Введение в математическую физику. Учебно-методическое пособие

УДК 517,958 (076) ББК 22.311я7 В 24

Введение в математическую физику: Учебно-методическое пособие /

А.С. Гусев, Н.И. Каргин, Р.В. Рыжук, С.М. Рындя, Н.В. Сигловая [Электронный ресурс]. М.: НИЯУ МИФИ, 2023. 56 с.

ДанытеоретическийматериалипрактическиезаданиядлястудентовИнститута нанотехнологий в электронике, спинтронике и фотонике НИЯУ МИФИ, обучающихся по направлению «Электроника и наноэлектроника». Дополняет курс «Уравнения математической физики». Может быть использовано для подготовки к поступлению в магистратуруНИЯУ МИФИ.

Краткийкурссостоит из девятизанятий. Первое занятиепосвященознакомству с математическим аппаратом физики. Рассматриваются дифференциальные операторы, используемые в математической физике. Тема второго занятия – линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, содержащие две независимые переменные, их классификация и приведение к каноническому виду. Третье занятие посвящено классификации основных уравнений математической физики. Тема четвертого занятия – простейшие задачи о колебаниях струны, продольных и крутильныхколебаниях вала, сводящиеся к решению волнового уравнения методом разделения переменных. Приведено волновое уравнение для плоской электромагнитной волны. В пятом разделе рассмотрены задачи о применении метода разделения переменных для простейших уравнений параболического типа. В разделе, посвященном шестомузанятию, собраны некоторые задачи, приводящие к решению уравнения Лапласа. Дополнительно в седьмом, восьмом и девятом разделах рассматриваются уравнение Пуассона, классический гармонический осциллятор на примере электромагнитного колебательного контура, а также дисперсионное соотношение для колебаний одномерной моноатомной цепочки.

Сформулированы основные краевые задачи и приведены примеры решения. В конце каждого раздела имеются задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы. В конце пособия приведены тестовые задания для контроля успеваемости студентов.

Рецензенты:

КатинКонстантинПетрович, д-рфиз.-мат. наук, проф. кафедрыфизикиконденсированных сред НИЯУ МИФИ;

Тарелкин Сергей Александрович, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, зав. лабораторией алмазной электроники ФГБНУ ТИСНУМ.

Содержание

Практическое занятие 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ФИЗИКИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРЕДМЕТЕ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ», ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ С ОПЕРАТОРАМИ

Теоретическая часть

Напомним, что производной функции y = f(x) по ее параметру x

называется функция от х, определяемая следующим образом:

Итерированная операция дифференцирования приводит к высшим производным

, ,… .

Если у есть функция от некоторой функции u, т.е. y = y(u), где u = u(x), то выполняется «цепное правило» дифференцирования:

Дифференцирование многопараметрической функции (функции от нескольких переменных) по одному из ее параметров при условии, что остальные остаются постоянными, приводит к понятию о частной производной

Например:

4

Предположим далее, что w = f(u1, u2, u3, u4 … um) есть функция m аргументов u1, u2, u3, u4, …, um, а каждый из них зависит от x, y, z, то:

;

;

.

Если заданафункция w = f(u1, u2, u3, u4, …, um), гдеu1, u2, u3, u4, …, um, в свою очередь, зависят только от x, то w, по сути дела, является

функцией только от одной переменной, и можно ставить вопрос о нахождении производной dw/dx. Так как u1, u2, u3, u4, …, um – функции только от x, их частные производные обращаются в обыкновенные:

Эта формула носит названиеформулыдля вычисления полной произ-

водной dw/dx (в отличие от частной производной ).

Операциюдифференцированияможнопредставитьввиделинейного оператора

5

Оператор D является сингулярным, т.е. не имеет однозначно определенного обратного оператора D-1. Только при введении дополнительного краевого условия f(a) = 0 можно определить D-1 равенством D-1 = I, где I – оператор интегрирования:

,

при этом DI = ID = 1.

Другими дифференциальными операторами, часто применяемыми в математической физике, являются следующие два оператора.

1. – оператор «набла» (символический вектор):

.

Приумножениивектора наскалярнуюфункциюu(x, y, z) получаем градиент этой функции, т.е. вектор, проекциями которого на оси ко-

ординат являются значениячастных производных , , , функции u(x, y, z) в соответствующей точке:

.

При этом говорят, что в области существования функции u определено векторное поле градиентов:

grad .

2. – оператор Лапласа.

Напомним, что дивергенцией векторной функции

называется выражение:

div .

Если вектор F есть градиент некоторой скалярной функции u(x, y, z), иными словами имеется потенциальное векторное поле, то проекции вектора F на оси будут равны соответственно:

; ; .

6

Ясно, что u = ( u), т.е. = 2.

1.2.grad(c ) = c grad .

1.3.grad(c1 + c2 ) = c1 grad + c2 grad .

1.4.grad( ) = grad + grad , гдес, c1 и c2 – постоянные, и

– скалярные функции от переменных x, y, z.

Вопросы

1.Дайте определение частной производной функции.

2.Дайте определение полной производной функции.

3.Перечислитеосновныедифференциальныеоператоры, используемые в математической физике. Чем обусловлена необходимость

их применения?

4.Чему равно скалярное произведение символического вектора

на векторную функцию

?

5.Чему равно векторное произведение символического вектора

на векторную функцию

?

7

Практическое занятие 2

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА C ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ,

ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Теоретическая часть

Пусть u = u(x,y) – неизвестная функция двух независимых переменных x и y. Тогда уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

Тип уравнения определяется в зависимости от величины

∆:

если ∆ 0, то уравнение гиперболического типа; если ∆ 0, то уравнение параболического типа; если ∆ 0, то уравнение эллиптического типа.

Для приведения (2.1) к каноническому виду следует написать уравнения характеристик

канонический вид уравнения эллиптического типа.

В качествепримера определим тип данного уравнения спостоянными коэффициентами и приведем его к каноническому виду:

a 1, b 1, c 2,

∆1 – уравнение эллиптического типа.

Уравнение характеристик для него можно записать следующим образом:

0,

√

,

9

Подставляя полученные значения частотных производных в данное уравнение, получим

В том случае, если дифференциальное уравнение содержит переменные коэффициенты, его тип может изменяться в зависимости от

того значения, которое принимает величина ∆ . Ясно, что при этом изменяется и канонический вид уравнения. При решении таких задач каждаяиз областей, гдетип заданного уравнения сохраняется, рассматривается отдельно. Например:

0– уравнение Трикоми.

10