Введение в тензорное исчисление. Конспект лекций

8.7. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

Вектор, соединяющий две близкие точки, в декартовой системе координат записывается так:

ds dx e .

В силу (35) и (36) тот же вектор в криволинейной системе координат определяется равенством

той же точки, что и вектор ds . Можно вычислить косинус угла между ними:

Равенства (43) и (44) позволяют установить геометрический смысл компонент метрического тензора (см. также раздел 7.3.2). Так, рас-

сматривая элемент дуги q1 – линии (dq1 0, dq2 dq3 0) , получаем первое из следующих равенств:

ли между дифференциалами криволинейных координат и отвечающими им дифференциалами дуг координатных линий.

Косинусы угла ij между qi и q j -линиями находим, считая dqi 0, dq j 0, dqk 0, qi 0, q j 0, qk 0 (i j k) :

31

Таким образом, ковариантные компоненты метрического тензора с разными индексами определяют углы между соответствующими координатными линиями. Для криволинейных ортогональных координат

gij 0 и gij 0 при i j. В этом случае

(ds)2 g11(dq1)2 g22 (dq2 )2 g33 (dq3 )2 H H dq dq ,

где Hi2 gii – коэффициенты Ламе криволинейной ортогональной системы координат. Если координаты прямоугольные декартовы, то

gij gij gij ij – символ Кронекера.

Из формул (23) и (31)–(33) следует, что метрический тензор позволяет связать между собой ко- и контравариантные компоненты вектора и тензора второго ранга. Этот прием применим к тензорам любого ранга.

Подсчитаем скалярное произведение векторов a и b :

a b a b R R g a b a b a b a b g .

Отсюда

a b a2 g a a g a a a a , cos a b g a b / a b .

Пусть кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями qi qi (t) . Тогда

dqi dqi dt dt

и согласно (43) для нее

(ds)2 g dq dq (dt)2 , dt dt

32

и длина дуги этой кривой между точками t t и t t будет

Из равенства (26) следует, что величина gij является алгебраическим дополнением элемента gij в определителе gij , деленным на g. Кроме того, по известному правилу перемножения определителей из (26) сле-

Следовательно, объем параллелепипеда, построенного на векторах ковариантного базиса,

V R1 R2 R3 g .

Соответственно объем параллелепипеда, построенного на векторах контравариантного базиса:

33

8.8.ДИСКРИМИНАНТНЫЙ ТЕНЗОР

ИСВЯЗАННЫЕ С НИМ СООТНОШЕНИЯ

Векторы взаимного (контравариантного) базиса были определены соотношениями (15)–(16):

В общем виде можно записать:

Из свойств векторного произведения следует, что входящие в (45) символы eijk – это символы Леви–Чивита. Причем e123 e231 e312 1 ,

e132 e231 e213 1, а остальные равны нулю. Совершенно аналогично вводятся символы Леви–Чивита с верхними индексами eijk :

Компоненты дискриминантного тензора (или тензора Леви–Чивита) определяются равенствами

То, что эти величины являются компонентами тензора

R R R R R R ,

устанавливается с помощью (38), (39). Этот тензор обладает тем почти очевидным свойством, что его компоненты при переходе от «правой»

базисной тройки Ri к «левой» тройке Ri (или наоборот), кроме того,

что преобразуются по «тензорному закону (42)», изменяют знак на противоположный. Такие тензоры в физике и механике называют «псевдотензорами». К примеру, векторное произведение двух векторов, в силу своего обычного определения, является одновалентным псевдотензором, или псевдовектором (аксиальным вектором).

34

С помощью (25) можно получить и такие практически важные формулы:

Равенства (45) позволяют вычислить площади элементарных координатных площадок. Так, для площадки q1 const

Площадь элементарной координатной площадки qi const : dS(i) (ggii )1/2 dq j dqk , (i j k i) .

Объем элементарного координатного параллелепипеда

35

36

9. АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ. ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

При построении любых операций с тензорами мы исходим из установленных выше свойств неопределенного произведения векторов.

9.1. СЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ

Сложение определено только для тензоров одинакового ранга (одной и той же валентности). При этом, если нас интересуют компоненты суммы, слагаемые следует представить в терминах компонент од-

ного и того же типа.

Например, если D d R R , T t R R , то

D T (d t )R R .

Итак, сумма двух тензоров есть тензор того же ранга, причём его компоненты суть суммы соответствующих компонент слагаемых тензоров.

9.2. УМНОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НА ЧИСЛО

Тензор, представленный в любой форме, можно умножать на число. Результат есть тензор того же ранга, компоненты которого получены

37

Очевидно, что умножение тензоров некоммутативно, т. е. DT TD . Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей.

9.3.2. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ

Понятие скалярного произведения тензоров является обобщением соответствующего понятия для векторов, диад и полиад (см. раздел 5.1). Так, если

D d R R d R R d R R и т. д. T t R R R t R R R и т. д.,

то их скалярное произведение есть тензор ранга на две единицы меньше, чем сумма рангов перемножаемых тензоров:

D T d R R t R R R d t R R R R Rd t g R R R c R R R

или

D T d R R t R R R d t R R R R Rd t R R R d t R R R c R R R , и т. д.

Здесь ci j k di t j k g , cij k di t j k .

9.3.2.1. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НА МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

Скалярное умножение тензора (в частности, вектора) на метрический тензор G (слева или справа) приводит к исходному тензору. К примеру,

GT g R R t R R R g t R R R R R

g g t R R R ,

38

но, в силу (26), g g и поэтому

G T t R R R t R R R T .

9.3.2.2. СТЕПЕНЬ ТЕНЗОРА ВТОРОГО РАНГА

Результат скалярного умножения двухвалентного тензора самого на себя представляет собой также двухвалентный тензор, который называют квадратом исходного тензора. Вообще любая целая положительная степень тензора второго ранга есть, в свою очередь, тензор второго ранга.

Действительно, если D d R R , то

D2 D D d R R d R R d d R R R R

9.3.2.3.ОДНО ИЗ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА

Всвете понятия скалярного произведения компоненты тензора

Аналогично:

T Rk R j ta j k RT Rk R j Ri ta jk .

39

Компоненты для тензора второго ранга (27)

dij Ri D Rj , dij Ri D R j ,

поэтому сам тензор D может быть представлен в виде

D R D R R R R D R R R и т. д.

9.3.3. ДВОЙНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ (ДВОЙНАЯ СВЁРТКА)

Двойным скалярным произведением (двойной свёрткой) двух тензоров D и T , к примеру (см. также раздел 5.1), называется тензор

D : T d R R : t R R R d t R R R R R

Результатом двойного скалярного перемножения двух тензоров второго ранга является скаляр. Для двухвалентного тензора T справедливо равенство T : G G : T .

След тензора

Следом тензора T (линейным инвариантом, первым инвариантом) называется двойная свёртка T : G. Обозначается след тензора SpT.

Пусть

T t R R t R R t R R t R R – тензор второго ранга.

Тогда его след

SpT T : G t R R : g R R t g g g

40