравнения.

1-й случай. Все корни характеристического уравнения различны:

2-й случай. Два корня характеристического уравнения совпадают: t1 t2 t3 . С точностью до множителя 1 определяется лишь единич-

ный главный вектор a1 . В качестве главных векторов a2 и a3 можно

выбрать два любых взаимно ортогональных вектора, лежащих в плоскости, перпендикулярной вектору a1 .

3-й случай. Все три корня характеристического уравнения совпадают: t1 t2 t3 . В этом случае в качестве главного ортонормирован-

ного базиса можно выбрать любую ортонормированную тройку векторов a1 , a2 , a3 .

10.3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА В ГЛАВНОМ БАЗИСЕ

Возьмем в качестве базисных векторов тройку ортонормированных

главных векторов ai ai тензора Т. Тогда представление этого сим-

метричного тензора в терминах его ортонормированных главных векторов и главных значений имеет вид:

Итак, в главном базисе число компонент симметричного тензора второго ранга равно трем. Но тогда инварианты тензора – функции этих трех компонент. Следовательно, число инвариантов не может

быть больше трех. В силу независимости инвариантов J1, J2 , J3 можно утверждать, что число независимых инвариантов двухвалентного

48

симметричного тензора равно трем. Заметим, что если t1 t2 t3 t ,

то тройка главных значений также представляет собой набор независимых инвариантов.

10.4. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА–КЭЛИ. СООСНОСТЬ СТЕПЕНЕЙ ТЕНЗОРА

Каждая пара – собственный вектор ai и соответствующее ему собственное число ti – удовлетворяют уравнению (52): ( tiG) ai 0.

Таких уравнений три. Используя для тензора Т представление в виде (57), легко доказать следующее равенство:

Это равенство выражает теорему Гамильтона–Кэли: двухвалентный тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Из равенства (59) также следует, что Т3 представляет квадратичную функцию от тензора Т с коэффициентами, зависящими от его инвариантов. Умножая (59) скалярно на Т, получаем, что и Т4 также есть квадратичный трехчлен от Т с коэффициентами, зависящими от инвариантов. Аналогичное замечание можно сделать о любой степени Тn. Используя для тензора Т его представление в главном базисе (57), легко показать, что

n t1na1a1 t2na2a2 t3na3a3.

Отсюда ясно, что главные оси для всех степеней тензора совпадают (говорят, степени симметричного тензора – это соосные тензоры), а главные значения их суть степени соответствующих главных значений.

10.5. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ И ДЕВИАТОРЫ

Вектором симметричного тензора Т на площадке с единичной нормалью n называется вектор Pn n . Концы этого вектора в данной точке пространства «ометают» поверхность второго порядка – эллип-

49

соид Ламе. Для метрического тензора G n n , и поэтому его поверхность Ламе является шаровой. Таким образом, каждый шаровой тензор имеет вид G где – скаляр. Двухвалентный тензор, для которо-

го равен нулю его первый инвариант (след, линейный инвариант), называется тензором-девиатором или просто девиатором. Каждый двухвалентный тензор Т единственным образом представим в виде суммы шарового тензора и девиатора. Это представление имеет вид

13 J1( )G D( ),

где через D( ) обозначена девиаторная часть тензора Т; первое слагаемое есть шаровая часть тензора Т.

Очевидно, что касательная составляющая вектора Pn (тензора Т)

на площадке с нормалью n не зависит от шаровой части тензора, а

зависит лишь от его девиатора. Отметим также, что главные векторы тензора и его девиатора совпадают (тензор и его девиатор – соосные

11. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА

При дифференцировании векторов и тензоров необходимо считаться с тем, что координатные векторы (а значит, диады и полиады) являются функциями координат.

11.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ ВЕКТОРОВ. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ

Пусть Ri (q1, q2 , q3 ) и Ri (q1, q2 , q3 ) – основной и взаимный ко-

ординатные базисы криволинейной системы координат qi . Производ-

ная любого вектора по параметру есть вектор, который, как и любой другой вектор, можно представить в виде разложения по соответствующему базису.

50