Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г.. Методическое пособие

2025 год, 11 класс

31

SBCDE =

1

1

2

16

12 = 15

192 = 180 искомая площадь,

в ответ.

4

16

Ответ: 180.

4. Указание: равенство имеет смысл, когда a 6=

70 и выраже-

ние под знаком корня неотрицательно, откуда x >

2 . Основание

степени определено при всех действительных x. Перепишем урав-

p

нение в

p2x

x 2

33

2x 7

49x2+33a2

2x a

7

=

x

2

a2x

a

49

x

49a

,

x

2 + 33

33

2 + 33 = 1

эквивалентном виде

+

=

2

a

49

a

+ 49

. Если x a2

3349 6

, то урав-

p

a. При

+

= 1 уравнение

нение равносильно 2x

7 = 2x

a

49

примет вид верного числового равенства

1 = 1 для всех допу-

стимых x. Таким образом, требуется найти такие a, при которых

совокупность уравнений "

p

2x 7 = 2x a;

имеет единственное

x

2 + 33

= 1

a

49

решение. Рассмотрим оба

уравнения по отдельности.

уравнения в квад-

При

2x

a

>

0

возведем обе части первого

a)

2

, которое

рат, получим равносильное

уравнение 2x

7 = (2x

2

2

+ 7 = 0

приведем к стандартному виду 4x2

2(2a + 1)x + a

. Это

2

27

уравнение имеет корни при (2a+1)

4(a +7) > 0, a >

4

, которые

вычисляются по формулам x1

p

, x2

p

= 2a+1+

4a 27

=

2a+1 4a 27 .

При a =

27

4

4

уравнение имеет одно решение, оно удовлетворяет

4

a

>

0

x

2x

1

a

>

0

условию 2x 27

. Корень

1

удовлетворяет условию

при всех a

>

, корень x удовлетворяет условию 2x

2

a

>

0 при

27

4

2

4 6 a 6

7.

x

=

4 a и x

=

4 a

которые

Второе уравнение дает корни

3

7

4

7

4,

>

7

всегда различны при a 6= 0. Корень x3 существует при

7 a

2 , от-

32

Указания, решения, критерии оценивания

x

=

2a+1+p4a 27

;

a

2a

27

; +

;

1

4

4

1

2x2 =

2a+1 p4a 27

;

27

; 7 ;

6x3 =

4

a

2

4

;

74 a;

2

498

; +

6

74 a;

a

1

:

6x4 =

; 498

6

1

4

2

Число корней может уменьшиться, если часть из них совпадет,

или станет посторонними. Над числовой осью, для параметра a,

нанесем схема-

тично линия-

ми корни x1,

x2, x3 и x4. Пе-

ресечения ли-

ний изобража-

ют совпадения

корней. На рисунке линия каждого корня проведена над его обла-

стью существования. Требуется, чтобы произвольная вертикаль-

ная прямая над числовой осью имела ровно одно пересечение с

линиями. Область, которой соответствует ровно один корень, за-

штрихована на числовой оси, также выделена отдельная точка,

соответствующая ровно одному корню.

Ответ: 1; 498

[ 498 ; 274

[ f49g.

2025 год, 11 класс

33

5. Указание: возможны два случая положения центра сферы

внутри или снаружи паралле-

лепипеда, при этом расстояние

от центра сферы до плоскости

DF = q82

2

2p135

+ (2p119)p

=

, откуда MF = p135. По теоре-

12

2

ме Пифагора OM =

135 = 3. Искомый объем пирамиды

сферы и длины OM, откуда получаем искомый объем пирамиды

V1 = VP DEQ = 31 8 2

p

119 12+32 = 10p119 в ответ.

4

муле VP DEQ = 31 SDEM P Q, где длина P Q равна полуразности

радиуса сферы и длины OM, откуда получаем искомый объем

8 2p

12 3

= 6p

пирамиды

1

119

в ответ.

V

2

= V

P DEQ

=

119

3

4

2

p

p

Ответ: V1 = 10

119, V2 = 6 119.

p2x 3 = 2x + a. При

a9

2

+

95

= 1, a = 6 уравнение примет вид

тельных x и a. Если

a9

2

+

95 6= 1, то уравнение равносильно

верного числового

равенства 1 = 1 для всех допустимых x, что со-

2025 год, 11 класс

35

4x2 + 2(2a

1)x + a2 + 3 = 0

к стандартному виду

2

4(a

2

11

. Это уравнение

имеет корни при (2a 1)

+3) > 0, a 6

4

, которые вычис-

p

p

ляются по формулам x1

=

1 2a+

4a 11

, x2 =

1 2a 4a 11

. При

4

4

a = 114 уравнение имеет одно решение, оно удовлетворяет усло-

a

2 + 2516

тельных x и a. Если

25

6= 1, то уравнение равносильно

p

2x

5

= 2x + a. При

a

2 + 16

= 1, a = 15 уравнение примет

25

25

равенства 1 = 1 для всех допустимых x,

вид верного числового

чим равносильное

уравнение 2x

5 = (2x + a)2, которое приведем

2

a

1)x + a2 + 5 = 0

к стандартному виду 4x

2

+ 2(22

19

. Это уравнение

имеет корни при (2a 1)

4(a +5) > 0, a 6

4

, которые вычис-

p

p

ляются по формулам x1 =

1 2a+

4a 19

, x2 =

1 2a 4a 19

. При

4

4

a = 194 уравнение имеет одно решение, оно удовлетворяет усло-

a

2 + 8156

тельных x и a. Если

81

6= 1, то уравнение равносильно

p2x

9 = 2x + a. При

a

2

+ 56

= 1, a =

45 уравнение примет

81

81

чим равносильное

уравнение 2x

9 = (2x + a)2, которое приведем

2

a

1)x + a2 + 9 = 0

к стандартному виду 4x

2

+ 2(22

35

. Это уравнение

имеет корни при (2a 1)

4(a +9) > 0, a 6

4

, которые вычис-

p

p

ляются по формулам x1 =

1 2a+

4a 35

, x2 =

1 2a 4a 35

. При

4

4

a = 354 уравнение имеет одно решение, оно удовлетворяет усло-

a

2 + 4933

тельных x и a. Если

49

6= 1, то уравнение равносильно

p

2x

7

= 2x + a. При

a

2 + 33

= 1, a = 28 уравнение примет

49

49

равенства 1 = 1 для всех допустимых x,

вид верного числового

чим равносильное

уравнение 2x

7 = (2x + a)2, которое приведем

2

a

1)x + a2 + 7 = 0

к стандартному виду 4x

2

+ 2(22

27

. Это уравнение

имеет корни при (2a 1)

4(a +7) > 0, a 6

4

, которые вычис-

p

p

ляются по формулам x1 =

1 2a+

4a 27

, x2 =

1 2a 4a 27

. При

4

4

a = 274 уравнение имеет одно решение, оно удовлетворяет усло-

Критерии оценивания, 11 класс

37

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 1

7

Описка в ответе при верном решении.

6

Получены все верные серии решений пункта а) при

5

частично верном ошибка в одном значении отборе

в пункте б).

Получены только верные серии решений пункта а),

4

при неверном или отсутствующем отборе в пункте б).

Неверно решено простейшее (взято другое значение

2

аркфункции); или найдены вследствие вычислитель-

ной ошибки и верно решены неверные простейшие три-

гонометрические уравнения, при верном отборе из по-

лученных серий, ответ выписан.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 2

7

В ответе потеряна одна допустимая граничная точка.

6

В ответе потеряны две допустимых граничных точки.

5

При выписанном ответе одно из: арифметическая

4

ошибка, приведшая к другому неравенству; либо име-

ются все верные шаги решения без учета модуля.

Выставлен неверный знак неравенства при потенциро-

2

вании, при остальных верных действиях до ответа.

Во всех остальных случаях, в том числе, когда в ответе

0

присутствует хотя бы одна запрещенная точка.

38

Указания, решения, критерии оценивания

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 3

7

Одна арифметическая ошибка, ответ выписан.

6

При верном ходе решения и выписанном ответе одно

4

из: неверно применен коэффициент подобия для пло-

щадей; или имеются две арифметические ошибки.

Имеется верное геометрическое рассуждение (включа-

2

ющее все следующие элементы: трапеция достроена до

треугольника и установлена его равнобедренность, вы-

писано подобие), которое можно довести до правиль-

ного ответа, ответ может быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 4

7

В ответе потеряно ровно одно изолированное или гра-

6

ничное значение.

В ответе потеряны ровно 2 из изолированных или гра-

5

ничных значений.

Одно из: в ответе потеряны все изолированные и

3

граничные значения; либо допущена арифметическая

ошибка.

Найдены верно только все изолированные или гранич-

2

ные значения.

Найдено верно только 2 из изолированных или гра-

1

ничных значений.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 5

7

Одна арифметическая ошибка, ход решения верный.

6

Обоснованно получен верный ответ в одном случае.

5

Более одной арифметической ошибки при верном ходе

4

решения до ответов в обоих случаях.

Более одной арифметической ошибки при верном рас-

3

смотрени только одного случая до ответа.

Найдена только высота параллелепипеда или ее до-

2

полнение до радиуса сферы.

Во всех остальных случаях.

0

Критерии оценивания, 11 класс

39

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 1

7

Описка в ответе при верном решении.

6

Получены все верные серии решений пункта а) при

5

частично верном ошибка в одном значении отборе

в пункте б).

Получены только верные серии решений пункта а),

4

при неверном или отсутствующем отборе в пункте б).

Неверно решено простейшее (взято другое значение

2

аркфункции); или найдены вследствие вычислитель-

ной ошибки и верно решены неверные простейшие три-

гонометрические уравнения, при верном отборе из по-

лученных серий, ответ выписан.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 2

7

В ответе потеряна одна допустимая граничная точка.

6

В ответе потеряны две допустимых граничных точки.

5

При выписанном ответе одно из: арифметическая

4

ошибка, приведшая к другому неравенству; либо име-

ются все верные шаги решения без учета модуля.

Выставлен неверный знак неравенства при потенциро-

2

вании, при остальных верных действиях до ответа.

Во всех остальных случаях, в том числе, когда в ответе

0

присутствует хотя бы одна запрещенная точка.

40

Указания, решения, критерии оценивания

Ошибки или стадии решения

Баллы

Задача 3

Одна арифметическая ошибка, ответ выписан.

6

При верном ходе решения и выписанном ответе одно

4

из: неверно применен коэффициент подобия; или име-

ются две арифметические ошибки.

Во всех остальных случаях.

0

Имеется верное геометрическое рассуждение (включа-

2

ющее все следующие элементы: трапеция достроена до

треугольника и установлена его равнобедренность, вы-

писано подобие), которое можно довести до правиль-

ного ответа, ответ может быть не получен.

Во всех остальных случаях.

0

Задача 4

7

В ответе потеряно изолированное значение.

6

Одно из: задача решена без учета равенства 1 основа-

4

ния; либо допущена арифметическая ошибка.

Найдено верно только изолированное значение и разо-

3

бран случай равенства основания 1.

Найдено верно только изолированное значение.

2

Во всех остальных случаях.

0

Задача 5

7

Одна арифметическая ошибка, ход решения верный.

6

Более одной арифметической ошибки при верном ходе

4

решения до ответа.

Найдена только высота параллелепипеда или ее до-

2

полнение до радиуса сферы.

Во всех остальных случаях.

0