Введение в математическую физику. Учебно-методическое пособие

(5.11’). Иными словами, необходимо, чтобы v(0) = 0, v(L) = 0. Подставляя значения x = 0 и x = L в равенство (5.17), получаем:

0, так как в противном случае было бы v(x) 0 и u 0, что противоречит условию. Таким образом, должно быть sin λ 0.

Откуда

где n = 1, 2, ….

Подставив для каждого значения n и учитывая, что С2 = 0, получаем набор решений уравнения (5.9), удовлетворяющих гранич-

ным условиям (5.11) и (5.11’):

В выражении (5.20) постоянная С3n включена в С1n.

Сумма решений является решением, поэтому функция, представленная рядом

будет решением дифференциального уравнения (5.9). Решение (5.21) должно также удовлетворять начальному условию (5.10). Этого можно добиться подбором постоянной С1n. Подставив в равенство (5.21) t = 0, получим

Коэффициенты Фурье для ряда (5.22)

Таким образом, ряд (5.21), где коэффициент C1n определяется по формуле (5.23), является решением уравнения (5.9) и удовлетворяет граничным и начальным условиям.

31

5.2. Второй закон Фика

Пусть вещество диффундирует в объеме вдоль оси 0Х. При этом концентрация диффундирующего вещества во всех точках плоскости, перпендикулярной оси 0Х, одинакова. Пусть с(x, t) – концентрация вещества плоскости с абсциссой х в момент времени t.

Согласно первому закону Фика

где – плотность потока диффузии, т.е. количество диффундирующеговещества, проходящегочерез единицуплощади в единицувремени.

Z

Jx

Y

Рис. 5.2. К выводувторого закона Фика

Рассмотрим некоторый элементарный объем, ограниченный плоскостями, перпендикулярными оси 0Х и проходящими через точки с абсциссами x1 и х2 (рис. 5.2). При этом x2 х1 = dx.

Количество атомов диффузанта, прошедшее через сечение пло-

концентрации в рассматриваемом элементарном объеме на некото-

Выражение (5.30) отражает второй закон Фика.

Начальныеусловияв данном случаебудут отражатьтот факт, что в момент времени t = 0 в каждой точке рассматриваемого объема может иметься некоторая концентрация диффундирующего веще-

ства, т.е. с(x, 0) = (x).

В наиболеепростом случае, когда на границах объема поддерживается некоторая концентрация, граничные условия запишутся так: u(0 ,t) = 1(t), u(L, t) = 2(t). В случае, если границы непроницаемы

Задачи

5.1. Дан тонкий однородный стержень длиной L, изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна

. Концы стержня поддерживаются при температуре,

равной нулю. Определите температуру стержня в момент времени

t 0.

5.2. Дан тонкий однородный стержень длиной L, начальная температура которого равна нулю. На концестержня x = L температура поддерживается равной нулю, а на конце x = 0 она растет линейно

33

со временем так, что u(0, t) = At, где А – постоянная. Найдите распределение температуры вдоль стержня при t 0.

5.3. Растворенное вещество с начальной концентрацией С0 = const диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями x = 0 и x = h, в растворитель, ограниченный плоскостями x = h и x = L. Определите процесс выравнивания концентрации, предполагая, что границы х = 0 и х = L непроницаемы для вещества.

5.4. Давление и температура воздуха в цилиндре 0 х L равны атмосферным. Одинконец цилиндра в момент времени t = 0 открыт, а другой остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа в окружающей атмосфере C0 = const. С момента времени t = 0 газ диффундирует через открытый конец. Найдите количество газа, продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация равна нулю.

Вопросы

1.Назовите основной закон, используемый при выводе уравнения теплопроводности.

2.Что называется уравнением баланса?

3.Как будет выглядеть уравнение (5.8) при стационарных условиях?

4.Поясните первую краевую задачу для распространения тепла.

5.Какие физические явления можно описать уравнением Фурье?

34

Практическое занятие 6

ВЫВОД И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА, ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Теоретическая часть

Пусть имеется однородное тело, ограниченное поверхностью . Как было показано ранее, температура этого тела в разных точках будет удовлетворять уравнению:

Если имеем дело с установившимся процессом, то температура тела не зависит от времени, а зависит только от координаты рассматри-

ваемой точки, т.е. 0. Тогда уравнение (6.1) можно записать следующим образом:

0. (6.2)

Это выражение называется уравнением Лапласа.

Уравнение(6.2) может быть записано болеекоротко через оператор Лапласа – :

≡ ∆ .

Функции u, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются

гармоническими.

Для того чтобы температура тела определялась однозначно из

уравнения (6.2), нужно знать температуру на поверхности . Поэтому краевая задача формулируется следующим образом:

Эта задача называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей

для уравнения Лапласа.

Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой потокв каждой точкеповерхности, который пропорциона-

лен u , то на поверхности будем иметь условие

n

Вкачествепримера рассмотрим внутрипрямоугольника0 < x < a;

где u0(x, y) – гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция u1(x, y) обращалась в нуль во всех вершинах прямоугольника, а в остальном была совершенно произвольна.

Гармоническая функция u1(x, y) удовлетворяет краевым условиям:

монических функций, каждая из которых принимает заданное значение на одной из сторон и обращается в нуль на остальных трех сторонах.

Найдем одну из таких функций u11(x, y) из уравнения

представлено рядом вида (6.9) с Сn согласно (6.10), где n задается интегралом (6.11).

Вопросы

1.Что называется решением уравнения Лапласа?

2.Какие функции называются гармоническими?

3.В каком случае уравнения гиперболического и параболиче-

ского типа сводятся к уравнению Лапласа?

4. Используются ли начальные условия при решении уравнения Лапласа?

37

Практическое занятие 7

УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Теоретическая часть

Неоднородное дифференциальное уравнение – уравнение, в кото-

ром имеется свободный член не равный тождественно нулю. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона. Уравнение Пуассона является наиболее важным уравнением для электростатики. Оно описывает связь электрического поля и потенциала в любых средах с пространственно распределенным объемным зарядом. Для простейшего одномерного случая это уравнение принимает вид

. (7.1)

где ψ(x) – зависимость потенциала от координаты; ρ – плотность объемного заряда; ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника; ε0 – диэлектрическая постоянная.

Рассмотрим, как изменяются электрическое поле и потенциал в области пространственного заряда на выпрямляющем контакте ме- талл-полупроводник (барьер Шоттки). Для определенности будем считать, что полупроводник имеет n-тип проводимости и легирован однородно по всему своему объему.

Заряд в области барьера Шоттки для полупроводника n-типа, как известно, обусловлен ионизованными атомами донорной примеси, распределенными по объему с некоторой концентрацией. Эта концентрация для однородно легированного полупроводника будет постоянной ND+. Тогда можно записать

При интегрировании уравнения Пуассона будем иметь в виду,

Выбрав константу интегрирования из расчета, что при некотором x = W (рис. 7.1, а) электрическоеполеЕ будет равно нулю, проведем интегрирование уравнения (7.4). Получим

мальной на границе барьера Шоттки (при x = 0), а далее линейно спадает вдоль области пространственного заряда до нуля (см.

рис. 7.1, б).

Чтобы найти распределение потенциала (зависимость потенциальнойэнергии от координаты) проинтегрируем уравнение(7.5) при следующих граничных условиях: x = W, ψ(W) = 0. Данные граничные условия выбраны исходя из соображений о том, что поле и потенциал существуют в области пространственного заряда. Осталь-

а

б

Рис. 7.1. Распределение электрического поля и потенциала в барьере Шоттки

39

Такимобразом, максимальноезначениепотенциаларассматриваемой системы ψs реализуется в точке x = 0 (это значение в рассматриваемом приближении будет определяться разностью работы выхода электрона изметаллаиполупроводника). Далеепотенциал спадает по параболическому закону, апринекотором x = W обращается в нуль.

Задачи

7.1. Определите, по какому закону будет изменяться поле и потенциал в резком p-n переходе (концентрация легирующей примеси постоянная и равна ND для полупроводника n-типа и NA для полупроводника p-типа). Металлургическая граница p-n перехода соответствует точке x = 0.

7.2.Проанализируйте, по какому закону может изменяться поле

ипотенциал в плавном p-n переходе (концентрация примеси изме-

няется по линейному закону N(х) = ax, где а – градиент концентрации примесей).

Вопросы

1.В чем отличие уравнения Лапласа от уравнения Пуассона?

2.Какие физические системы могут быть описаны уравнением Пуассона?

3.В чем физический смысл приведенных ранее в задаче об электрическом поле и потенциале барьера Шоттки граничных условий?

4.Охарактеризуйте зависимость напряженности электрического поля Е от координаты х в рассмотренном ранее барьере Шоттки.

40