Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г.. Методическое пособие

УДК 51(075.4) ББК 22.1я7

Л 97

Ляпунов, И. Б.

Л97 Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г. : метод. пособие / И. Б. Ляпунов ; СУНЦ НГУ. Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2025. 72 с.

ISBN 978–5–4437–1762–3

Сборник содержит конкурсные задачи по математике для 9-х и 11-х классов СУНЦ НГУ за 2025 г. Все задачи снабжены решениями или подробными указаниями, ответами и критериями оценивания. Данное методическое пособие предназначено для оканчивающих школу учащихся СУНЦ НГУ, учителей старших классов, а также для всех, кто готовится поступать в вузы с усиленными требованиями по математике, в том числе и для подготовки к ЕГЭ по математике.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое издание содержит варианты конкурсных задач по математике для 9-х и 11-х классов СУНЦ НГУ за 2025 г. Расположение задач традиционное для такого рода изданий по классам и вариантам. Продолжительность работы выпускников над задачами одного варианта составляет 3 ч 55 мин. Из-за различия в программах выпускникам физико-математического и химикобиологического профиля предлагались различные по трудности варианты задач, для 11 класса, сответственно, 511 514 и 521 524, а для 9 класса 5911 5914 и 5921 5924. Задачи для 9 класса по традиции размещены после задач для 11 класса. Все задачи снабжены решениями или подробными указаниями, критериями оценивания и ответами. В целях наглядности изложения решений на отдельных рисунках допущены отступления от реальных размеров. Задачи настоящего сборника позволяют составить представление о требованиях к подготовке выпускников СУНЦ НГУ по математике.

Все задачи являются оригинальными, в том смысле, что составлены заново, именно для данного этапа конкурса, при этом, часть идей по составлению задач заимствована из материалов вступительных испытаний ведущих вузов страны разных лет.

Пособие будет полезно как учащимся СУНЦ НГУ, оканчивающим школу, так и учителям старших классов, а также всем, кто готовится поступать в вузы с усиленными требованиями по математике, в том числе и для подготовки к ЕГЭ по математике.

И. Б. Ляпунов

Р А З Д Е Л 1 УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ

2025 год, 11 класс

Вариант 511

1. а) Решить уравнение

4 + 5 cos x 4 cos3 x + 4 cos4 x 4 sin4 x = 0.

б) Указать все корни этого уравнения, принадлежащие проме-

вой стороной AB = 20, биссектриса угла BAD перпендикулярна боковой стороне CD и пересекает ее в точке N. Найти площадь трапеции, если известно, что длина CN = 8.

имеет единственное решение.

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, с ос-

нованием ABCD и боковыми рёбрами AA1, BB1, CC1, DD1, зада- p

ны стороны AB = 4 и BC = 2 17. Сфера, радиуса 5 с центром O, проходит через вершины A, B, C и касается плоскости A1B1C1D1 в точке N. Прямая NO пересекает плоскость ABCD в точке M. Точки P и Q середины отрезков NO и OM, соответственно. Найти объем пирамиды P ABQ.

вой стороной AB = 20, биссектриса угла BAD перпендикулярна боковой стороне CD и пересекает ее в точке N. Найти длину отрезка AN, если известно, что длина CN = 8.

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, с ос-

нованием ABCD и боковыми рёбрами AA1, BB1, CC1, DD1, зада- p

ны стороны AB = 4 и BC = 2 17. Сфера, радиуса 5, с центром O проходит через вершины A, B, C и касается плоскости A1B1C1D1 в точке N. Найти объем пирамиды NOAB, если центр сферы лежит внутри параллелепипеда.

Вариант 522

1. а) Решить уравнение 4 sin3 x + 12 cos 2x + 11 sin x 12 = 0. б) Указать все корни этого уравнения, принадлежащие проме-

вой стороной DE = 15, биссектриса угла EDG перпендикулярна боковой стороне F G и пересекает ее в точке L. Найти длину отрезка DL, если известно, что длина F L = 3.

имеет единственное решение.

5. В прямоугольном параллелепипеде BCDEB1C1D1E1, с ос-

нованием BCDE и боковыми рёбрами BB1, CC1, DD1, EE1, зада- p

ны стороны BC = 8 и CD = 2 39. Сфера, радиуса 8, с центром O проходит через вершины B, C, D и касается плоскости B1C1D1E1 в точке N. Найти объем пирамиды NOBC, если центр сферы лежит внутри параллелепипеда.

8 Условия конкурсных задач

Вариант 523

1. а) Решить уравнение 4 cos3 x 8 cos 2x + 7 cos x 8 = 0.

б) Указать все корни этого уравнения, принадлежащие проме-

имеет единственное решение.

5. В прямоугольном параллелепипеде CDEF C1D1E1F1, с осно-

ванием CDEF и боковыми рёбрами CC1, DD1, EE1, F F1, заданы p

стороны CD = 6 и DE = 2 82. Сфера, радиуса 10, с центром O проходит через вершины C, D, E и касается плоскости C1D1E1F1 в точке N. Найти объем пирамиды NOCD, если центр сферы лежит внутри параллелепипеда.

Вариант 524

1. а) Решить уравнение 4 sin3 x + 12 cos 2x 13 sin x 12 = 0. б) Указать все корни этого уравнения, принадлежащие проме-

единственное решение.

5. В прямоугольном параллелепипеде DEF GD1E1F1G1, с ос-

нованием DEF G и боковыми рёбрами DD1, EE1, F F1, GG1, за- p

даны стороны DE = 8 и EF = 2 119. Сфера, радиуса 12, с центром O проходит через вершины D, E, F и касается плоскости D1E1F1G1 в точке N. Найти объем пирамиды NODE, если центр сферы лежит внутри параллелепипеда.

2025 год, 9 класс

Вариант 5911

1. Моторная лодка и плот одновременно отплыли из одной точки на берегу реки. Лодка проплыла вниз по течению 105 км, развернулась и поплыла обратно без затрат времени на остановку, вернувшись в начальную точку через 12 ч после отправки. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она на своем обратном пути встретила плот в 30 км от места его отправления.

5. Найти все значения параметра a; при каждом из которых

p

уравнение (x + 1)2 + (a + 3)2 25 a(x2 16) = 0 имеет ровно три различных решения.

Вариант 5912

1. Моторная лодка и плот одновременно отплыли из одной точки на берегу реки. Лодка проплыла вниз по течению 120 км, развернулась и поплыла обратно без затрат времени на остановку, вернувшись в начальную точку через 10 ч после отправки. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она на своем обратном пути встретила плот в 40 км от места его отправления.