Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г.. Методическое пособие

2025 год, 9 класс

61

x+3

> 0, которое при x 2

15

; 3 [ ( 3; 0) равносильно

x+p

2

15+2x

совокупности систем неравенств

3 < x < 5;

2

(p15 + 2x > x;

2

(x + 3)(x

5) < 0;

x + 3 > 0;

x + 3 > 0;

6

x + 3 < 0;

,

6

x + 3 < 0;

,

x <

3:

6

6

p

6

(x + 3)(x

5) > 0

15 + 2x < x

6 (

6

4

4

5. Указание: решениям уравнения, при каждом значении пара-

метра a, соответствуют пересечения горизонтальной прямой

a = q с объединением трех

множеств точек координатной

плоскости xOa при имеющих-

ся ограничениях. Условие су-

ществования подкоренного вы-

ражения x2 625 > 0

зада-

ет разбиение плоскости

xOa

двумя вертикальными прямы-

ми x = 25 на разрешенную и

запрещенные области. Опреде-

лить разрешенную область, ко-

торая заштрихована на рисун-

ке, можно, например, с помощью пробной точки. Сами прямые

(первые два множества) соответствуют решениям уравнения при

обращении второго множителя в нуль. Последнему из множеств

соответствует равный нулю первый множитель уравнения, откуда

(x + 16)2 + (a + 9)2 1681 = 0 часть окружности с центром в

точке ( 16; 9) и радиусом равным 41, лежащая в разрешенной

области. Координаты точек пересечения прямых с окружностью,

включая точку касания, вычисляются из уравнения и обозначены

на рисунке. Числу решений уравнения, при каждом значении па-

раметра a, соответствует число точек пересечения горизонтальной

прямой с полученным множеством, искомые значения параметра

a находятся из рисунка.

Ответ: f50g [ [ 49; 9) [ ( 9; 31] [ f32g.

62

Указания, решения, критерии оценивания

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 1

7

Описка в ответе при верном решении.

6

Арифметическая ошибка, задача доведена до ответа.

4

Одно из: более одной арифметической ошибки, при

2

этом задача доведена до ответа; либо записана только

верная система (уравнение) без ответа.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 2

7

В ответе указан номер k, отличающийся на 1 от пра-

6

вильного.

Одно из: арифметическая ошибка, при этом ход реше-

4

ния верный; либо верно найдено только значение cos

с отбраковкой постороннего корня.

Одно из: верно найдены оба значения cos и посторон-

2

нее не отбраковано; либо имеется верное рассуждение

(найдено уравнение с ограничениями), которое можно

довести до правильного ответа, при этом ответ может

быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 3

7

Ответ получен с одной арифметической ошибкой или

6

опиской.

Одно из: две арифметических ошибки; либо неверно

4

применена формула площади.

Критерии оценивания, 9 класс

63

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 3

Имеется верное геометрическое рассуждение (вклю-

2

чающее все следующие элементы: найдены подобные

треугольники, составлены верные уравнения), которое

можно довести до правильного ответа. Ответ может

быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 4

7

Потеря одной граничной точки.

6

Потеря двух граничных точек.

5

При выписанном ответе одно из: допущена одна ариф-

4

метическая ошибка; либо из ответа не исключен верно

найденный ноль знаменателя.

При выписанном ответе одно из: умножение обеих ча-

2

стей неравенства на знаменатель без учета его зна-

ка; либо возведение в квадрат обеих частей неравен-

ства без учета знака части неравенства, не являющей-

ся корнем.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 5

7

Потеря одной граничной или изолированной точки.

6

Потеря как граничной, так и изолированной точек.

5

При выписанном ответе одно из: допущена арифме-

4

тическая ошибка при вычислении границ параметра,

при верном анализе случаев; либо в ответе содержится

только один неверный промежуток.

Имеется верное рассуждение (верно определены и

2

изображены множества, соответствующие каждому

множителю без учета ограничений, намечена схема ре-

шения), которое можно довести до правильного отве-

та, ответ может быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 1

7

Описка в ответе при верном решении.

6

Арифметическая ошибка, задача доведена до ответа.

4

Одно из: более одной арифметической ошибки, при

2

этом задача доведена до ответа; либо записаны только

верные уравнения без ответа.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 2

7

В ответе имеется описка.

6

Одно из: арифметическая ошибка, при этом ход реше-

4

ния верный; либо верно найдено только значение cos

с отбраковкой постороннего корня.

Одно из: верно найдены оба значения cos и посторон-

2

нее не отбраковано; либо имеется верное рассуждение

(найдено уравнение с ограничениями), которое можно

довести до правильного ответа, при этом ответ может

быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 3

7

Ответ получен с одной арифметической ошибкой или

6

опиской.

Одно из: две арифметических ошибки; либо неверно

4

применена формула площади.

Имеется верное геометрическое рассуждение (вклю-

2

чающее все следующие элементы: найдены подобные

треугольники, составлены верные уравнения), которое

можно довести до правильного ответа. Ответ может

быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Критерии оценивания, 9 класс

65

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 4

7

Потеря одной граничной точки.

6

Потеря двух граничных точек.

5

При выписанном ответе одно из: допущена одна ариф-

4

метическая ошибка; либо из ответа не исключен верно

найденный ноль знаменателя.

При выписанном ответе одно из: умножение обеих ча-

2

стей неравенства на знаменатель без учета его зна-

ка; либо возведение в квадрат обеих частей неравен-

ства без учета знака части неравенства, не являющей-

ся корнем.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 5

7

Потеряно решение в виде одной из двух изолирован-

6

ных или граничных точек.

Потеряно решение в виде двух точек из числа изоли-

5

рованных или граничных точек.

При выписанном ответе одно из: потеряны решения в

4

виде трех из изолированных и граничных точек; ли-

бо допущена арифметическая ошибка при вычислении

границ параметра, при верном анализе случаев.

Имеется верное рассуждение (верно определены и

2

изображены множества, соответствующие каждому

множителю, их взаимное расположение, намечена схе-

ма решения), которое можно довести до правильного

ответа, ответ может быть не получен, либо найдены

только изолированные точки.

Во всех остальных случаях.

0

4.

25

;

9 9

; 11

9 . 5. V1

=

7p17

, V2 = p17.

2.

; 0

[ (0; 1)

[

p15; 15

. 3. 384.

1 4 [ 4

4 [ f g

3

1. а) m, m 2 Z; 6 + 2 k, k 2 Z; 56 + 2 n, n 2 Z; б) 76 ; ; 0.

2.

25 ; 0

[ (0; 3) [ 2p

203 .

3. 252.

5;

4.

;

;

. 5.

1

,

2

.

25

25

19

25

g

V

=

22p39

V

=

10p39

1 6

[ 6 4 [ f

3

3

1. а) 2 + m, m 2 Z; 3 + 2 k, k 2 Z; б)

3

; 2 ; 3 .

2

2.

27 ; 0

[ (0; 3) [

p

353 .

3. 420.

35;

2

,

2

2

.

4.

10

10 ; 4

. 5.

1

1

;

81

[

81

35

[ f

81

g

V

= 13 p

82

V

= 7 p

82

1. а) m, m 2 Z; 56

+ 2 n, n 2 Z; 6 + 2 k, k 2 Z; б) 0; ; 76 .

2.

27 ; 0

[ (0; 1) [ 2p

3. 180.

7; 28 .

,

.

4.

;

8

8

; 4

. 5. 1

p

2

p

1

49

[

49

27

[ f

g

49

V = 10

119

V

= 6 119

Предисловие

3

Р а з д е л 1. Условия конкурсных задач

4

2025

год, 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2025

год, 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Р а з д е л 2. Указания, решения, критерии оценивания

14

2025

год, 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Критерии оценивания, 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2025

год, 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Критерии оценивания, 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Р а з д е л 3. Ответы

66

2025

год, 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2025

год, 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

70

ДЛЯ ЗАМЕТОК