Варианты конкурсных задач по математике СУНЦ НГУ за 2025 г.. Методическое пособие

2025 год, 9 класс

Вариант 5911

1.Указание: пусть скорость лодки в стоячей воде равна v км/ч,

аскорость течения u км/ч. Время в пути лодки по течению равно v105+u ч, а её время в пути обратно v105u ч. По условию

найденное соотношение в первое уравнение, получим уравнение

2. Указание: применяя определение арифметической прогрессии, имеем уравнение ak+1 ak = ak+2 ak+1, откуда, после преобразований, получим формулу 2ak+1 = ak + ak+2. Подставляя в

сторонний корень. Применяя основное тригонометрическое тож-

Для вычисления ak найдем по формулам двойного угла значения

ak = 2 . Рассмотрим оба случая.

Пусть ak = 32 , ak+1 = 5, тогда разность прогрессии будет равна d = 5 32 = 72 . Из свойств арифметической прогрессии имеем

42 Указания, решения, критерии оценивания

значения, получим k = 13 + (32 23) 27 , такое число не является целым, поэтому данный случай невозможен.

Пусть ak = 32 , ak+1 = 5, тогда разность прогрессии будет равна d = 72 . Подставив найденные значения в обоснованную выше формулу, получим k = 13 ( 32 23) 27 = 20 в ответ.

Ответ: 32 ; k = 20.

3. Указание: прямоугольные треугольники ABE и CBD с общим углом B подобны по двум углам.

моугольном треугольнике OEC угол OCE равен 45 , он тоже равнобедренный, откуда OE = 7. Площадь треугольника AOC найдем как разность площадей тре-

угольников AEC и OEC по формуле

S4AOC = 12 AE EC 12 OE EC = 12 (24 7) 7 = 1192 . Ответ: 1192 .

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

99 2jxj > 0;

p

99 2jxj =6 x:

p

Найдем корни уравнения 99 2jxj = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат. Учитывая условие jxj = x, имеем 99+2x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 2x 99 = 0, у которого корень x1 = 9, x2 = 11 посторонний. В итоге, x 6= 9. Окончательно, неравенство имеет смысл при x 2 992 ; 9 [ 9; 992 . Перепишем неравенство в виде од-

после преобразований и удаления из знаменателя положитель-

jxj2 2jxj 63 = 0 найдем когда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (jxj+7)(jxj 9) = 0, откуда x = 9 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепишем его с учетом полученного раз-

знак дроби не влияет, разделим обе части неравенства на это вы-

x > 0 знаменатель дроби положителен, неравенство равносильно x 9 < 0, откуда x 2 [0; 9) в ответ, полученный промежуток полностью состоит из допустимых значений x. При x < 0 неравенство

Сучетом ограничений находим x 2 992 ; 9 [ ( 9; 0) в ответ. Ответ: 992 ; 9 [ ( 9; 9].

5. Указание: решениям уравнения, при каждом значении параметра a, соответствуют пересечения горизонтальной прямой a = q с объединением четырех множеств точек координатной плоскости xOa при имеющих- ся ограничениях. Условие су- ществования подкоренного вы- ражения a(x2 16) > 0 задает разбиение плоскости xOa двумя вертикальными прямы-

ми x = 4 и горизонтальной

прямой a = 0 на разрешенные и запрещенные области. Опре-

делить разрешенные области, которые заштрихованы на рисунке, можно, например, с помощью пробной точки. Сами прямые (первые три множества) соответствуют решениям уравнения при обращении второго множителя в нуль. Последнему из множеств соответствует равный нулю первый множитель уравнения, откуда (x + 1)2 + (a + 3)2 25 = 0 части окружности с центром в точке ( 1; 3) и радиусом равным 5, лежащие в разрешенных областях. Координаты точек пересечения прямых с окружностью, включая точку касания, вычисляются из уравнения и обозначены на рисунке. Числу решений уравнения, при каждом значении параметра a, соответствует число точек пересечения горизонтальной прямой с полученным множеством, искомые значения параметра a находятся из рисунка.

Ответ: f8g [ [ 7; 3) [ ( 3; 0) [ (0; 1).

Вариант 5912

1.Указание: пусть скорость лодки в стоячей воде равна v км/ч,

аскорость течения u км/ч. Время в пути лодки по течению равно v120+u ч, а её время в пути обратно v120u ч. По условию

120 + 120 = 10. Время в пути лодки против течения от момента

v+u v u

откуда v120+u + v80u = 40u , 120u(v u) + 80u(v + u) = 40v2 40u2, 200uv 40u2 = 40v2 40u2, 200uv = 40v2, 5u = v. Подставив

найденное соотношение в первое уравнение, получим уравнение

Ответ: 25 км/ч.

2. Указание: применяя определение арифметической прогрессии, имеем уравнение ak+1 ak = ak+2 ak+1, откуда, после преобразований, получим формулу 2ak+1 = ak + ak+2. Подставляя в

Отбрасывая знаменатель и применяя формулу косинуса двойного

сторонний корень. Применяя основное тригонометрическое тождество sin2 +cos2 = 1, находим sin = p110 , откуда ak+1 = 7. Для вычисления ak найдем по формулам двойного угла значения

Пусть ak = 83 , ak+1 = 7, тогда разность прогрессии будет равна d = 7 83 = 133 . Из свойств арифметической прогрессии имеем ak a17 = a1 + (k 1)d (a1 + (17 1)d) = (k 17)d, откуда

Ответ: 83 ; k = 22.

3. Указание: прямоугольные треугольники BCF и DCE с общим углом C подобны по двум углам.

77+4x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 4x 77 = 0, у которого корень x1 = 7, x2 = 11 посто-

после преобразований и удаления из знаменателя положитель-

jxj2 4jxj21 = 0 найдем когда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (jxj+3)(jxj7) = 0, откуда x = 7 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим строгое неравенство и перепишем его с учетом полученного раз-

знак дроби не влияет, разделим обе части неравенства на это вы-

x > 0 знаменатель дроби положителен, неравенство равносильно x 7 < 0, откуда x 2 [0; 7) в ответ, полученный промежуток полностью состоит из допустимых значений x. При x < 0 неравенство

48 Указания, решения, критерии оценивания

разворота до встречи с плотом равно 96v u32 ч, время в пути плота

откуда v96+u + v64u = 32u , 96u(v u) + 64u(v + u) = 32v2 32u2, 160uv 32u2 = 32v2 32u2, 160uv = 32v2, 5u = v. Подставив

найденное соотношение в первое уравнение, получим уравнение

2. Указание: применяя определение арифметической прогрессии, имеем уравнение ak+1 ak = ak+2 ak+1, откуда, после преобразований, получим формулу 2ak+1 = ak + ak+2. Подставляя в

сторонний корень. Применяя основное тригонометрическое тождество sin2 +cos2 = 1, находим sin = p213 , откуда ak+1 = 72 . Для вычисления ak найдем по формулам двойного угла значения

значения, получим k = 11 + (56 252 ) 38 , такое число не является целым, поэтому данный случай невозможен.

Пусть ak = 56 , ak+1 = 72 , тогда разность прогрессии будет

равна d = 83 . Подставив найденные значения в обоснованную выше формулу, получим k = 11 ( 56 252 ) 38 = 16 в ответ.

Ответ: 56 ; k = 16.

S4EOG = 12 EK KG 12 OK KG = 12 (12 5) 5 = 352 . Ответ: 352 .

4. Указание: исходное неравенство имеет смысл при условиях

(

45 4jxj > 0;

p

45 4jxj =6 x:

p

Найдем корни уравнения 45 4jxj = x. При x > 0 возводим обе части уравнения в квадрат. Учитывая условие jxj = x, имеем 45 + 4x = x2, после преобразований получим квадратное уравнение x2 4x 45 = 0, у которого корень x1 = 5, x2 = 9 посто-

после преобразований и удаления из знаменателя положитель-

jxj2 4jxj 5 = 0 найдем когда числитель дроби равен нулю. Разложив на множители, имеем (jxj+1)(jxj5) = 0, откуда x = 5 в ответ. Пусть теперь числитель дроби не равен нулю, рассмотрим

50 Указания, решения, критерии оценивания

строгое неравенство и перепишем его с учетом полученного раз-

знак дроби не влияет, разделим обе части неравенства на это вы-

x > 0 знаменатель дроби положителен, неравенство равносильно x 5 < 0, откуда x 2 [0; 5) в ответ, полученный промежуток полностью состоит из допустимых значений x. При x < 0 неравенство

Сучетом ограничений находим x 2 454 ; 5 [ ( 5; 0) в ответ. Ответ: 454 ; 5 [ ( 5; 5].

ражения a(x2 256) > 0 задает разбиение плоскости xOa двумя вертикальными прямы-

ми x = 16 и горизонтальной

прямой a = 0 на разрешенные и запрещенные области. Определить разрешенные области, которые заштрихованы на рисун-

ке, можно, например, с помощью пробной точки. Сами прямые (первые три множества) соответствуют решениям уравнения при обращении второго множителя в нуль. Последнему из множеств соответствует равный нулю первый множитель уравнения, отку-