Введение в математическую физику. Учебно-методическое пособие

Практическое занятие 3

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Теоретическая часть

Основными уравнениями математической физики являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I.Волновое уравнение:

. (3.1)

Кисследованиюэтогоуравненияприводит рассмотрениепроцессов поперечных колебанийструны, продольных колебанийстержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

II.Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

. (3.2)

Кисследованиюэтогоуравненияприводит рассмотрениепроцессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторыевопросы теориивероятностей, диффузиии т.д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

III. Уравнение Лапласа:

0. (3.3)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузиии т.д. Этоуравнениеявляется простейшим уравнением эллиптического типа.

Вуравнениях (3.1) и (3.2) искомая функция u зависит от четырех,

ав уравнении (3.3) от трех независимых переменных. Однако в ряде задач о колебаниях струны или мембраны число переменных сокра-

щается. Так, волновоеуравнение, описывающееколебанияструны в плоскости, принимает вид

13

Уравнение теплопроводности с четырьмя независимыми переменными при решении практических задач обычно сводится к уравнению Фурье для одномерного случая, которое легко решается аналитически:

Уравнение теплопроводности в стационарном случае переходит в уравнение Лапласа. Это уравнение в случае трех независимых переменных решается аналитически для случая сферической симметрии и то только в некоторых частных случаях. В свою очередь, некоторые трехмерные задачи можно привести к задачам двумерным, описывающимся уравнением Лапласа с двумя переменными:

0. (3.3’)

Такие уравнения решаются относительно просто методом разделения переменных.

Задачи

3.1.Запишите волновое уравнение для случая трех независимых переменных.

3.2.ЗапишитеуравнениеФурье для случая трех независимых пе-

ременных.

3.3. Запишитеи решитеуравнениеЛапласа дляодномерного случая.

Вопросы

1.Какие уравнения относятся к уравнениям математической физики?

2.Прирешении какихфизических задачиспользуютсяуравнения гиперболического типа?

3.Прирешении какихфизических задачиспользуютсяуравнения параболического типа?

4.Прирешении какихфизических задачиспользуютсяуравнения

эллиптического типа?

14

Практическое занятие 4

ВЫВОД И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Теоретическая часть

4.1.Вывод и решение уравнения колебания струны

Вматематической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна

длины L в начальный момент направлена по отрезку оси 0X от 0 до L (рис. 4.1). Предположим, что концы струны закреплены в точках X = 0 и X = L. Если струну отклонить от еепервоначального положения, а потом предоставить самой себе, то струна начнет колебаться, т.е. точки струны будут совершать движения. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Мы будемрассматриватьтолькомалыеотклоненияточекструны от начального положения в одной плоскости (плоскость задана системой координат – осями 0X и 0U). В силу этого можно предположить:

1) движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0X, при этом процесс колебания струны описывается одной функцией u(x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент времени t (см. рис. 4.1);

2) длина элемента струны MM’ равняется ее проекции на ось 0X,

т.е. MM’ = x.

Такжебудем предполагать, что натяжениево всех точках струны одинаковое (обозначим его через Т).

Рассмотрим элемент струны MM’. На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т (см. рис. 4.1). Пусть каса-

тельныеобразуют с осью 0X углы и + . Тогда проекция на ось 0U сил, действующих на элемент MM’, будет равна sin φ

15

* Последнее равенство вытекает из геометрического смысла производной. Как известно, u’(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции u(x) в соответствующей точке M(x, y) с положительным направлением оси 0X. Таким образом, tg( ) = u’(x).

Применив формулуЛагранжа к выражению, стоящемув скобках, получим:

ξ

изводнойвнекоторойпромежуточнойточкеинтерваланаприращениенезависимой переменной.

U

Рис. 4.1. К выводу уравнения колебаний струны

Для того чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять к силе инерции. Пусть

– линейнаяплотность струны. Тогда масса элемента струны будет

16

Таким образом, уравнениеколебанияструны есть волновоеуравнение. Однако для полного определения движения струны одного уравнения (4.5) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ее граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (x = 0 и x = L), иначальным условиям, описывающим состояниеструны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Так как по условию задачи концы струны жестко закреплены в точках X = 0 и X = L (и потому неподвижны), при любом t должны выполняться равенства

Вначальный моментt = 0 струнаимеет определеннуюформу, которую ей придали. Пусть этаформа определяетсяфункцией f (x). Та-

точке струны, которая определяется функцией (x). Таким образом, должно быть

значениезависит от Т и ρ (т.е. от материала струны и еегеометрических параметров).

17

* В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, а в правой части – функция, не зависящая от t. Равенство (4.9) возможно только в том случае, когдалеваяиправаячастинезависят ниотx, ниотt, т.е. равны постоянному числу:

Изэтих равенств получаем два линейных однородных дифферен-

* Решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка заключается в составлении характеристического уравнения и определении его корней. Характеристические уравнения для дифференциальных уравнений (4.11) и (4.12) запишутся соответственно:

k2+ 2 = 0;

Легко убедиться, что корни полученных квадратных уравнений:

, λ,

,λ.

18

Так каквобоих случаях корнихарактеристическогоуравнения– чистомнимые, решением дифференциального уравнения (4.11) будет функция v(x) вида (4.13), а решением уравнения (4.12) – функция w (t) вида (4.14).

Следовательно, общее решение уравнения (4.5) принимает вид

где (n = 1, 2,…)*.

Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции называ-

ются собственными функциями. Подставив для каждого значения n и учитывая, что С1 = 0, получаем набор решений уравнения (4.5), удовлетворяющих граничным условиям (4.6) и (4.6’) *:

* Для каждого значения n необходимо брать свои С2, С3 иС4. В формуле (4.17) постоянная С2n включена вС3n и C4n.

Так как уравнение (4.5) является линейным и однородным, то и сумма егорешений является решением, поэтомуфункция, представленная рядом

также будет решением дифференциального уравнения (4.5).

19

Решение (4.18) должно еще удовлетворять начальным условиям (4.7) и (4.8). Этого можно добиться подбором постоянных С3n и C4n. Подставив в равенство (4.18) t = 0, получим

Определим коэффициенты Фурье для ряда (4.19):

Далее необходимо продифференцировать члены равенства (4.18) по t и подставить t = 0. Из условия (4.8) получается равенство:

С4n определяются как коэффициенты Фурье для ряда (4.21):

Таким образом, ряд (4.18), гдекоэффициенты С3n иC4n определяютсяпоформулам(4.20) и(4.22), являетсярешениемуравнения(4.5) и удовлетворяет граничным и начальным условиям.

4.2. Постановка краевой задачи для случая продольных колебаний стержня

Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче, – значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс, а затем:

вывести дифференциальное уравнение для этой функции;

установить для нее граничные условия;

сформулировать начальные условия.

Рассмотрим распространение продольных волн в однородном стержнедлиной L сплотностью . Стержень имеет цилиндрическую форму с площадью поперечного сечения S (рис. 4.2).

Согласно закону Гука на элемент стержня х действуют силы F1 = S (х) слева и F2 = S (х+ х) справа, где (х) – нормальноеупругое напряжение. Таким образом, на элемент х действует результирующая сила

20