Введение в математическую физику. Учебно-методическое пособие

Практическое занятие 8

УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА (ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР)

Теоретическая часть

Осциллятор – система, совершающая периодические колебания вокруг положения устойчивого равновесия. Гармоническим осциллятором называется система, потенциальная энергия которой квадратично зависит от координаты, а уравнению движения удовлетворяет функция, гармонически зависящая от времени. Типичными примерами гармонического осциллятора являются классический (математический) и торсионный маятники. Среди их немеханических аналогов можно выделить электрический гармонический осциллятор (или электромагнитный колебательный контур).

R

Рис. 8.1. Идеальный электрический колебательный контур (а) и контур с потерями энергии (б)

Идеальный электромагнитный колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности (рис. 8.1, а). Энергия здесь перетекает из электростатической энергии конденсатора в электромагнитную энергию катушки и обратно. Если напряжение на конденсаторе , а – его емкость, то заряд, скопившийся на его обкладках:

или

. (8.1)

41

Сумма двух гармонических сигналов с любыми амплитудами и фазами, но с одинаковой частотой, также является гармоническим сигналом. В нашем случае заряд, а, следовательно, и напряжение на конденсаторе:

Однако реальный колебательный контур всегда обладает электрическим сопротивлением (см. рис. 8.1, б). В результате присутствия резистора в схеме на рис. 8.1 в уравнении (8.3) появится еще одно слагаемое, отражающее падение напряжения на активном сопротивлении R:

или

0. (8.13)

Обозначив ω , гдеω– циклическаячастота собственныхко-

лебаний контура, а 2β, где β – коэффициент затухания, придем к дифференциальному уравнению вида:

Втомслучае, еслиактивноесопротивлениеконтураневелико, решение данного уравнения есть семейство функций вида

со временем как (рис. 8.2). Также необходимо отметить, что циклическаячастотаэтихзатухающихколебанийω отличаетсяот частоты идеального колебательного контура ω, рассмотренного в предыдущем примере:

Рис. 8.2. Затухание колебаний в реальном колебательном контуре

Задачи

8.1. Докажите, что вынужденные колебания в электромагнитном контуре под действием внешней ЭДС, изменяющейся, для определенности, по закону косинуса ( cosω ), будут описываться неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.

8.2. Электромагнитныйколебательный контур (см. рис. 8.1, а) содержит кроме катушки индуктивности и конденсатора источник ЭДС (выдающийпостоянноенапряжение) и ключ. Конденсатор первоначально не заряжен. Что будет происходить в контуре после замыкания ключа? Будут ли в этом случае наблюдаться колебания? Если – да, то какова их частота и амплитуда?

Вопросы

1.Oхарактеризуйте (классифицируйте) дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Запишите его решение.

2.Чем уравнение гармонического осциллятора для идеального колебательного контура отличается от подобного уравнения для случая затухающих колебаний?

3.От чего зависит частота затухающих колебаний в контуре? Совпадает ли она с собственной частотой колебаний идеального контура?

4.Напишитезакон, по которому убывает амплитуда затухающих колебаний в контуре: A(t) = …

44

Практическое занятие 9

КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНОЙ МОНОАТОМНОЙ ЦЕПОЧКИ (ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ)

Теоретическая часть

Запишем еще раз волновое уравнение продольных колебаний стержня/струны:

. (9.1)

Решение данного уравнения представим в виде бегущей волны cos ω , (9.2)

гдеk – волновоечисло. Послеподстановки выражения (9.2) в волновое уравнение (9.1) легко получить:

Таким образом, для упругой волны, распространяющейся по неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (рис. 9.1).

k

Рис. 9.1. Зависимость (k) для упругих колебаний стержня/струны

Рассмотрим теперь модель колебаний одномерной моноатомной цепочки, состоящей из частиц массой m с периодом их расположенияa, вгармоническомприближении. Будемсчитать, чтоатомысвязаны друг с другом квазиупругой силой F с коэффициентом упруго-

сти .

45

Пусть величина un(x, t) описывает смещение в какой-то момент времени n-го атома относительно равновесного положения (n измеряется в единицах межатомного расстояния a: 0, а, 2а, 3а, …). Найдем уравнение движения n-го атома. При этом будем считать, что имеют место короткодействующие силы. Это означает, что рассматриваемый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседями, характеризующимися un+a и un-a (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Одномерная цепочка атомов

Уравнение движения в этом случае примет достаточно простой вид:

Определив силу F, можно записать уравнение движения как

Введем волновой вектор k так, что трансляция на вектор решетки будет равносильна умножению функции на фазовый множитель

. Тогда

или (применяя формулы Эйлера и косинуса двойного угла)

46

Из выражения (9.7) по аналогии с (8.6) следует дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в цепочке из одинаковых атомов:

Поскольку (циклическая частота) не может быть отрицательной, знак « » в выражении (9.8) соответствует области отрицательных значений k (рис. 9.3)

Рис. 9.3. Дисперсионная кривая для линейной цепочки одинаковых атомов (пунктирной линией показана зависимость (t) для продольных колебаний упругой струны. Стрелками обозначена зона Бриллюэна)

Из анализа закона дисперсии следует, что при значении волнового вектора | | циклическая частота колебаний достигает мак-

симального значения 4β⁄ , как это показано на рис. 9.3. Цепочка

атомов ведет себя в отношении распространения волн каксплошная упругая струна только тогда, когда длины этих волн значительно превышают период цепочки. С увеличением волнового вектора наблюдается все большее отклонение от линейного значения (дисперсия частоты). Короткие волны будут распространяться медленнее вследствие инерции масс, образующих цепочку.

47

Задачи

9.1.Оцените скорость распространения продольной звуковой волны в железной струне, если E = 2,1·1011 Па, а = 7,8·103 кг/м3.

9.2.Докажите, что уравнение (9.5) может быть сведено к волно-

вому уравнению сплошной среды в случае |k| << π/a.

Вопросы

1.Какую форму имеет зависимость частоты упругой волны, распространяющейся вдоль неограниченно протяженной струны, от волнового числа?

2.Почему в рассмотренной нами модели колебаний одномерной цепочки атомов наблюдается дисперсия частоты?

3.Каково максимальное значение циклической частоты колебаний в модели одномерной моноатомной цепочки? При каких значениях k оно достигается?

48

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Закончить фразу: «Дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными

является уравнением гиперболического типа, если величина

b2 ac …». A. Больше нуля. Б. Меньше нуля. В. Равна нулю.

2. Закончить фразу: «Дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными

является уравнением параболического типа, если величина

b 2 ac …». A. Больше нуля. Б. Меньше нуля. В. Равна нулю.

3. Закончить фразу: «Дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными

является уравнением эллиптического типа, если величина

b 2 ac …». A. Больше нуля. Б. Меньше нуля. В. Равна нулю.

4. Какие из перечисленных ниже уравнений называются основными уравнениями математической физики?

A. Уравнения гиперболы, параболы, эллипса.

Б. Волновое уравнение, уравнения Фурье и Лапласа. В. Линейные интегральные уравнения.

49