Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г.. Методическое пособие

да (x + 9)2 + (a + 7)2 625 = 0 части окружности с центром в точке ( 9; 7) и радиусом равным 25, лежащие в разрешенных областях. Координаты точек пересечения прямых с окружностью, включая точку касания, вычисляются из уравнения и обозначены на рисунке. Числу решений уравнения, при каждом значении параметра a, соответствует число точек пересечения горизонтальной прямой с полученным множеством, искомые значения параметра a находятся из рисунка.

Ответ: f32g [ [ 31; 7) [ ( 7; 0) [ (0; 17).

Вариант 5914

1.Указание: пусть скорость лодки в стоячей воде равна v км/ч,

аскорость течения u км/ч. Время в пути лодки по течению равно v90+u ч, а её время в пути обратно v90u ч. По условию

90 + 90 = 8. Время в пути лодки против течения от момента

v+u v u

разворота до встречи с плотом равно 90v u36 ч, время в пути плота

откуда v90+u + v54u = 36u , 90u(v u) + 54u(v + u) = 36v2 36u2, 144uv 36u2 = 36v2 36u2, 144uv = 36v2, 4u = v. Подставив

найденное соотношение в первое уравнение, получим уравнение

Ответ: 24 км/ч.

2. Указание: применяя определение арифметической прогрессии, имеем уравнение ak+1 ak = ak+2 ak+1, откуда, после преобразований, получим формулу 2ak+1 = ak + ak+2. Подставляя в

Отбрасывая знаменатель и применяя формулу косинуса двойного

угла в виде cos 2 = 2 cos2 1, получим уравнение p

2 17 2 cos 17 = 2 (2 cos2 1) 17 + 114, p

которое приводится к виду 17 cos2 9 17 cos +20 = 0. Заменив p

y = cos , y 2 [ 1; 1], получим уравнение 17y2 9 17y + 20 = 0 с

сторонний корень. Применяя основное тригонометрическое тождество sin2 +cos2 = 1, находим sin = p117 , откуда ak+1 = 9. Для вычисления ak найдем по формулам двойного угла значения

Пусть ak = 154 , ak+1 = 9, тогда разность прогрессии будет равна d = 9 154 = 214 . Из свойств арифметической прогрессии имеем ak a12 = a1 + (k 1)d (a1 + (12 1)d) = (k 12)d, откуда

целым, поэтому данный случай невозможен.

Пусть ak = 154 , ak+1 = 9, тогда разность прогрессии будет равна d = 214 . Подставив найденные значения в обоснованную выше формулу, получим k = 12 ( 154 33) 214 = 19 в ответ.

Ответ: 154 ; k = 19.

3. Указание: прямоугольные треугольники CDG и EDF с общим углом D подобны по двум углам. Пусть CF = t, F D = 41t, CD = 42t, DG = 21n, GE = 20n, DE = 41n.

Из подобия имеем равенство отноше- p

ний 4142nt = 2141nt , откуда n = t 2. Пусть

\D = ', тогда cos ' = 1 , ' = 45 ,

p

2

а оба подобных треугольника рав-

нобедренные, откуда CG = 21n. По

теореме Пифагора для треугольника

CGE имеем 292 = (21n)2 + (20n)2,

откуда n = 1, а значит CG = 21. В прямоугольном треугольнике OGE угол OEG равен 45 , он тоже равнобедренный, откуда OG = 20.

Площадь треугольника COE найдем как разность площадей тре-

угольников CGE и OGE по формуле

S4COE = 12 CG GE 12 OG GE = 12 (21 20) 20 = 10. Ответ: 10.

15 + 2x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 2x 15 = 0, у которого корень x1 = 3, x2 = 5 посторонний. В итоге, x 6= 3. Окончательно, неравенство имеет смысл

после преобразований и удаления из знаменателя положитель-

jxj2 2jxj 3 = 0 найдем когда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (jxj+1)(jxj 3) = 0, откуда x = 3 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепишем его с учетом полученного раз-

знак дроби не влияет, разделим обе части неравенства на это вы-

x > 0 знаменатель дроби положителен, неравенство равносильно x 3 < 0, откуда x 2 [0; 3) в ответ, полученный промежуток полностью состоит из допустимых значений x. При x < 0 неравенство

Сучетом ограничений находим x 2 152 ; 3 [ ( 3; 0) в ответ. Ответ: 152 ; 3 [ ( 3; 3].

ражения a(x2 625) > 0 задает разбиение плоскости xOa двумя вертикальными прямы-

ми x = 25 и горизонтальной прямой a = 0 на разрешенные и запрещенные области. Опре-

делить разрешенные области, которые заштрихованы на рисунке, можно, например, с помощью пробной точки. Сами прямые (первые три множества) соответствуют решениям уравнения при обращении второго множителя в нуль. Последнему из множеств соответствует равный нулю первый множитель уравнения, откуда (x + 16)2 + (a + 9)2 1681 = 0 части окружности с центром в точке ( 16; 9) и радиусом равным 41, лежащие в разрешенных областях. Координаты точек пересечения прямых с окружностью, включая точку касания, вычисляются из уравнения и обозначены на рисунке. Числу решений уравнения, при каждом значении параметра a, соответствует число точек пересечения горизонтальной прямой с полученным множеством, искомые значения параметра a находятся из рисунка.

Ответ: f50g [ [ 49; 9) [ ( 9; 0) [ (0; 31).

Варианты 5921–5924

Каждая задача варианта 592N либо является частным случаем задачи с таким же номером из варианта 591N, либо совпадает с ней в большей части.

1. Решение является частью решения задачи из варианта 591N, скорость течения там вычислена.

2.Решение является частью решения задачи из варианта 591N.

3.Часть решения задачи из варианта 591N.

4.Решение похоже на решение задачи из варианта 591N, но отличается отсутствием модуля.

5.Решение в большей части совпадает с решением задачи из варианта 591N.

Решения задач 4 и 5 заслуживают отдельного внимания и приводятся далее.

Вариант 5921

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

99 + 2x > 0;

p

p99 + 2x 6= x:

Найдем корни уравнения 99 + 2x = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат, имеем 99+2x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 2x 99 = 0, у которого корень x1 = 9, x2 = 11 посторонний. В итоге, x 6= 9. Окончательно, неравенство имеет смысл при x 2 992 ; 9 [( 9; +1).

гда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (x 7)(x+ 9) = 0, откуда x = 7 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепи-

записи учтено, что перенос множителя из знаменателя в числитель строгого неравенства сохраняет равносильность. При x > 0 знаменатель дроби и множитель x+9 положительны, неравенство эквивалентно (x 7)(x 9) > 0, откуда x 2 [0; 7) [ (9; +1) в ответ. При x < 0 два множителя из числителя дроби отрицательны, их одновременное удаление дает равносильное неравенство

Вариант 5922

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

77 + 4x > 0;

p

p77 + 4x 6= x:

Найдем корни уравнения 77 + 4x = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат, имеем 77+4x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 4x 77 = 0, у которого корень x1 = 7, x2 = 11 посторонний. В итоге, x 6= 7. Окончательно, неравенство имеет смысл при x 2 774 ; 7 [( 7; +1).

гда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем

(x 3)(x+ 7) = 0, откуда x = 3 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепи-

записи учтено, что перенос множителя из знаменателя в числитель строгого неравенства сохраняет равносильность. При x > 0

знаменатель дроби и множитель x+7 положительны, неравенство эквивалентно (x 3)(x 7) > 0, откуда x 2 [0; 3) [ (7; +1) в ответ. При x < 0 два множителя из числителя дроби отрицательны, их одновременное удаление дает равносильное неравенство

Сучетом ограничений находим x 2 774 ; 7 [ ( 7; 0) в ответ. Ответ: 774 ; 7 [ ( 7; 3] [ (7; +1).

Вариант 5923

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

45 + 4x > 0;

p

p45 + 4x 6= x:

Найдем корни уравнения 45 + 4x = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат, имеем 45+4x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 4x 45 = 0, у которого корень x1 = 5, x2 = 9 посторонний. В итоге, x 6= 5. Окончательно, неравенство имеет смысл при x 2 454 ; 5 [ ( 5; +1).

Перепишем неравенство в виде одной дроби, сравниваемой с ну-

гда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (x 1)(x+ 5) = 0, откуда x = 1 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепи-

записи учтено, что перенос множителя из знаменателя в числитель строгого неравенства сохраняет равносильность. При x > 0 знаменатель дроби и множитель x+5 положительны, неравенство эквивалентно (x 1)(x 5) > 0, откуда x 2 [0; 1) [ (5; +1) в ответ. При x < 0 два множителя из числителя дроби отрицательны, их одновременное удаление дает равносильное неравенство

Сучетом ограничений находим x 2 454 ; 5 [ ( 5; 0) в ответ. Ответ: 454 ; 5 [ ( 5; 1] [ (5; +1).

ке, можно, например, с помощью пробной точки. Сами прямые (первые два множества) соответствуют решениям уравнения при обращении второго множителя в нуль. Последнему из множеств соответствует равный нулю первый множитель уравнения, откуда (x + 9)2 + (a + 7)2 625 = 0 часть окружности с центром в точке ( 9; 7) и радиусом равным 25, лежащая в разрешенной области. Координаты точек пересечения прямых с окружностью, включая точку касания, вычисляются из уравнения и обозначены на рисунке. Числу решений уравнения, при каждом значении параметра a, соответствует число точек пересечения горизонтальной прямой с полученным множеством, искомые значения параметра a находятся из рисунка.

Ответ: f32g [ [ 31; 7) [ ( 7; 17] [ f18g.

Вариант 5924

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

15 + 2x > 0;

p

p15 + 2x 6= x:

Найдем корни уравнения 15 + 2x = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат, имеем 15+2x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 2x 15 = 0, у которого корень x1 = 3, x2 = 5 посторонний. В итоге, x 6= 3. Окончательно, неравенство имеет смысл при x 2 152 ; 3 [ ( 3; +1). Перепишем неравенство в виде одной дроби, сравниваемой с ну-

2(x2 32) x2+15+2x

лем, имеем (x+p15+2x)(x 3) > 0, после преобразований получим

гда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (x 1)(x+ 3) = 0, откуда x = 1 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепи-

записи учтено, что перенос множителя из знаменателя в числитель строгого неравенства сохраняет равносильность. При x > 0 знаменатель дроби и множитель x+3 положительны, неравенство эквивалентно (x 1)(x 3) > 0, откуда x 2 [0; 1) [ (3; +1) в ответ. При x < 0 два множителя из числителя дроби отрицательны, их одновременное удаление дает равносильное неравенство