Введение в математическую физику. Учебно-методическое пособие

F F

Рис. 4.2. К выводу уравнения продольных колебаний стержня

Под действием этой силы происходит смещениецентра массэле-

мента х от состояния равновесия на величину, зависящую как от координаты х, так и от времени. Величина этого смещения и будет искомой функцией u(x, t).

По второму закону Ньютона результирующая сила

Так как в соответствии с законом Гука = E = E ux , то

. (4.27)

Таким образом, уравнение, описывающеепродольныеколебания стержня, принимает следующий вид

. (4.28)

Обозначив через а, приходим к волновому уравнению (4.1).

21

Для определения функции u(x, t) имеем следующие начальные и граничные условия:

а) если концы стержня закреплены жестко, то

u(0, t) = u(L, t) = 0 при 0 t + ,

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = F(x) при 0 < x < L;

б) если концы стержня двигаются по заданному закону, то граничные условия имеют вид

u(0, t) = (t), u(L, t) = (t) при 0 t + ,

где (t) и (t) – заданные функции от t;

в) если концы стержня свободны, то граничные условия имеют вид

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 при 0 t + ;

г) если концыстержнязакреплены упруго, тограничныеусловия:

гдеk – коэффициентупругости заделки (предполагается, чтоон одинаков для обоих концов, в противном случае значения константы h для левого и правого концов будут различны).

4.3. Постановка краевой задачи для случая крутильных колебаний стержня

Рассмотрим процесс крутильных колебаний в однородном стержне длиной L с плотностью . Как и в предыдущем случае, расположим стержень вдоль оси х.

Рассматривая крутильные колебания стержня, введем следующие условия:

1)поперечныекруговыесечениястержняпри крученииостаются плоскими и сохраняют между собой первоначальные расстояния;

2)радиусы, проведенные в этих сечениях, не искривляются. Тогда крутильныеколебаниявала можнопредставить какрезуль-

тат сдвигов, вызванных поворотом поперечных сечений друг относительно друга. Кроме того, в поперечных сечениях возникают толькокасательныенапряжения, действующиев плоскости сечения, а нормальные колебания отсутствуют.

22

Так как касательные напряжения симметричны относительно центра поперечногосечения, тоони приводят кпаресил, моменткоторых называется крутильным.

Рассмотрим сечение стержня, взятое на расстоянии х от его начала (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К выводу уравнения крутильных колебаний стержня

Пусть это сечение повернуто относительно равновесного положения на угол . Тогда сечение x + dx окажется повернуто на угол

+ d . Поворот сечений относительно друг друга будет равен d . Вычислим крутящий момент Мх, приложенный к сечению с координатой х. Возьмем для этого элементарный участок стержня dx, огра-

ниченный поперечным сечениями х и х + dx. Угол LA’K’ = d , d – произвольный элемент площади сечения на расстоянии r от центра. Определим величину напряжения , вызванного сдвигом элементарного волокна KK’ в положение KL:

В силу малости угла дугу К’L можно принять за хорду и тогда

Элементарный закручивающий момент на площадь d :

та же, ее можно вынести за знак интеграла при интегрировании выражения (4.34) *

* Выражение представляет собой полярный момент инерциипоперечного сечения х относительно центра, далее J0.

ПовторомузаконуНьютона произведениемоментаинерциитела на угловоеускорениеравномоментувнешних сил относительно оси

Если через К выразить величину момента инерции вала, то момент инерции рассматриваемого участка будет равен Кdx. Момент внешнихсил, действующихнаэлементdx, найдемкакразностьMx+dx и Mx:

Если стержень – однородный, то момент инерции единицы

.

24

Граничныеи начальныеусловия в данном случаезапишутся аналогично условиям для продольных колебаний стержня. Начальные условия в общем случае будут следующими:

(x, 0) = f(x); x(x, 0) = F(x).

Для жестко закрепленных концов граничные условия запишутся следующим образом:

(0, t) = (L ,t) = 0.

Для свободных концов:

x(0, t) = x(L, t) = 0.

Когда концы стержня закреплены упруго:

x(0, t) h (0, t) = x(L, t) + h (L, t) = 0.

4.4. Волновое уравнение для плоской электромагнитной волны

Чтобы показать волновой характер распространения электромагнитного поля запишем уравнения Максвелла для одномерного случая:

где D = 0Е, B = µµ0H. В свою очередь, и µ – относительная ди-

электрическая и магнитная проницаемости; 0 и µ0 – электрическая и магнитная постоянные.

Легко показать, что:

Правые части выражений (4.42) и (4.43) равны, поэтому

(4.44)

Выражение (4.44) – волновое уравнение, в котором коэффициент, стоящий перед , равен квадрату фазовой скорости распростране-

25

Выражение, аналогичное(4.44), можнополучитьидлянапряженности магнитного поля H, если исключить из (4.40) и (4.41) напряженность поля Е.

Задачи

4.1. Однородная струна, закрепленная на концах x = 0 и x = L, имеет в начальный моментвремени формупараболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку x = L/2. Определите смещение точек от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

4.2.Однородная струна длиной L натянута между точками x = 0

иx = L. В точке x = c струна оттягивается на небольшое расстояние h от положения равновесия ив момент времени t = 0 отпускается без начальнойскорости. Определитеотклонениеструны длялюбогомомента времени.

4.3.Изучите продольные колебания однородного цилиндрическогостержня, один конец которогозаделан, а кдругомуконцупри-

4.4. Один конец стержня закреплен, а на другой действует растягивающая силаР. Найдитепродольныеколебаниястержня, если при t = 0 сила Р не действует.

4.5. Изучите вынужденные крутильные колебания струны, закрепленной на конце х = 0 и подверженной на конце х = L действию возмущающей гармонической силы, вызывающей возмущение, равное cosω .

4.6. Найдитекрутильныеколебаниястержня0 х L приначаль-

ных условиях (x, 0) = f(x); x (x, 0) = F(x), если концы стержня свободны.

Вопросы

1.В каком случаеможно использовать метод Фурье для решения задач о колебаниях струны?

2.Поясните физический смысл граничных условий u(0, t) =

=u(L, t) = 0 для случая колебаний струны.

26

3.Какиефизическиезадачи сводятся к решению волнового уравнения?

4.Какиеприближенияиспользуютсяпри выводеуравненияколебания струны?

5.Что означает утверждение, что струна – однородная?

6.Какиеизпараметров струны приводят к линейности волнового уравнения?

7.Как иначе называется метод Фурье для решения уравнения колебаний струны?

8.Почему константа при решении уравнения колебаний струны

выбирается как 2?

9.Что называется собственными функциями или собственными значениями функций?

10.Чем стержень отличается от струны?

11.Поясните физический смысл коэффициента а в уравнении

(4.28).

12.Какиеприближенияиспользуютсяпривыводеуравнения кру-

тильных колебаний стержня?

13.Какой вид принимает волновое уравнение для случая крутильных колебаний стержня?

14.Назовите размерность решения уравнения крутильных коле-

баний стержня.

15.Поясните физический смысл коэффициента а в уравнении крутильных колебаний стержня.

16.Какие координаты используются при выводе крутильных колебаний стержня?

17.Какое состояние параметров приводит к линейности уравнения крутильных колебаний?

27

Практическое занятие 5

ВЫВОД И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Теоретическая часть

5.1. Вывод и решение уравнения теплопроводности

Рассмотрим однородный стержень длиной L. Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне. Расположим ось OX так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой

х = L (рис. 5.1).

Пусть u(x, t) – температура в сечении стержня сабсциссой х в момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость распространениятепла, т.е. количествотепла, протекающегочерез сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

гдеS – площадь поперечногосечениястержня; k – коэффициенттеплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссой х1 и х2 (х2 х1 = х). Количествотепла, прошедшегочерез поперечное сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно

28

Мы применили теорему Лагранжа к разности, стоящей в скоб-

стержня.

Выражения (5.4) и (5.6) записаны для одного и того же количе-

Обозначив k/c = a2, получаем уравнение теплопроводности

Чтобы решение уравнения (5.9) было вполне определено, функция u(x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическому смыслу задачи.

Вообще, краевые условия для решения уравнения (5.9) могут быть различными. Условия, которые соответствуют так называемой

первой краевой задаче, следующие*:

* Уравнение (5.10) – начальное условие, которое соответствует тому, что при

t= 0 в различных сечениях стержня задана некоторая температура. Условия (5.11)

и(5.11’) – граничные условия – соответствуют тому, что на концах стержня поддерживается температура, равная 1(t) и 2(t).

Для простоты примем, что концы стержня поддерживаются при

T = 0, т.е.

Решим уравнение (5.9) методом разделения переменных. Как и в предыдущем случае, будем искать решение в виде u(x, t) = v(x)w(t). Подставляя это выражение в уравнение (5.9), получим

Тогда

’’λ ;

’λ .

Из этих равенств получаем два линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка

* Дифференциальное уравнение (5.14) легко решить методом разделения переменных. Во втором случае характеристическое уравнение запишется следующим образом: